西安交通大学IE'ANRENRRS第五章控制系统的频率法分析
1 第五章 控制系统的频率法分析
西安交通大学IE'ANRENRRS第一节频率特性的基本概念3
3 第一节 频率特性的基本概念
西安交通大学EEANRRRS考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。4
4 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。 有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。 频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示 了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又 有效的工具
西安交通大学EANJIROTONGNIVEESTS一、定义:系统的频率特性定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。N(s)C(s)G(s) :R(s)(s+ pi)(s+ p2)...(s + pn)式中，一Pi,j=1,2,,n为极点。R.oR.O若: r(t) = Rm sin のt,则R(s)s? +0?(s+ jo)(s- jo)N(s)N(s)R(s)R.o则:C(s) =(s+p)(s+ p2)...(s+ pn) (s+ pi)(s+ p2).(s+ pn) (s+ jo)(s- jo)k,k,knkekes+jo s-jos + Pis + P2s+Pn5
5 一、定义： 系统的频率特性定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、 相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。 对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和 c(t)，系统的传递函数为G(s)。 ( )( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 pn s p s p s N s R s C s G s + + + = = 式中，− pj , j =1,2,., n 为极点。 若： ( )( ) ( ) sin , ( ) 2 2 s j s j R s R r t R t R s m m m + − = + = 则 = 则： s j k s j k s p k s p k s p k s j s j R s p s p s p N s s p s p s p N s R s C s c c n n m n n − + + + + + + + + + = + − + + + = + + + = 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 . ( )( ).( ) ( )( ) ( ) ( )( ).( ) ( ) ( ) ( )
西安交通大学EEANRAENRS拉氏反变换为：c(t) = kje-P + k,e-Pa +... + k,e-Pr" + kere-jot + ke2ejot若系统稳定，则极点都在s左半平面。当t→8，即稳态时：e-Pit →O, e-Pzt →O,.., e-Pnt →>0c,(t) = kere-jot +kezejot式中,kal,kc2分别为：Rmo(s+ jo)R.G(-jの)ke =C(s)(s + jo) Is=-jo= G(s)2j(s+ jo)(s- jo)=-jaR.G(jo)Rmo(s- jo)kc2 =C(s)(s - jo) ls=jo=G(s)2j(s+ jo)(s- jの)lss=ja6
6 拉氏反变换为： j t c j t c p t n p t p t c t k e k e k e k e k e n 1 2 1 2 ( ) . 1 2 = + + + + + − − − − 若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时： 0 0 0 e − p1 t → ，e − p2 t → ，，e − pn t → t → j t c j t cs t kc e k e 1 2 ( ) = + − 式中， kc1 , kc2 分别为： j R G j s j s j R s j k C s s j G s j R G j s j s j R s j k C s s j G s m s j m c s j m s j m c s j 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) | ( ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) | ( ) 2 1 = + − − = − = − = − + − + = + = = = =− =−
西安交通大学EEANRANRRS而 G(jo)=G(s) l=jo=G( jo) lejzG(jo) = A(α)ejg(a)G(-jo) = G(s) l=-jo=|G(jo)le-jzG(jo) = A(0)e-ji(o)R,RmA(0)ejg(o)A(@)e-jg(o),k2j2jej(ot+p(o) -e-j(ot+p(o)..c,(t) = kere-jot + ke2ejot = A(o)R,2j= A(o)Rm sin( t + β(0) = Cm sin( t + β()式中：Rm、Cm分别为输入输出信号的幅值上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了A(の)=|G(jの)倍，相位移动了β(の)=ZG(jの)。A(の)和 (の)都是频率的函数。7
7 而 ( ) ( ) ( ) ( )| | ( )| ( ) j G j j s j G j = G s = G j e = A e = ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 m j c m j c A e j R A e k j R k = − = − ， j e e c t k e k e A R j t j t m j t c j t s c 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 1 2 + − + − − = + = 式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。 上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入 不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍， 相位移动了 。 和 都是频率的函数。 A() =|G( j) | () = G( j) A() () = A()R sin(t +()) = C sin(t +()) m m ( ) ( ) ( ) ( )| | ( )| ( ) j G j j s j G j G s G j e A e − − − = =− = =
西安交通大学EE'ANJIAOTONGUNIVEESITY= A(の)=|G(jの)定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比R为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；定义稳态响应与正弦输入信号的相位差β(の)=ZG(jの)为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性;幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G(jの)G(jo)= A(の)ejq(o），它也是の 的函数。G(jo)称为频率特性。还可将G(jの)写成复数形式，即G(jo) = P() + jQ(の)这里 P(の)=Re[G(jの)] 和Q(の)= Im[G(j)] 分别称为系统的实频特性和虚频特性。8
8 定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统 的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相 位移特性； () = G( j) A() |G( j) | R C m m 定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 = = 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时 的放大特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。 称为频率特性。 G( j), G( j) = A()e j() G( j) 还可将 G( j) 写成复数形式，即 G( j) = P() + jQ() 这里 和 分别称为系统的实 频特性和虚频特性。 P() = Re[G( j)] Q() = Im[G( j)]
西安交通大学EE'ANILROTONGENIVEESTY幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：P(o) = A()· cosp(@)Q(0) = A() · sin (o)A(0)= / p2(0)+Q (0)(0)0(0) = tg-l P(α)频率特性与传递函数的关系为：G(jの)= G(s) ls=jo由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。9
9 由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。 频率特性与传递函数的关系为： s j G j G s = = ( ) ( ) | 幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列 关系： P() = A() cos() Q() = A()sin () ( ) ( ) ( ) 2 2 A = P + Q ( ) ( ) ( ) 1 P Q tg − =
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY[结论]：当传递函数中的复变量s用jの代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：djo台dt微分方程频率特性ds jos传递函数dtL(g(t))L-'(G(s)脉冲函数10
10 [结论]：当传递函数中的复变量s用j 代替时，传递函数就转变 为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下 几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们 之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数 s j dt d s dt d j L{g(t)} { ( )} 1 L G s −
西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY1y(s)[例子]：设传递函数为：G(s)s? +3s +4x(s)1d'y(t)y(t)dy(t)微分方程为：4y(t) = x(t)d?d?dx(t)dt+3.+4di?dt1y(jo)频率特性为：G(jの)(j@) +3(j@)+ 4x(jo)12
12 [例子]：设传递函数为： 3 4 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = x s s s y s G s 微分方程为： 4 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) , 3 4 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 y t x t dt dy t dt d y t dt d dt x t d y t + + = + + = 频率特性为： ( ) 3( ) 4 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = x j j j y j G j