长江大学：《电路分析基础》课程教学资源（PPT课件）第11章 动态电路拉普拉斯变换分析（1/3）

第11章动态电路拉普拉斯变换分析了解拉普拉斯变换的定义，常用信号的拉普拉斯变换应用部分分式法求拉普拉斯反变换如何由动态电路的时域电路变换成S域电路建立S域阻抗和导纳的概念用拉普拉斯变换求解电路

1 第11章 动态电路拉普拉斯变换分析 ⚫了解拉普拉斯变换的定义，常用信号的拉 普拉斯变换 ⚫应用部分分式法求拉普拉斯反变换 ⚫如何由动态电路的时域电路变换成S域电路 ⚫建立S域阻抗和导纳的概念 ⚫用拉普拉斯变换求解电路

电路引言分析对于一般动态电路的时域分析，存在以下问题5对一般的一阶或二阶以上的电路建立微分方程困难确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解中的积分常数也很烦琐动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路的分析统一起来。当激励源是任意函数时，求解也不方便。三类电路分析方法的统一动态电路的分析方法能否与前两类电路一样，都用统一的分析方法来分析呢？将应用拉普拉斯变换的分析方法，使电路的微分方程变换成代数方程时域电路变换成S域电路建立S域的阻抗和导纳，这样电阻电路的分析方法也都适用于动态电路从而使三大类电路的分析方法统一起来

电 路 分 析 2 引言 ⚫ 对于一般动态电路的时域分析，存在以下问题： ◆ 对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方程困难。 ◆ 确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解中的积分常 数也很烦琐。 ◆ 动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路的分析统一 起来。 ◆ 当激励源是任意函数时，求解也不方便。 ⚫ 三类电路分析方法的统一 ◆ 动态电路的分析方法能否与前两类电路一样，都用统一的分析方法 来分析呢？ ◆ 将应用拉普拉斯变换的分析方法，使电路的微分方程变换成代数方 程，时域电路变换成S域电路，建立S域的阻抗和导纳，这样电阻电 路的分析方法也都适用于动态电路，从而使三大类电路的分析方法 统一起来

电路11.1拉普拉斯变换分析单边拉普拉斯变换对于因果信号， F(s)-[。f(t)e-"dt记 F(s) = If(t)I称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。F(s)e''dst>0f(t) =2元ja-joo记 f(t)=[F(s)]称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f(t)F(s)

电 路 分 析 3 11.1 拉普拉斯变换 ⚫ 单边拉普拉斯变换 对于因果信号，   − − = 0 F(s) f (t)e dt s t 称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。 ( ) 0 2 1 ( ) =   +  −  F s e ds t j f t j j s t    称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s) 记 F(s) = L [ f (t)] 记 f (t) = L -1 [F(s)]

电路冲激函数分析冲激函数的定义0.t+0心s(t) =S(t)dt = 1t=08,p(tS(t)(1)0IEIIOTT1-222222冲激函数和阶跃函数的关系de(t)c(t) =/ s(t)dtS(t) =dt

电 路 分 析 4 冲激函数 ⚫ 冲激函数的定义 ⚫ 冲激函数和阶跃函数的关系     =  = , 0 0, 0 ( ) t t  t ( ) = 1   −   d  (t) t 0 (1) 2  − 2 0   1 2  −  1 2  t p(t) 2   1 2  − dt d t t ( ) ( )   =  t   d t − ( ) = ( )

电路三个基本函数的拉普拉斯变换分析指数函数f(t)=esote(t)So为复常数F(s)=。ee"dt=Te(-"'dt =S-Soee(t)一S-So令 s=±α实数，则eαle(t)Sα1令 s,=±iβ虚数， 则 etitc(t)SfjB

电 路 分 析 5 三个基本函数的拉普拉斯变换 ⚫ 指数函数 f (t)=e s0t(t) s0为复常数。    − −  − − = = = 0 0 ( ) 0 1 ( ) 0 0 s s F s e e dt e dt s t s t s s t 0 1 ( ) 0 s s e t s t −   令 s0 =  实数， 则    s  e t t 1  ( )  令 s0 = j 虚数， 则    s j e t j t  1  ( ) 

