西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVEESITY3.2一阶系统的瞬态响应第二节 一阶系统的瞬态响应
1 第二节 一阶系统的瞬态响应 3.2 一阶系统的瞬态响应
西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY3.2一阶系统的数学模型1.一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程为：R(s)E(s)C(s)K?Sdc(t)1+ c(t) = r(t)dtK11C(s)s其闭环传递函数为：@(s)KsR(s)Ts + 11++1Ks式中，T=称为时间常数。K2
2 ⒈一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为： 其闭环传递函数为： 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) + = + = + = = Ts K s s K s K R s C s s 式中， ，称为时间常数。 K T 1 = C(s) - s K R(s) E(s) ( ) ( ) ( ) c t r t dt dc t T + = 3.2 一阶系统的数学模型
西安交通大学EEANJIROTONGUNIVEESTY单位阶跃响应函数3.2一阶系统的阶跃响应2.一阶系统的单位阶跃响应1C(s)Φ(s) :当 R(s)= 1/sR(s)Ts +111c(t) = L-C(s) :S-一sTs + 1S4T显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数规律单调上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。C(t)斜率=1/TC()1该响应曲线的斜率是0.81dc(t)Me0.6320.6dt0.4显然在t=0处的斜率为1/T，并且随时0.2t间的增加斜率变小。005T1T2T3T4T3
3 3.2 一阶系统的阶跃响应 单位阶跃响应函数 R(s) =1 s , 1 1 1 ( ) Ts s C s + = 显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数规律 单调上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特性，故 也称为非周期响应。 T t e T s s L Ts s c t L − − − = − + = − + = ] 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 ( ) [ 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) + = = R s Ts C s s 当 ⒉一阶系统的单位阶跃响应 0 1T 2T 3T 4T 5T 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t C(t) C(∞) 0.632 斜率=1/T 该响应曲线的斜率是 T t e dt T dc t − = ( ) 1 显然在t=0处的斜率为1/T，并且随时 间的增加斜率变小
西安交通大学IE'ANJIROTONGENIVEESTY3.2一阶系统的阶跃响应单位阶跃响应函数下表表示了单位阶跃响应曲线上各点的值、斜率与时间常数T之间的关系。时间t03TT4T2Te.8输出量00.6320.8650.9500.9821.0斜率1/ T0.368/T0.135/T0.050/T0.0.C(t)t斜率=1/TC()根据这一特点，可用实验的方法1测定一阶系统的时间常数，或测0.980.950.8定系统是否属于一阶系统。0.6320.60.4【4T，当△=2时K20.2S3T，当△=5时t001T2T3T4T5T4
4 3.2 一阶系统的阶跃响应 0 1T 2T 3T 4T 5T 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.95 1 0.98 t C(t) C(∞) 0.632 斜率=1/T = = ，当 时 ，当 时 3 5 4 2 T T t s 根据这一特点，可用实验的方法 测定一阶系统的时间常数，或测 定系统是否属于一阶系统。 下表表示了单位阶跃响应曲线上各点的值、斜率与时间常数 T之间的关系。 单位阶跃响应函数 0 0 T 2T 3T 0.632 0.865 0.950 1.0 斜率 1/T 0.368/T 0.135/T 0.050/T . 0.0 输出量 . 时间t . 斜率 . 输出量 . 时间t . . 4T 0.982
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY3.2一阶系统的阶跃响应单位阶跃响应函数y(t)t曲线1：时间常数为T曲线2：时间常数为2T2t0时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢，单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统为惯性环节或非周期环节。5
5 ◼时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示 系统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信 号越慢，单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越 小，响应速度越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位 阶跃响应曲线上升越陡峭。由于一阶系统具有这个特点， 工程上常称一阶系统为惯性环节或非周期环节。 1 2 曲线1 时间常数为T 曲线2 时间常数为2T 0 1 y(t) t 3.2 一阶系统的阶跃响应 单位阶跃响应函数
