华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第三章 傅里叶变换 §3.5 傅里叶变换的性质 Properties of Fourier Transform

3.5 Properties of Fourier Transform 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数 函数的积分，即 f)= F(jw)edω 式中： F(Gw）=f(t)e4dt 时间函数f(t)与频谱函数F(jw)有一一对应的关系，可记为 f(t)←→F(jw) 1

1 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数 函数的积分， 即 §3.5 Properties of Fourier Transform

3.5傅里叶变换的性质 。线性Linearity 0 奇偶虚实性Conjugation and Conjugate Symmetry 对称性Duality 。尺度变换特性Time Scaling 时移特性和频移特性Time and Frequency Shifting 微分和积分特性Differentiation and Integration 。卷积定理Convolution Property ·Paseval定理Paseval's Relation 2

2 • 线性 Linearity • 奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry • 对称性 Duality • 尺度变换特性 Time Scaling • 时移特性和频移特性 Time and Frequency Shifting • 微分和积分特性 Differentiation and Integration • 卷积定理 Convolution Property • Paseval定理 Paseval’s Relation 3.5 傅里叶变换的性质

l、线性Linearity 若f(t)→F(j0),f(0)→F(j0), 且设a1,a2为常数，则有 af(t)+a2f(t)>af(j@)+a2(j@) 若则 FT f(t)]=F(@) m三ao立a5o 3

3 1、线性 Linearity 若 则  ( ) () i Fi FT f t            n i i i n i FT ai f i t a F 1 1 ( ) () 若 ( ) ( ), ( ) ( ), f 1 t  F1 j f 2 t  F2 j 且设a1 , a2为常数，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) a1 f 1 t  a2 f 2 t  a1 f 1 j  a2 f 2 j

求：f(t) 的傅立叶变换 /(t) -t -92 f(t)=[u(t+)-u(t-)】+[u(t+t)-u(t-T)】 F(@)=t[Sa (ot /2)+2Sa (or ) 4

4 求： f (t) 的傅立叶变换 2  2    f (t) 1 2 t 2 2 f t u t u t u t u t ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]             F ( )   [ Sa ( / 2 )  2 Sa ( )]  2

2、奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry 无论t)是实函数还是复函数，下面两式均 成立 时域反摺 频域也反摺 FT[f(t)]=F(@) FT[f(-t)]=F(-o) 时域共轭 FT[f(t)]=F(-@) 频域共轭 并且反摺 FTLf(-t)]=F(@) 5

5 2、 奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry 无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均 成立 [ ( )] ( ) * * FT f t  F  FT[ f (t)]  F() FT[ f (t)]  F() [ ( )] ( ) * * FT f t  F  时域反摺 频域也反摺 时域共轭 频域共轭 并且反摺

(一)f)是实函数 F()=f(t)coso td-jf(t)sino idi 偶函数 奇函数 R(@) jXo R(@)=R(-0) Xm=-X可 实函数的傅立叶变换的实部为偶函数， 而虚部为奇函数 6

6 (一)、f(t)是实函数       F()  f (t)cos tdt  j f (t)sin tdt R() 偶函数 jX() 奇函数 实函数的傅立叶变换的实部为偶函数， 而虚部为奇函数 R() R()

f(-t)的频谱 T=-l FILf(-t】=」f-t)edh=rf(r)eord-r) =f(t)e dr=F(-0) F(-o)=R(-0)+X(-0) =R(0)-X(0)=F(0) 实部为偶函数，虚部为奇函数 FT[f(-t)]=F(-0) F(-)-F(@) FT[f(-t)]=F*(o) 7

7 f(-t)的频谱 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t j t j j FT f t f t e dt f e d f e d F                                实部为偶函数，虚部为奇函数 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F R jX R jX F               [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) *   FT f t F FT f t F      ( ) ( ) * F  F 

F(@)=VR2(o)+X2(@) p(@)=arctg [X(o) R(@). F(@)=F(-@) p(0)=-p(-0) 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数 8

8 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数 F()  F() () ()          ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2        R X arctg F R X

若ft)是实偶函数，则f(t)sin ot是t的奇函 数，X(o)=0因此 F(o)=R(@)=["f(t)cosoidt =2 f(t)cosoidt 频谱函数F(o))的实偶函数。 若f(t)是实奇函数，则f(t)sin ot是t的偶函 数，R(0)=0,因此 F(o)=jX(o)=-j["f(t)sin@tdt =-j2 f(t)sin otdt 频谱函数F(o)是O的虚奇函数。 9

9 若 是实偶函数，则 是t的奇函 数， ，因此 频谱函数 是 的实偶函数。 若 是实奇函数，则 是t的偶函 数， ，因此 频谱函数 是 的虚奇函数。 X ()  0 f(t) f (t)sint F R f t tdt    ()  ()  ( ) cos f t tdt    0 2 ( ) cos F  f(t) f (t)sint R()  0 F jX j f t tdt    ()  ()   ( )sin j f t tdt     0 2 ( )sin F 

(二)、f()=jg()是虚函数 F(@)=g(t)sino tdt+jg(t)cos@idt 奇函数 R) 偶函数 个 jXo R(@)=-R(-0) X可=X-可 F(@)=F(-@) p(0)=-0(-0) F(-0)=-F(o)

10 (二)、f(t) = jg(t)是虚函数       F()  g(t)sin tdt  j g(t)cos tdt jX() 偶函数 R() 奇函数 R() R() ( ) ( ) * F  F  F()  F() () ()