西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY3.6稳态误差分析第六节稳态误差分析
1 第六节 稳态误差分析 3.6 稳态误差分析
EE'AN西安交通大学JIAOTONGUNIVEESITY3.6稳态误差分析对于一个实际的控制系统，由于系统的结构、输入作用的类型(给定量或扰动量)、输入函数的形式（阶跃、斜坡或抛物线)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为原理性稳态误差此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。这类由于非线性因素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或结构性稳态误差。本节只讨论原理性稳态误差，不讨论结构性稳态误差2
2 对于一个实际的控制系统，由于系统的结构、输入作用的类 型(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不 同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致 或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到 原平衡位置。这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生 的稳态误差称为原理性稳态误差。 此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区 等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。这类由于非线性因 素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或结构性稳态误差。 本节只讨论原理性稳态误差，不讨论结构性稳态误差。 3.6 稳态误差分析
西安交通大学EEANRNRRS3.6稳态误差分析显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性，有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统。3
3 显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不 稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。 有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统， 称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系 统。 3.6 稳态误差分析
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY误差和稳态误差定义3.6稳态误差分析一、误差及稳态误差的定义系统误差：输出量的希望值 Co(t)和实际值c(t)之差。即(t) = Co(t) -c(t)系统稳态误差：当t一→o0时的系统误差，用8s表示。即ss = lim e()t>0系统偏差：系统的输入r(t）和主反馈信号 b(t)之差。即e(t) = r(t) -b(t)系统稳态偏差：当t一→oo时的系统偏差，用ess表示。即ess = lim e(t)t->00Co(s)对单位反馈系统:(s)(N(s)E(s)给定作用r(t)即为输出量R(s)G,(s)G,(s)的希望值,r(t)=Co(t)，偏C(s)B(s)差等于误差，ε(t)=e(t)。a
4 输出量的希望值 和实际值 之差。即 ( ) ( ) ( ) 0 t = c t −c t ( ) 0 c t c(t) 系统的输入 和主反馈信号 之差。即 e(t) = r(t) −b(t) r(t) b(t) 当t→∞时的系统误差，用 表示。即 lim (t) t ss → = ss 当t→∞时的系统偏差，用 表示。即 e lim e(t) t ss → = ss e E(s) - (s) ( ) 0 C s R(s) N(s) C(s) ( ) 2 ( ) G s 1 G s - + B(s) 对单位反馈系统 给定作用 即为输出量 的希望值， ，偏 差等于误差， 。 ( ) ( ) 0 r t = c t r(t) (t) = e(t) 一、误差及稳态误差的定义 3.6 稳态误差分析 误差和稳态误差定义 系统稳态偏差： 系统偏差： 系统稳态误差： 系统误差：
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY误差和稳态误差定义3.6稳态误差分析对非单位反馈系统Co(s)ε(s)(N(s)给定作用r(t)只是希望输出R(s)E(s的代表值，r(t)≠co(t)，偏G(s)G,(s)差不等于误差，ε(t)≠e(t)。B(s)C(s)H(s)偏差和误差之间存在一定的关系：E(s)=(R(s)- B(s) =(H(s)Co(s)-H(s)C(s) = H(s)c(s)这里 R(s)=H(s)Co(s)是基于控制系统在理想工作情况下E(s)=0 得到的。Co(s)s(s)N(s)E(s)R(s)R(s)E,(s)H(s)G,(s)G(s)H(s)8CoC(s)我们将用偏差E(s)代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差0
5 偏差和误差之间存在一定的关系： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 E s = R s − B s = H s C s − H s C s = H s s 我们将用偏差 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说 的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。 E(s) E(s) - (s) ( ) 0 C s R(s) N(s) C(s) ( ) 2 ( ) G s 1 G s - + H(s) B(s) 对非单位反馈系统 给定作用 只是希望输出 的代表值， ，偏 差不等于误差， 。 ( ) ( ) 0 r t c t r(t) (t) e(t) C0 R(s) N(s) C(s) ( ) 2 ( ) G s 1 G s - E1 (s) + H(s) - (s) ( ) 0 C s ( ) 1 H s ( ) 1 R s E(s) 这里 是基于控制系统在理想工作情况下 得到的。 ( ) ( ) ( ) 0 R s = H s C s E(s) = 0 3.6 稳态误差分析 误差和稳态误差定义
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY稳态误差的计算3.6稳态误差分析误差的定义相当于从系统输出端来定义的，在系统性能指标中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义；偏差的定义相当于从系统输入端来定义的，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义。[N(s)C(s)R(s)E(s)二、稳态误差的计算G(s)G2(s)B(s)1给定作用下的偏差传递函数H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)H(s)G,(s)G,(s)1E(s)R(s)1+G,(s)G2(s)H(s)6