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY单位阶跃响应函数3.2一阶系统的阶跃响应一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信号的精度。对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢跟踪精度越低。对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。[方法一]通过负反馈减小时间常数：加入负反馈如下图：原系统为 :G(s)Ts + 1反馈后系统的闭环传递函数为：Y(s)R(s)11Ts + 1K'Ts + 11+αΦ(s) =TaαT's+1S+1Ts + 11+α6
6 ◼ 一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 ◼ 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。 ◼ 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 [方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 1 ( ) + = Ts 原系统为 : G s ，加入负反馈如下图： R(s) Y(s) − 1 1 Ts + + 反馈后系统的闭环传递函数为： ' 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 Ts K s T T s s Ts + + = = = + + + + + 3.2 一阶系统的阶跃响应 单位阶跃响应函数
西安交通大学EEANJLAROTONAENIVEESTY单位阶跃响应函数3.2一阶系统的阶跃响应[方法二］在系统的前向通道上串联一个比例环节。原系统为：Y(s)R(s)Ks1传递函数为：Φ(s)Ts +1改进后系统为：KY(d)R(s)sαK111Ts7T1aKT's+1αS+1-S+1αKsα7
7 [方法二] 在系统的前向通道上串联一个比例环节。 原系统为： R(s) s K Y(s) − + 传递函数为： 1 1 ( ) 0 + = Ts s R(s) s K Y(s) − + 改进后系统为： 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ' + = + = + = + = T s s T s s K K s K s T T = ' 3.2 一阶系统的阶跃响应 单位阶跃响应函数
西安交通大学E'ANJIROTONGNIVEESTY单位阶跃响应函数3.2一阶系统的阶跃响应例：已知一阶系统的结构图如图所示。①试求该系统单位阶跃响应的调节时间t；②若要求t≤0.1秒，求此时的反馈系数。解：①由系统结构图求出闭环传递函数10010010R(s)C(s)C(s)s100Φ(s)100R(s)S+100.1s + 1Sx0.11+S由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒0.1(△=0.05)由公式知：t=3T=0.3秒1011010c(s)0.1s+1 sss+10c(t) = 10(1 - e-10) = 10(1 - e 0.1)8
8 3.2 一阶系统的阶跃响应 例：已知一阶系统的结构图如图所示。①试求该系统单位阶跃 响应的调节时间t s；②若要求t s≤0.1秒，求此时的反馈系数。 C(s) - s 100 R(s) 0.1 解：①由系统结构图求出闭环传递函数 0.1 1 10 10 100 0.1 100 1 100 ( ) ( ) ( ) + = + = + = = s s s s R s C s s 由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒 由公式知：t s=3T=0.3秒（=0.05） 10 1 10 10 0.1 1 10 ( ) + = − + = s s s s c s ( ) 10(1 ) 10(1 ) 10 0.1 t t c t e e − − = − = − 单位阶跃响应函数
西安交通大学EEANJLAOTONAENIYEESTY单位阶跃响应函数3.2一阶系统的阶跃响应②若要求t,≤0.1秒，求此时的反馈系数。R(sC(s)100可设反馈系数为kS1100kC(s)ksΦ(s)1000.01R(s)5+11-xkks0.030.01当T则≤0.1，即k≥0.3时t,≤0.1秒kk由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。反馈加深对系统的响应还有什么影响？100111100101sC(s)=XXc(t)1003S + 30sS+30sS×0.31 +S由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。9
9 ②若要求t s≤0.1秒，求此时的反馈系数。 1 0.01 1 100 1 100 ( ) ( ) ( ) + = + = = s k k k s s R s C s s 当 ，则 ，即 时 t s≤0.1秒 k T 0.01 = 0.1 0.03 = 3 = k t s T k 0.3 C(s) - s 100 R(s) k 由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。 反馈加深对系统的响应还有什么影响？ (1 ) 3 10 ( ) 30t c t e − = − 由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。) 30 1 1 ( 3 1 10 30 1 100 0.3 100 1 100 ( ) + = − + = + = s s s s s s s C s 3.2 一阶系统的阶跃响应 可设反馈系数为k 单位阶跃响应函数
西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY单位阶跃响应函数3.2一阶系统的阶跃响应StepResponse1098k=0.1765wv43k=0.32100.10.30.40.50.600.2Tine (sec)10
10 S tep R esponse Tim e (sec) A m plitude 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k = 0.1 k = 0.3 3.2 一阶系统的阶跃响应 单位阶跃响应函数