华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第五章 拉普拉斯变换和连续时间系统的复频域分析（1/2）

Ch5 拉普拉斯变换和连续时间系统的 Laplace Transform 复频域分析 本章要点 •拉氏变换的定义一从傅立叶变换到拉氏 变换 拉氏变换的收敛域，性质 ·系统函数和单位冲激响应 S域分析、极点与零点 频率响应，稳定性分析 •信号流图与系统模拟 拉氏变换与傅氏变换的关系

1 Ch5 拉普拉斯变换和连续时间系统的 复频域分析 本章要点 •拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏 变换 •拉氏变换的收敛域，性质 •系统函数和单位冲激响应 •S域分析、极点与零点 •频率响应，稳定性分析 •信号流图与系统模拟 •拉氏变换与傅氏变换的关系 Laplace Transform

Recall:上一章讲述了F-变换：ff0emd F-变换是将信号表示成复指数e线性组合，s=jo F-变换在信号分析（频谱）及LTI系统分析（频响特性) 具有非常重要的作用，而信号与系统之相互作用可由卷 积定理方便表述。 同时注意到F-变换侧重于信号分析 2

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C变换： 作为F-变换的推广，也是将信号表示成复指数e线性组 合，其中s为任意复数5=o+j0。L-变换除了和F变换一样 分析信号与乩T1系统，同时提供了研究信号与系统的另一种 工具，更重要的是C变换还可以用来分析F-变换所不能分 析的系统，如不稳定系统。 因此要注意 变换侧重于系统分析 3

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本章重点： -变换在系统分析中应用，如系统函数的概念、系 统时域特性、系统频域特性、系统稳定性分析等。 本章思路： 变换定义、性质→结合系统分析介绍变换的应用 4

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5.1.1 Definition-from FT to LT 有几种情况不满足狄里 。 若乘一衰减因子e -ot 赫利条件： 石为任意实数，则 f(t).e-a 收敛，于 是满足狄里赫利条件 ·u() u(t)eo 增长信号e(a>0) 周期信号c0S01t (o>a) e-ai cos t 5

5 5.1.1 Definition——from FT to LT 有几种情况不满足狄里 赫利条件： • u(t) • 增长信号 • 周期信号 e (a  0) at • 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于 是满足狄里赫利条件 , t e   t f t e   ( ). t u t e  ( ) e .e ( a) at t     e t t 1 cos   t 1 cos 

因果 f(t)=f(t)e S=0+j0 F()=f(t)e-dt 象函数 正LT F(s)=f(t)e-"dt 反变换 fe"=2 F (0 )e i'do (eed )S=0+j@ 原函数 逆LT F(s)e"ds ds=jdo FT:实频率 是振荡频率 LT复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度 6

6 t f t f t e   ( )  ( ) 1 F f t e dt j t      0 ( ) 1 ( ) ( )    因果     0 F(s) f (t)e dt st sj 象函数 正LT F s e ds j f t j j st          ( ) 2 1 ( ) 原函数 逆LT FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度         f t e F e d t j t       ( ) 2 1 ( ) 1      f t F e e d t j t      ( ) 2 1 ( ) 1 反变换 ds jd s   j

单边拉式正变换： Unilateral LT F(s)=f()e-"dt=LTIf(t)] 单边拉式反变换： F(s)est ds ].u(t)=LT[F(S)] Jo-jo 双边拉式正变换： F,(s)=[f(t)e-"dt Bilateral LT 双边拉式反变换： f(t)= F(s)e"ds 2元jJo-j0 7

7 ( ) ( ) [ ( )] 0 F s f t e dt LT f t st      ( ) ] ( ) [ ( )] 2 1 ( ) [ 1 F s e ds u t LT F S j f t j j st             单边拉式正变换： 单边拉式反变换：     F s  f t e dt st b ( ) ( ) F s e ds j f t j j st  b         ( ) 2 1 ( ) 双边拉式正变换： 双边拉式反变换： Bilateral LT Unilateral LT

5.1.2收敛条件 Region of Convergence 在S复平面中，凡能使F(S)存在的S值的范 围称为拉式变换的收敛域(ROC) 1.单边拉式变换的收敛域 lim f(t)e-=0 (> t→0 若上式在σ>o,时成立，则函数f)的拉式变换在 ReS]>o,的范围内是收敛域的。 收敛域：s时右侧的阴影部分ReS>o的范围。 收敛轴：σ=o时的直线， 收敛边界 收敛坐标：oo 8

8 5.1.2 收敛条件 在S复平面中，凡能使F(S)存在的S值的范 围称为拉式变换的收敛域（ROC）。  0  a  j lim ( ) 0 ( )   0      t t f t e 1. 单边拉式变换的收敛域 若上式在>0时成立，则函数 f(t) 的拉式变换在 Re[S] >0的范围内是收敛域的。 收敛域：0时右侧的阴影部分 Re[S] >0的范围。 收敛轴：  ＝0时的直线， 收敛边界 收敛坐标： 0 Region of Convergence

收敛域 limf(t)eo=0(o>oo） 有始有终信号和能量有 限信号时限信号 整个平面 (如单个矩形脉冲) 等幅振荡信号和增长信号 以00为界 o0>0或o0>a u(),n的收敛域：S右半平面 不收敛信号 e, te (0≤t≤oo) 除非 (0≤t≤T) 9

9 lim ( ) 0 ( )   0      t t 收敛域 f t e • 有始有终信号和能量有 限信号时限信号 （如单个矩形脉冲）  0  0 或  a  0 , (0 ) 2 2 e te  t   t t  整个平面 j  0  a  以 0 为界 j  (0  t  T) • 等幅振荡信号和增长信号 • 不收敛信号 除非 u(t)，t n 的收敛域：S右半平面

2双边拉氏变换的收敛域(ROC) bilateral LT f(1)=e"u(t)+eu(-t) f(t)e-aldi -e-aydt+ed oa 0 b b>a,a<o<b 收敛，存在双边拉 a 氏变换 a<o<b b<a 没有收敛域。不存在双边拉 10 氏变换

10 f (t) e u(t) e u( t) at bt                  0 ( ) 0 ( ) f (t)e dt e dt e dt  t b  t a  t b a ba,a  b b  a 收敛，存在双边拉 氏变换 没有收敛域。不存在双边拉 氏变换 2 双边拉氏变换的收敛域（ROC） 0 b   b 0 a a  0 b a    b  j a bilateral LT