第五章连续时间系统的复频域分析 5.1学习要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯的定义、收敛域：熟练掌握拉普拉斯正反变 换的方法及拉普拉斯的性质。能用拉普拉斯变换分析LTI系统，求零输入响应、零状态响应 等：能根据时域电路模型画出s域电路模型。理解拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。 5.2内容概述 5.2.1拉普拉斯变换及其收敛域 1.双边拉普拉斯变换对 正变换： F(s)=LT[f()]=f(t)e-"dt 反变换： f=L7[FFFeea: 2.单边拉普拉斯变换对 正变换： F(s)=LT[f()]=["f(D)e-"dr 反变换： f0=LI'[Fj=27Fse0 3.拉普拉斯变换存在的条件与收敛域(ROC) 如果存在o的值，使得im()=limf)e=0,则F(s)存在，即f()的拉 普拉斯变换存在的充分条件是存在o,使(t)=f(t)⑦满足绝对可积条件。 在s平面（或称复平面）上使f1(t)=f(t)满足绝对可积条件的o的取值区间 称为F(S)的拉普拉斯变换的收敛域。 5.2.2常见信号的拉普拉斯变换 常用信号的单边拉氏变换如表5-1所示： 1
1 第五章 连续时间系统的复频域分析 5.1 学习要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯的定义、收敛域；熟练掌握拉普拉斯正反变 换的方法及拉普拉斯的性质。能用拉普拉斯变换分析 LTI 系统，求零输入响应、零状态响应 等；能根据时域电路模型画出s 域电路模型。理解拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。 5.2 内容概述 5.2.1 拉普拉斯变换及其收敛域 1．双边拉普拉斯变换对 正变换： ( ) ( ) ( ) st F s LT f t f t e dt d 反变换： 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 j st d j f t L T F s F s e d s j 2．单边拉普拉斯变换对 正变换： 0 ( ) ( ) ( ) st F s LT f t f t e dt 反变换： 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 2 j st j f t LT F s F s e ds u t j 3. 拉普拉斯变换存在的条件与收敛域（ROC） 如果存在 的值，使得 1 lim ( ) lim ( ) 0 t t t f t f t e ，则 F (s) 存在，即 f (t ) 的拉 普拉斯变换存在的充分条件是存在 ，使 t f t f t e ( ) ( ) 1 满足绝对可积条件。 在 s 平面（或称复平面）上使 t f t f t e ( ) ( ) 1 满足绝对可积条件的 的取值区间 称为 F s( ) 的拉普拉斯变换的收敛域。 5.2.2 常见信号的拉普拉斯变换 常用信号的单边拉氏变换如表 5-1 所示：
表5-1常用信号的单边拉氏变换 序 信号f()(t>0) 拉氏变换 收敛域 号 u(t) 1 Re[s]>0 S 6(t) 1 Re[s]>-co 3 ea 1 Re[s]>-a s+a n! 4 tn(n为正整数) 5 Re[s]>0 00 5 s+og Re[s]>0 sint.u(t). 6 cos@t-u(t) 32+o Re[s]>0 e-a sino tu(t) 00 Re[s]>0 (s+a)2+o s+a 8 e-a costu(t) Re[s]>0 (s+a)2+o t"eu(t）(n为正 n! 9 Re[s]>0 整数) (心+a) 10 tsino。1u(t) 20S (s2+o7 Re[s]>0 s2-o6 11 tcosot.u(t) (s2+o6 Re[s]>0 5.2.3拉普拉斯变换的性质 1.线性 如果f)旧的F(s),5()旧的F(s),则线性组合函数f)=a)±时)的拉 普拉斯变换为 LT[a()±j)]=aLT[f]±bLT[ft)]=aF(s)±bF(s) 2
2 表 5-1 常用信号的单边拉氏变换 序 号 信号 f t( ) ( 0) t 拉氏变换 收敛域 1 u t( ) 1 s Re[ ] 0 s 2 ( )t 1 Re[ ]s 3 t e 1 s Re[ ]s 4 n t （n 为正整数） 1 ! n n s Re[ ] 0 s 5 0 sin ( ) t u t . 0 2 2 0 s Re[ ] 0 s 6 0 cos ( ) t u t 2 2 0 s s Re[ ] 0 s 7 sin ( ) t o e t u t 0 2 2 0 ( ) s Re[ ] 0 s 8 0 cos ( ) t e t u t 2 2 0 ( ) s s Re[ ] 0 s 9 ( ) n t t e u t （n 为正 整数） 1 ! ( )n n s Re[ ] 0 s 10 sin ( ) o t t u t 0 2 2 2 0 2 ( ) s s Re[ ] 0 s 11 0 t t u t cos ( ) 2 2 0 2 2 2 0 ( ) s s Re[ ] 0 s 5.2.3 拉普拉斯变换的性质 1. 线性 如果 1 1 f t F s ( ) ( ) ， 2 2 f t F s ( ) ( ) ,则线性组合函数 1 2 f t af t bf t ( ) ( ) ( ) 的拉 普拉斯变换为 LT af t bf t aLT f t bLT f t aF s bF s 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