电路三个基本函数的拉普拉斯变换分析单位阶跃函数8(t)已知eoc(t)←S-SoJ(t)台令上例中so=0。则S单位冲激函数(t)F(s)-J。8(0)e"dt -18(t)-1

电 路 分 析 6 三个基本函数的拉普拉斯变换 ⚫ 单位阶跃函数 (t) 令上例中s0=0。则 s t 1  ( )  ⚫ 单位冲激函数 (t) ( ) ( ) 1 0 = =   − − F s t e dt s t    (t) 1 已知 0 1 ( ) 0 s s e t s t −  

电路拉普拉斯变换的性质线性性质分析af()+a, f(t)<-aF(s)+a,F(s)例 11-2(a) 余弦函数 f(t)=cosβt·ε(t)cos βt =(eiBi +e-iBl)应用线性性质：St.. cos βts(t) )3+βs-iβ s+iβ例11-2(b）正弦函数文f (t)=sinβt·ε(t)1ejB-jBtsin βt2j应用线性性质：1B:sin Bt .(t)2js+βS-jBs+ jβS

电 路 分 析 7 拉普拉斯变换的性质: 线性性质 ⚫ 例 11-2(a) 余弦函数 f (t)=cost·(t) ( ) 2 1 cos j t j t t e e    − = + 应用线性性质: 2 2 1 1 2 1 cos ( )      + =      + + −    s s s j s j t t ⚫ 例 11-2(b) 正弦函数 f (t)=sint·(t) ( ) 2 1 sin j t j t e e j t    − = − 2 2 1 1 2 1 sin ( )       + =      + − −    j s j s j s t t 应用线性性质: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 a f t + a f t  a F s + a F s

电路拉普拉斯变换的性质延迟性质分析f(t-t.) e-sto F(s)例11-3(a）延迟的冲激函数 f(t)=S(t-)应用延迟性质：S(t-t)-est例11-3(b）矩形波f (t)=A[ε(t)-(t-T))应用延迟性质：tf(t)A07

电 路 分 析 8 拉普拉斯变换的性质: 延迟性质 ⚫ 例 11-3(a) 延迟的冲激函数 f (t)=(t-) 应用延迟性质:    s t e  − ( − ) ⚫ 例 11-3(b) 矩形波 f (t)=A[(t)- (t-T)] 应用延迟性质: ( ) ( ) 0 0 f t t e F s  −s t − f (t) t 0 T A ( ) (1 ) s T s T e s A e s A s A F s − −  = − = −

电路拉普拉斯变换的性质微分性质析分df(t) sF(s)- f(O_)dt例 11-4求图示波形的拉普拉斯变换f(t)应用微分性质：:f(0)=0ol2A(l-e-sT)-Ae-sTSF(S)=1 f(0)TsA-TA/TV057二F(s)=(1-ee07SSAS(t-T)

电 路 分 析 9 拉普拉斯变换的性质: 微分性质 ⚫ 例 11-4 求图示波形的拉普拉斯变换 f (t) t 0 T A f (t) t 0 T T A − A (t −T) 应用微分性质：  f (0− ) = 0 s T s T e Ae Ts A sF s − −  ( ) = (1− ) − s T s T e s A e s A T F s − −  = (1− ) − / ( ) 2 ( ) (0 ) ( )  − − sF s f dt df t

电路拉普拉斯变换的性质积分性质析分F(s)J. /(x)dr -S例11-5斜坡函数文f(t)=te(t)te(1) =-T.e(E)ds已知：(t)←S应用积分性质：te(t) =[,e(5)d -

电 路 分 析 10 拉普拉斯变换的性质: 积分性质 ⚫ 例 11-5 斜坡函数 f(t)=t(t) 已知: s t 1  ( )  应用积分性质: s F s f x dx t ( ) ( ) 0   −  = t t t d 0  ( )  ( )  2 0 1 1 1 ( ) ( ) s s s t t d t =   =     