西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第见章根轨迹法
1 第四章 根轨迹法
西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第一节根轨迹的基本概念2
2 第一节 根轨迹的基本概念
西安交通大学E'ANJIROTONGENIVEESTY4.1根轨迹的基本概念根轨迹定义1.根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹例：如图所示二阶系统KR(s)C(s)s(0.5s +1)系统开环传递函数为：KG(s) =s(0.5s + 1)2KΦ(s)=闭环传递函数：$?+2s+2Ks?+2s+2K=0特征方程为：特征根为：S.2=-1±V1-2K3
3 开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方 程的根在复平面上变化的轨迹。 例：如图所示二阶系统， s(0.5s +1) R(s) K C(s) - 特征方程为： 2 2 0 2 s + s + K = 闭环传递函数： s s K K s 2 2 2 ( ) 2 + + = 系统开环传递函数为： (0.5 1) ( ) + = s s K G s k 特征根为： s1,2 = −1 1− 2K 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹定义 ⒈ 根轨迹定义
西安交通大学EEAN根轨迹定义IAOTONGUNIVEESTY4.1根轨迹的基本概念[讨论]：由 Si,2 =-1±/1-2K①当K-0时，Si=0,S2=-2K=52是开环传递函数的极点当K=0.32时，S,=0.4，S2=—1.62当K-0.5时，S,=-1，S=-1K=11当K=1时，Si=-1+j，S2=1-jK=0K=0当K=5时，S;=—1+3j，S2=1—3j0-2当K=o时，Si=—1+o0j，S2=—1一0j?K =0.5-1K =1画出K从0一→8时所有的闭环极点连成的光滑曲线就是该系统的根轨迹。根轨迹-2上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹-3K=5的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的参数K的数值。4
4 4.1 根轨迹的基本概念 [讨论]：由 s1,2 = −1 1− 2K 根轨迹定义 ① 当K=0时，s1=0,s2 =-2, 是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1 =－0.4，s2 =－1.6 ③ 当K=0.5时，s1 =－1，s2 =－1 ④ 当K=1时，s1 =－1+j，s2 =－1－j ⑤ 当K=5时，s1 =－1+3j，s2 =－1－3j ⑥ 当K=∞时，s1 =－1+∞j，s2 =－1－∞j K = 5 K = 5 K = 1 K = 1 画出K从0→∞时所有的闭环极点连成的 光滑曲线就是该系统的根轨迹。根轨迹 上的箭头表示随着K 值的增加，根轨迹 的变化趋势，而标注的数值则代表与闭 环极点位置相应的参数K 的数值。 K = 0.5 − 2 0 j 1 2 −1 3 − 2 − 3 −1 K = 0 K = 0
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY根轨迹定义4.1根轨迹的基本概念根轨迹图直观全面地描述了参数K对闭环特征根分布的影响。可据此分析系统性能。K=53稳定性：当K从0→00时根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此该系统当K>O都是稳定的。2稳态性能：开环系统在原点有一个极点，所以系统属于I型系统，根轨迹上的K值就是以该点为闭环K=11极点时系统的速度误差系数。K=0K=0动态性能：当00.5时闭环极点为共轭复极点，系统为欠阻尼系K=5统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。5
5 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹定义 根轨迹图直观全面地描述了参数K 对闭环特征根分布 的影响。可据此分析系统性能。 稳定性：当K从0→∞时根轨迹不会越过虚轴进入右 半s平面，因此该系统当K>0都是稳定的。 稳态性能：开环系统在原点有一个极点，所以系统 属于Ⅰ型系统，根轨迹上的K 值就是以该点为闭环 极点时系统的速度误差系数。 动态性能：当00.5时闭环极点为共轭复极点，系统为欠阻尼系 统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K 值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。 − 2 0 j 1 2 −1 3 − 2 − 3 −1 K = 0 K = 0 K = 5 K = 5 K = 1 K = 1 K = 0.5
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.1根轨迹的基本概念根轨迹方程闭环传递函数为：2根轨迹方程对如下结构图的系统：G(s)G(s)Φ(s)R(s)1+G(s)H(s)C(s)1+G(s)G(s)令闭环传递函数的分母为零，得闭环系统的特征方程H(s)1+G,(s)=0若用开环传递函数来讨论，则满足G,(s)=-1的点就是闭环系统特征方程的根。也就是说满足G(s)=一1的s值必定是根轨迹上的点，故称G(s)=一1为根轨迹方程。若令II(s + z,)II(s +z,)i=lG,(s)= K.则K。.为根轨迹方程。=-1nII(s+ p,)I(s + p,)j=1j=l6