收敛域为Re[s]>a。 2.尺度变换特性 如果f(t)旧西F(s),且收敛区间为o10时，ao1<Re[s]<ao2: a<0时，ao2<Re[s<ao1 3.时延特性 如果f(t)旧阳F(s),且收敛区间为o,<R[s<o2,则 LT[f(t-to)]=F(s)e- 收敛区间：不变。 4.复频移特性 如果f(t)旧西F(s),且收敛区间为o,<R[s]<o2,则 LTf(t)e=F(s-s0) 收敛区间：o,+Re[so]<Re[s<o2+Re[so]。 5.时域微分特性 如果f(t)旧西F(s),收敛区间o,<R[s<o2,则 r[品]小=-0)一对于0系统 或 L[品]=s0)一对于0系统 收敛区间：可能增大，不会减小。 6.时域积分特性 如果fu)旧阳F(s),收敛区间o1<Re[s<o2,则 [Cear]-四 收敛区间：由于引入s=0处的极点，收敛域可能缩小。 3
3 收敛域为Re[ ]s 。 2. 尺度变换特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，且收敛区间为 1 2 Re[ ]s ，则 1 ( ) ( ) s LT f at F a a 收敛区间： a 0时， a s a 1 2 R e[ ] ； a 0 时，a s a 2 1 Re[ ] 。 3．时延特性 如 果 f t F s ( ) ( ) ， 且 收 敛 区 间 为 1 2 Re[ ]s ， 则 0 0 ( ) ( ) st LT f t t F s e 收敛区间：不变。 4.复频移特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，且收敛区间为 1 2 Re[ ]s ，则 0 0 ( ) ( ) s t LT f t e F s s 收敛区间： 1 0 2 0 Re[ ] Re[ ] Re[ ] s s s 。 5.时域微分特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 ( ) ( ) (0 ) d LT f t sF s f dt ——对于0 系统 或 ( ) ( ) (0 ) d LT f t sF s f dt ——对于0 系统 收敛区间：可能增大，不会减小。 6．时域积分特性 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 0 ( ) ( ) t F s LT f d s 收敛区间： 由于引入 s=0 处的极点，收敛域可能缩小
7.复频域微积分特性 (1)复频域微分 如果f(t)旧西F(s),收敛区间o1o1,f(t)旧西F(s )Re(s)>o2,则 LT[(t)*()]=LT[(t)LT[(t]=F(s)F(s) (2)复频域卷积定理 noioI=2oIruo1:25o5o1 其中，F(s)*FE)=Fp)E(s-p)冲。 9.初值定理和终值定理 (1)初值定理 如果f(t)和∫'(t)存在，且f()的拉普拉斯变换也存在，则 f(0*)=lim f(t)=limsF(s) t01 2.终值定理 如果f(t)和f'(t)存在，f()的拉普拉斯变换也存在，且F(s)的极点位于s平面的左 半平面，在S=0上至多存在单极点，则 f(+co)=lim f(t)=limsF(s) 50 4
4 7.复频域微积分特性 （1）复频域微分 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 ( ) ( ) d LT tf t F s ds 收敛区间： 可能增加，但对因果信号，收敛域不变。 （２）复频域积分 如果 f t F s ( ) ( ) ，收敛区间 1 2 Re[ ]s ，则 ( ) ( ) s f t LT F p dp t 收敛区间： 可能减小，但对因果信号，收敛域不变。 8．卷积定理 (１)时域卷积定理 若函数 1 1 f t F s ( ) ( ) 1 Re(s) , 2 2 f t F s ( ) ( ) 2 Re(s) ，则 1 2 1 2 1 2 LT f t f t LT f t LT f t F s F s [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) (２)复频域卷积定理 1 2 1 2 1 2 1 1 [ ( ) ( )] [ ( )]* [ ( )] [ ( ) ( )] 2 2 LT f t f t LT f t LT f t F s F s j j 其中, 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j j F s F s F p F s p dp 。 9．初值定理和终值定理 （１）初值定理 如果 f t( )和 f t ( ) 存在，且 f t( )的拉普拉斯变换也存在，则 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s ２．终值定理 如果 f t( )和 f t ( ) 存在， f t( )的拉普拉斯变换也存在，且 F s( )的极点位于 s 平面的左 半平面，在s 0上至多存在单极点，则 0 ( ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s