6 二、稳态误差的计算 R(s) N(s) C(s) ( ) 2 ( ) G s 1 G s - E(s) + H(s) B(s) ( ) 2 H(s) G s R(s) - B(s) E(s) ( ) 1 G s C(s) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 R s G s G s H s E s s E + = = ① 给定作用下的偏差传递函数 误差的定义相当于从系统输出端来定义的，在系统性能指 标中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有 数学意义； 偏差的定义相当于从系统输入端来定义的，在实际系统中 是可以量测的，具有一定的物理意义。 3.6 稳态误差分析 稳态误差的计算
西安交通大学E'ANJIROTONGNIVEESTY稳态误差的计算3.6稳态误差分析2扰动作用下的偏差传递函数N(s)C(s)R(s)E(s)G(s)G,(s)B(s)H(s)B(s)C(s)E(s)N(s)H(s)-1G,(s)XG,(s)E(s)G,(s)H(s)N(s)1 +G(s)G2(s)H(s)给定和扰动同时作用下的偏差表达式31：E(s) =Φe(s)R(s)+Φne(s)N(s)R(s)-G2(s)H(s)N(s)1+G(s)G2(s)H(s)1+G,(s)G2(s)H(s)7
7 ② 扰动作用下的偏差传递函数 ( ) 1 G s ( ) 2 G s H(s) C(s) B(s) N(s) + E(s) −1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 G s G s H s G s H s N s E s s NE + = = − ③ 给定和扰动同时作用下的偏差表达式 E(s) (s)R(s) (s)N(s) = E +NE 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 G s G s H s G s H s N s G s G s H s R s + − + + = R(s) N(s) C(s) ( ) 2 ( ) G s 1 G s - E(s) + H(s) B(s) 3.6 稳态误差分析 稳态误差的计算
西安交通大学EEANJIROTONAENIVEESTY稳态误差的计算3.6稳态误差分析④对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差sR(s)+ lim =SG;(s)H(s)N(s)ess = lim e(t) = lim sE(s)= lims-0 1+G,(s)G2(s)H(s)s-→0 1+G,(s)G2(s)H(s)5-0t->0df可拉氏变换；终值定理要求 f(t)和；lim f(t) 存在；并且dt除在原点处可以有极点外，sF(s)的所有极点都在s平面的左半开平面。即只有稳定的系统，才可计算稳态误差。8
8 ④ 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim 1 2 2 0 1 2 0 0 G s G s H s sG s H s N s G s G s H s sR s e e t sE s t s s s ss + − + + = = = → → → → 终值定理要求 和 可拉氏变换； 存在；并且 除在原点处可以有极点外， 的所有极点都在s平面的左半开 平面。 f (t) dt df lim f (t) t→ sF(s) 即只有稳定的系统，才可计算稳态误差。 3.6 稳态误差分析 稳态误差的计算
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY稳态误差的计算3.6稳态误差分析C(s)例1系统结构图如图所示，当输入信K(0.5s +1)R(s)0号为单位斜坡函数时，求系统在输入s(s +1)(2s +1)信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳系统特征方程为2s3+3s2+(1+0.5K)s+K=0由劳斯判据知稳定的条件为：0<K<61E(s)s(s +1)(2s +1)ΦR(s)1+Gi(s)G2(s)H(s)s(s+1)(2s+l)+K(0.5s+1)11s(s+ 1)(2s +1)R(s)E(s) =252Ss(s +1)(2s +1)+ K(0.5s +1)11s(s +1)(2s +1)ess = lim sE(s)= lim s2-Ks(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1)S-05-01不能满足 ess<0.1 的要求由稳定的条件知：2SS6
9 例1 系统结构图如图所示，当输入信 号为单位斜坡函数时，求系统在输入 信号作用下的稳态误差；调整K值能 使稳态误差小于0.1吗？ ( 1)(2 1) (0.5 1) + + + s s s R(s) K s C(s) - 解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳 系统特征方程为 2 3 (1 0.5 ) 0 3 2 s + s + + K s + K = 由劳斯判据知稳定的条件为： 0 K 6 ( 1)(2 1) (0.5 1) ( 1)(2 1) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 + + + + + + = + = = s s s K s s s s R s G s G s H s E s s E 2 1 ( ) s R s = 2 1 ( 1)(2 1) (0.5 1) ( 1)(2 1) ( ) s s s K s s s s s E s + + + + + + = s s s K s s K s s s e sE s s s s ss 1 1 ( 1)(2 1) (0.5 1) ( 1)(2 1) lim ( ) lim 2 0 0 = + + + + + + = = → → 由稳定的条件知： 不能满足 的要求 6 1 ess ess 0.1 3.6 稳态误差分析 稳态误差的计算
西安交通大学E'ANJIROTONGUNIVEESTY给定输入时的稳态误差3.6稳态误差分析三、给定输入作用下系统的误差分析这时，不考虑扰动的影响E(s)R(S)可以写出系统的误差：11HG2GE(s) :R(s)1+Gk+GGHsR(s)essr = lim e(t)= lim sE(s) = lims→01+Gk(s)5-0t->00显然，essr与输入和开环传递函数有关假设开环传递函数G,（s）的形式如下：mII(t,s+1)II(tks? +25kths+1)KKi-1k=1Jo(s7n2nissII(T,s+III(T,s? +25T/s+1)[-1j=110
10 三、给定输入作用下系统的误差分析 这时，不考虑扰动的影响。 可以写出系统的误差 ： R(s) E(s) H G2 G1 - ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 2 R s G R s G G H E s k + = + = 1 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 G s sR s e e t sE s k t s s ssr + = = = → → → 显然， essr 与输入和开环传递函数有关。 假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下： ( ) ( 1) ( 2 1) ( 1) ( 2 1) ( ) 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 G s s K T s T s T s s s s s K G s n l l l l n j j m k k k k m i i k = + + + + + + = = = = = 3.6 稳态误差分析 给定输入时的稳态误差