电路10.6二阶电路微分方程的建立分析RLC串联电路R1初始值为：uc（0）=Uo,i（0）=I十uc丰C3由KVL: uc+ur+u,=O选i作变量：diJtd+U.+Ri =0+L令左式t=0.得：dtCd+i求一次导数，得：+Ri,(0)=0dt1=0d'ildi+RA2阶微分方程dt?dti(0+)= Idir-U.-I.R初始条件t=0dtL
电 路 分 析 1 10.6 二阶电路微分方程的建立 _ + R L L i uC C RLC串联电路 初始值为： 0 0 u (0 ) U , i (0 ) I C + = L + = 由KVL： uC +uR +uL = 0 0 1 0 + 0 + + = L L t L Ri dt d i i dt U L C 选 iL作变量： 求一次导数，得： 0 1 2 2 + + L = L L i dt C d i R dt d i L 0 i (0 ) I L + = L U I R dt d i t L 0 0 0 − − = = 二阶微分方程 初始条件 令左式t=0, 得： (0) 0 1 0 0 0 + 0 + + = = L t L L Ri dt d i i dt U L C
电路建立网络方程分析RLC串联电路Ri初始值为：uc(O）=Uo，i(O.）=l+由KVL:uc+uR+u=0uc十CD选uc作变量：dudil + Ri, +uc=02Cdtdtd'ucducLC+ RC二阶微分方程+uc=0dt?dtuc(0.)=U.初始条件duoCdtt=0
电 路 分 析 2 _ + R L L i uC C RLC串联电路 初始值为： 0 0 u (0 ) U , i (0 ) I C + = L + = 由KVL： uC +uR +uL = 0 选 uC作变量： 二阶微分方程 初始条件 dt du Ri u i C dt d i L C L C L L + + = 0 = 0 2 2 + + C = C C u dt d u RC dt d u LC 0 uC (0+ ) =U C I dt d u t C 0 0 = = 建立网络方程
电路建立网络方程分析RLC并联电路iciL初始值为：uc（O）=Uo，i（O）=I由KCL： ic +ir +i=01R3Luc丰cG选u.作变量：.uedi+locdue+Guc=0dt令左式=0，得：求一次导数，得：du士+Guc(0)=0ucdt+lo福dtd'udugt=02+Gdt?Ldtuc(0.)=U初始条件duc-I。-U.GdtC1=0
电 路 分 析 3 RLC并联电路 初始值为： 0 0 u (0 ) U , i (0 ) I C + = L + = 由KCL： 选 uC作变量： 二阶微分方程 初始条件 0 uC (0+ ) =U 建立网络方程 _ + G L L i uC C C i R + + = 0 i C R L i i i 0 1 0 + 0 + + = C C t C Gu dt du u dt I C L 求一次导数，得： 0 1 2 2 + + C = C C u dt L d u G dt d u C C I U G dt d u t C 0 0 0 − − = = 令左式t=0, 得： (0) 0 1 0 0 0 + 0 + + = = C t C C Gu dt du u dt I C L
电路建立网络方程福分析RLC并联电路ic初始值为：uc(O）=Uo，i(0)=I1十由KCL：ic+iR+i,=01R3LuccIG选i作变量：diduclc +Guc +il=0ud=u,=Ldtdtd'i,di,+GLLC+i=0二阶微分方程dt?dti(0.)= 1odilU.初始条件dt1=0LE
电 路 分 析 4 RLC并联电路 初始值为： 0 0 u (0 ) U , i (0 ) I C + = L + = 由KCL： 选 iL作变量： 二阶微分方程 初始条件 建立网络方程 _ + G L L i uC C C i R + + = 0 i C R L i i i dt d i Gu i u u L dt d u C L C L C L C + + = 0 = = 0 2 2 + + L = L L i dt d i GL dt d i LC 0 i (0 ) I L + = L U dt d i t L 0 0 = =
电路两网络及方程的对偶关系2分析icRi十对偶关系AR十uc丰cELuc÷CIGd'ucd'irducdirLC+ RC+uc =0LC+GL+i=0dt?dt?dtdt对偶关系uc(0.)=U。i(0.)=lodilU.d ucdt1=0Ldt=C