5.2.4单边拉普拉斯逆变换 (一)部分分式展开法 1.mLT-ke0) (5-2) s-S i= 这样，只要求出常数系数K,就可求出拉普拉斯逆变换。常数K;的求法一般有系数 平衡法、极限法、导数法。 2.m<n,A(S)=0有共轭复根 如果m<n,A(S)=0有复根，则复根一定共轭出现（假设α是实数）。假设S,是一个复 根，则S2=S1一定也是方程的根，设s2=-士jB,则可将F(S)分成两部分 F(s)=B(s) B(s) A(s)[(s+a)2+B2]A,(s) K B2(S) (5-3) s+a+jB s+a-jB A(s) =F(S)+F(s) 有： ()=2Ke"cos(B+(LB() (5-4) A,(s) 3.m<n,A(s)=0有重根（假设s,为p阶重根） 象函数可以由以下两部分组成 F)=,K+ (-P'-r++ Ku-D Kip B.(S) (s-s)/(s-s)4(s) (5-5) =F(S)+F(S) 其中F(S)为只包含重根的部分，而F,(S)则为只包含单根的部分
5 5.2.4 单边拉普拉斯逆变换 （一）部分分式展开法 1. m n A s , ( ) 0无重根 假设 A s( ) 0 的根为 1 2 , ,..., n s s s ，则可以将 F s( )表示为 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n i n i i B s K K K K F s A s s s s s s s s s (5-1) 由 1 [ ]t LT e s a 得 1 1 [ ] ( ) t LT e u t s a 1 1 1 1 1 1 [ ( )] [ ] [ ] ( ) i n n n i i s t i i i i i i K K LT F s LT LT K e u t s s s s (5-2) 这样，只要求出常数系数 Ki ，就可求出拉普拉斯逆变换。常数 Ki 的求法一般有系数 平衡法、极限法、导数法。 2. m n A s , ( ) 0有共轭复根 如果m n A s , ( ) 0有复根，则复根一定共轭出现（假设 是实数）。假设 1 s 是一个复 根，则 * 2 1 s s 一定也是方程的根，设 1,2 s j ，则可将 F s( )分成两部分 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B s B s F s A s s A s K K B s s j s j A s F s F s (5-3) 有： 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 cos( ) ( ) [ ] ( ) t B s f t K e t u t LT A s (5-4) ３. m n A s , ( ) 0有重根（假设 1 s 为 p 阶重根） 象函数可以由以下两部分组成 11 12 1 2 1( 1) 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) P P p p K K K B s K F s s s s s s s s s A s F s F s (5-5) 其中 1 F s( ) 为只包含重根的部分，而 2 F s( ) 则为只包含单根的部分
可得： )+LTUF()() (5-6) (p-)川 如果m≥n时，则先通过长除，将其变为一个s的真分式和多项式的和 F(s)= B(=C(s)+ B(s) (5-7) A(s) A(s) 然后再用前面的方法求解。这时F(S)出现了常数项或s的幂次项，因此，f(t)中将出 现6(t)项或6(t)的导数项。 (二)留数法 根据复变函数理论，在满足以下两个条件（约当辅助定理）： (1) Lim F(s)=0 (2) e中的实部满足Re[s0和10) 值得注意的是，留数法只能在m<n的条件下应用，m≥n时，f(t)中将出现6(t)项 或6(t)的导数项，不满足约当辅助定理条件(1)，这时可以先用长除进行处理，然后用留 数法处理m<n的部分。 虽然留数法与部分分式法均可用来求取原函数，但部分分式法只能求解有理函数的原函 数，而留数法则不受此限制，而且留数法在数学上比部分分式法严密。 5.2.5线性系统的复频域分析 (一)微分方程的变换解 对于连续、定常、线性非时变系统，可以表示成微（积）分方程的形式 6