6 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹方程 对如下结构图的系统： R(s) C(s) - G(s) H(s) 闭环传递函数为： 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s s + k = + = 2 根轨迹方程 令闭环传递函数的分母为零， 得闭环系统的特征方程 1+Gk (s) = 0 则 1 为根轨迹方程。 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = n j j m i i g s p s z K 若用开环传递函数来讨论，则满足 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 的s值必定是根轨迹 上的点，故称 为根轨迹方程。若令 Gk (s) = −1 Gk (s) = −1 Gk (s) = −1 = = + + = n j j m i i k g s p s z G s K 1 1 ( ) ( ) ( )
西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVEESITT4.1根轨迹的基本概念根轨迹方程mII(s +z.)K.i=l=-1II(s+ p,)j=1式中，一z、一p,为已知的开环零极点；K.从零变到无穷。1
7 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹方程 1 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = n j j m i i g s p s z K 式中，－zi、－pj为已知的开环零极点；Kg从零变到无穷
西安交通大学EE'ANJIAOTONGUNIYEESITT4.1根轨迹的基本概念根轨迹的幅值和相角条件由于G(s)是复数，上式可写成：IG(s)ZG,(s)=-17(s +z,)I或K=11II(s+ p,)Ij=1)-ZZ(s + p,)=±(2k+1)元, k =0,1,2...(s+z)i=1j=l上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，因此也称满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K。值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的K。值时，才使用幅值条件
8 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹的幅值和相角条件 由于Gk (s)是复数，上式可写成： |Gk (s) |Gk (s) = −1 上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。 1 |( ) | |( ) | 1 1 = + + = = n j j m i i g s p s z 或 K ( ) ( ) (2 1) 0,1,2. 1 1 + − + = + = = = s z s p k k n j j m i i ， 根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应 的Kg值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。 这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨 迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。 其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点 到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，因此也称 满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹
西安交通大学EE'AN根轨迹的幅值和相角条件IAOTONGUNIVEESTY4.1根轨迹的基本概念tj例：如图所示二阶系统3KR(s)C(s)2s(0.5s + 1)12K0(s)=7 +2$+2K闭环传递函数：X02-1s2+2s+2K =0特征方程为：-1特征根为：Si2=-1±/1-2K-2采用试探法可以确定根轨迹上的点。-3在实际绘制根轨迹时不采用试探法而是应用以根轨迹方程为基础建立起来的绘制根轨迹的基本法则
9 4.1 根轨迹的基本概念 − 2 0 j 1 2 −1 3 − 2 − 3 −1 根轨迹的幅值和相角条件 例：如图所示二阶系统， s(0.5s +1) R(s) K C(s) - 闭环传递函数： s s K K s 2 2 2 ( ) 2 + + = 特征方程为： 2 2 0 2 s + s + K = 特征根为： s1,2 = −1 1− 2K 采用试探法可以确定根轨迹上的点。 在实际绘制根轨迹时不采用试探法。 而是应用以根轨迹方程为基础建立起 来的绘制根轨迹的基本法则
西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第二节根限轨迹绘制的基本准则10
10 第二节 根轨迹绘制的基本准则