西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第五节系统的稳定性和代数稳定判据
1 第五节 系统的稳定性和代数稳定判据
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据一、，稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件口稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。2
2 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定的充要条件和属性 ❑ 稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离 开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY稳定的定义和定理3.5系统的稳定性和代数稳定判据定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入x(t)=0，当t→oo时，系统的输出及其各阶导数为零，即lim y(t) = lim y'(t) = ... = lim y(n-I)(t) = 0则称该系统为渐近稳定的。定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输入，总引起一个有界的输出，则称该系统为有界输入一一有界输出稳定系统。即当 y(0)=y(O)=..= y(n-I)(O)=0 时,如果 x(t)≤ K,<0 则 [y(t)|≤K,<000≤t<000≤t<03
3 定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入 x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即 则称该系统为渐近稳定的。 lim ( ) lim ( ) . lim ( ) 0 ( 1) = = = = − → → → y t y t y t n t t t 定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输 入，总引起一个有界的输出，则称该系统为有界输入——有界 输出稳定系统。即当 时， 如果 则 (0) (0) . (0) 0 ( 1) = = = = n− y y y 1 0 x(t) K t 2 0 y(t) K t 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的定义和定理
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEEST稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据设系统或元件的微分方程为：J(")(t)+an-1)(n-1)(t)+...+ aoy(t) = bmx(m)(t)+ bm-1x(m-I)(t) +... + b,x(t)式中：x(t)一输入，y(t)一输出 aj,(i=0~n-l);bi,j=0~m)为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零)(s" +an-sn-I +...+as+ao)Y(s)=(b.s" +bm-ism-I +...+bs+b)X(s)+系数取决于初始条件的多项式b.s" + bm-'"- +.+ bs + bo X(s)+系数取决于初始条件的多项式Y(s) :-s" +an-isn-I +..+ajs+aos" +an-isn-l +... +ajs+aoy(t)= yi(t) + y2(t)上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程，4
4 设系统或元件的微分方程为： ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) 0 ( 1) 1 ( ) 0 ( 1) 1 ( ) y t a y t a y t b x t b x t b x t m m m m n n n + + + = + + + − − − − 上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 . ( ) . . ( ) s a s a s a X s s a s a s a b s b s b s b Y s n n n n n n m m m m + + + + + + + + + + + + + = − − − − − − 系数取决于初始条件的多项式 ( . ) ( ) ( . ) ( ) 1 0 1 1 0 1 1 1 s a s a s a Y s b s b s b s b X s m m m m n n n + + + + = + + + + − − − − +系数取决于初始条件的多项式 ( ) ( ) ( ) 1 2 y t = y t + y t a ,(i 0 ~ n 1);b , j 0 ~ m) 式中：x(t)—输入，y(t)—输出 i = − j = 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零） 第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的充要条件和属性
西安交通大学EE'ANJLROTONAENIVEESTY稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。系数取决于初始条件的多项式系数取决于初始条件的多项式Y(s)=ns" +an-isn-l +...+ajs+aoII(s+ p,)II(s? +25,0 +0)j=lk=1b(s+StOr)+COkV1-5?dMVs? +25k0ks+02s+pi1k=1时域表达式为：(t)=Za,e-P* +Zbeol coso, /i-Sit+ZCche-Sto' sin Ok y1-52tk=l口线性定常系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半开平面
5 ( ) ( 2 ) . ( ) 2 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 k k k n k j n j n n n s p s s a s a s a Y s + + + = + + + + = = = − − 系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式 = = + + + + − + + = 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 n k k k k k k k k k k n j j j s s b s c s p a y t a e b e t c e t k k t n k k k k t n k k n j p t j j k k k k 2 1 2 1 1 2 ( ) cos 1 sin 1 1 2 2 = + − + − − = − = = − ❑ 线性定常系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具 有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半开平面。 时域表达式为： 前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的充要条件和属性
西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIYEESTY3.5系统的稳定性和代数稳定判据对有界输入一有界输出稳定系统可看作当输入有界(如阶跃输入)时，第一项在足够长的时间内输出有界并趋于有限值。6
6 对有界输入—有界输出稳定系统可看作当输 入有界(如阶跃输入)时，第一项在足够长的时间 内输出有界并趋于有限值。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
西安交通大学E'ANJLAOTONAENIVEESTY稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据b.s" +bm-s"- +..+bys+bo X(s)= 0(s)X(s)Y(s) =s" +an-isn-I +... +as+aokgII(s+z)1=1Φ(s) =n,+2n,=n,m≤nnII(s+ p)II(s? +25/0,s+0%)j=1k=1其单位阶跃响应函数为b(s+SrOk)+ChOkV1-5RniWadoNY(s) =Φ(s)s? +25/0ks+02sss+pjSk=1i=lt≥07
7 ( ) ( ) ( ) . . ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 1 X s s X s s a s a s a b s b s b s b Y s n n n m m m m = + + + + + + + + = − − − − 其单位阶跃响应函数为： = = + + + + − + + = = + 1 2 1 2 2 2 1 0 1 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) n k k k k k k k k k k n j j j s s b s c s p a s a s Y s s t 0 n n n m n s p s s k s z s n j n k j k k k m i g i + = + + + + = = = = 1 2 ， 1 1 2 2 1 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 1 2 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的充要条件和属性
西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVERSTS3.5系统的稳定性和代数稳定判据时域表达式为：-Pic(t)=αo + Qj=lne-Sox cos J1-rort+Zcre-sox sin /1-5rort>k=1k=18
8 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 = − = + 1 1 0 ( ) n j p t j j c t a a e b e t c e t k k t n k k k k t n k k k k k k 2 1 2 1 cos 1 sin 1 2 2 + − + − − = − = 时域表达式为：
西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVEESITT3.5系统的稳定性和代数稳定判据定理1：线性定常系统渐近稳定的充要条件为系统的全部特征根都位于s左半开平面，即系统的特征方程的根全为负实数或具有负实部的共轭复根定理2：线性定常系统为有界输入-有界输出稳定系统的充要条件为系统的全部极点都位于s左半开平面O
9 定理1：线性定常系统渐近稳定的充要条件为系统的全部 特征根都位于s左半开平面，即系统的特征方程的根 全为负实数或具有负实部的共轭复根。 定理2：线性定常系统为有界输入——有界输出稳定系统 的充要条件为系统的全部极点都位于s左半开平面。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIYEESTY3.5系统的稳定性和代数稳定判据充要条件说明如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态(或临界稳定状态）S平面从控制工程的角度认为临界稳定不稳定区临界稳定稳定区R状态和随遇平衡状态属于不稳定10
10 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间 单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是 发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。 如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统 可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它对应于等幅的周期振荡， 称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 稳 定 区 不 稳 定 区 临 界 稳 定 m I Re S平面 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 充要条件说明 从控制工程的角度认为临界稳定 状态和随遇平衡状态属于不稳定