电 路 分 析 5 两网络及方程的对偶关系 _ + G L L i uC C C i R i 0 2 2 + + L = L L i dt d i GL dt d i LC 0 i (0 ) I L + = L U dt d i t L 0 0 = = _ + R L L i uC C 0 2 2 + + C = C C u dt d u RC dt d u LC 0 uC (0+ ) =U C I dt d u t C 0 0 = = 对偶关系 对偶关系
电路网络的固有频率R分析RLC串联电路：两个微分方程的特征方程都为: LCS? + RCS +1=0RS2令C+200-a2L对偶关系然频率。特征根：S,--α± 称为网络的对偶关系RLC并联两个微分万程证万程都为LCS?+GLS+1=0今S2 +2αS+0? =0Q20特征根：Stz=-α±α2-の称为网络的固有频率或自然频率
电 路 分 析 6 网络的固有频率 ⚫ RLC串联电路： ◆两个微分方程的特征方程都为： 1 0 2 LCS + RCS + = 2 0 1 , 2 2 0 2 = 0 = S + S + = L LC R 令 特征根： 2 0 2 S1,2 = − − 称为网络的固有频率或自然频率。 ⚫ RLC并联电路： ◆两个微分方程的特征方程都为： 1 0 2 LCS +GLS + = 2 0 1 , 2 2 0 2 = 0 = S + S + = C LC G 令 特征根： 2 0 2 S1,2 = − − 称为网络的固有频率或自然频率。 对偶关系 对偶关系
电路10.7零输入响应形式之一：过阻尼分析特征根：Si,--α±α2-LIC若 α>の。即：RLC串联电路R>C-LRLC并联电路G>Si，S2是不等的负实根u零输入响应的通解为：Uc = K,e' + K,e'"t≥0U
电 路 分 析 7 10.7 零输入响应 形式之一：过阻尼 uC t U0 2 0 2 特征根： S1,2 = − − 若 0 即： C L RLC串联电路 R 2 RLC并联电路 L C G 2 S1，S2 是不等的负实根。 零输入响应的通解为： 0 1 2 u = K1 e + K2 e t s t s t C
电路零输入响应的四种形式之一：临界阻尼分析特征根：S,=-α±Vα?-0LIC若 α=の。即：RLC串联电路R=C-LRLC并联电路G=S1= S2=-α是重根。uc零输入响应的通解为：uc =(K, +K, t)e-αtt≥0Uo
电 路 分 析 8 零输入响应的四种形式之二：临界阻尼 uC t U0 2 0 2 特征根： S1,2 = − − 若 =0 即： C L RLC串联电路 R = 2 RLC并联电路 L C G = 2 S1 = S2 = - 是重根。 零输入响应的通解为： ( ) 0 = 1 + 2 − u K K t e t t C
电路零输入响应的四种形式之三：欠阻尼分析特征根：Si2=-α±α2-老0 0、：R1C中 R-1CRLC并联电路G人2VL令: 0a=Vo-α2:S2=-α± jod一对共轭复数零输入响应的通解为：ucKe-at-αuc =(K, sin の,t + K, cosoat)eU.t≥0= Ke-at cos(@at +0)其中：α为衰减系数衰减振荡のa为振荡频率
电 路 分 析 9 零输入响应的四种形式之三：欠阻尼 2 0 2 特征根： S1,2 = − − 若 0 即： C L RLC串联 R 2 RLC并联电路 L C G 2 一对共轭复数。 零输入响应的通解为： 令： 2 2 d = 0 − d S1,2 = − j t C d d u K t K t e − = ( sin + cos ) 1 2 = cos( + ) 0 − Ke t t d t uC t U0 t Ke− 其中：为衰减系数， d为振荡频率。 衰减振荡
电路零输入响应的四种形式之四：无阻尼分析特征根：Si2--α±Vα2-若 α=0即：RLC串联 R=0RLC并联电路G=0令：=の。-α2=の。：S,2=± joa 一对共轭虚数。零输入响应的通解为：ucKuc = K, sin Oat + K, cosoatUt≥0= K cos(@dt +)波形是等幅振荡的
电 路 分 析 10 零输入响应的四种形式之四：无阻尼 2 0 2 特征根： S1,2 = − − 若 = 0 即： RLC串联 R = 0 RLC并联电路 G = 0 一对共轭虚数。 零输入响应的通解为： 令： 0 2 2 d = 0 − = d S1,2 = j u K t K t C d d sin cos = 1 + 2 = K cos(d t +) t 0 波形是等幅振荡的 uC t U0 K