6 可得 ： 1 1 1 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )! p s t j p j j K f t e t u t LT F s u t p j (5-6) 如果m n 时，则先通过长除，将其变为一个 s 的真分式和多项式的和 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B s B s F s C s A s A s (5-7) 然后再用前面的方法求解。这时 F s( )出现了常数项或s 的幂次项，因此， f t( )中将出 现 ( )t 项或 ( )t 的导数项。 （二） 留数法 根据复变函数理论，在满足以下两个条件（约当辅助定理）： (1) ( ) 0 Lim F s s (2) st e 中的实部满足Re[ ] 0 s 时，有 lim ( ) 0 st R ABC F s e ds 或 ' lim ( ) 0 st R AB C F s e ds 综合t 0和t 0两种情况，得到 F s( )的原函数 Re [ ( ) ] , ( 0) 1 ( ) [ (0 ) (0 )] , ( 0) 2 Re [ ( ) ] , ( 0) st st s F s e t f t f f t s F s e t (5-8) 值得注意的是，留数法只能在m n 的条件下应用，m n 时， f t( )中将出现 ( )t 项 或 ( )t 的导数项，不满足约当辅助定理条件（1），这时可以先用长除进行处理，然后用留 数法处理m n 的部分。 虽然留数法与部分分式法均可用来求取原函数，但部分分式法只能求解有理函数的原函 数，而留数法则不受此限制，而且留数法在数学上比部分分式法严密。 5.2.5 线性系统的复频域分析 （一）微分方程的变换解 对于连续、定常、线性非时变系统，可以表示成微（积）分方程的形式
ay0()+an-ya-"(0+…+aoy(0 =bnfm()）+bn-fm-(0+…+bf)） 即 2a,0=2/m0 (5-9) 设y()旧阳Y(s),f(t)旧西F(s),并设t<0时f(t)=0。对上式两边取拉氏变换， 有 Y(s)= D(s)E(s)F(s) (5-10) A(s)A(s) 美中4-立Q:是方程G的特征多现式：，)的系数仅和方程的系题 a,6有关：Dg-之a心y”0】也是s的多项式，其系数只与a和响应0的 i=0p=0 各初始状态有关。 从上式6-10可以看出，方程的解分成两部分：第一部分D仅与系统的初始状态有 A(s) 关，而与输入无关，即为系统零输入响应的象函数，记为Y(S):第二部分 (F(S)则仅 A(s) 与系统的输入有关，而与系统的初始状态无关，即为系统零状态响应的象函数，记为Y(S)。 于是系统输出象函数Y(s)的表达式可写为 Y(s)=Y(s)+()=D(s)+)F(s) (5-11) A(s)A(s) 从而可得到系统的完全响应为 0=y.0+y,0=LT2+LTB9Fs] (5-12) A(S)1 A(s) (二)系统函数 对于连续、定常、线性非时变系统，可以表示成微（积）分方程的形式如(5-9)所示。 对于式(5-10)，若系统的初始条件为零，则该式的第一项将为零，即
7 ( ) ( 1) 1 0 ( ) ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m a y t a y t a y t b f t b f t b f t 即 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) n m i j i j i j a y t b f t (5-9) 设 y t Y s ( ) ( ) ，f t F s ( ) ( ) ，并设t 0时 f t( ) 0 。对上式两边取拉氏变换， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D s B s Y s F s A s A s (5-10) 其中 0 ( ) n i i i A s a s 是方程(5-9)的特征多项式； A s B s ( ), ( ) 的系数仅和方程的系数 , i j a b 有关； 1 1 ( ) 0 0 ( ) [ (0 )] n i i p p i i p D s a s y 也是s 的多项式，其系数只与 i a 和响应 y t( ) 的 各初始状态有关。 从上式(5-10)可以看出，方程的解分成两部分：第一部分 ( ) ( ) D s A s 仅与系统的初始状态有 关，而与输入无关，即为系统零输入响应的象函数，记为 ( ) Y s zi ；第二部分 ( ) ( ) ( ) B s F s A s 则仅 与系统的输入有关，而与系统的初始状态无关，即为系统零状态响应的象函数，记为 ( ) Y s zs 。 于是系统输出象函数Y s( ) 的表达式可写为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zi zs D s B s Y s Y s Y s F s A s A s (5-11) 从而可得到系统的完全响应为 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ( )] ( ) ( ) zi zs D s B s y t y t y t LT LT F s A s A s （5-12） （二）系统函数 对于连续、定常、线性非时变系统，可以表示成微（积）分方程的形式如（5-9）所示。 对于式（5-10），若系统的初始条件为零，则该式的第一项将为零，即
Y(s)= B(s)F(s) (5-13) A(s) 定义 H(s)= B(s) (5-14) A(s) 则式(5-13)可写为 Y(s)=H(s)F(s) 在系统分析理论中，称H(S)为系统函数，或称为传递函数。系统函数只与描述系统的 微分方程中的系数4，b,有关，而与激励信号及系统的初始条件无关，即系统函数只与系统 本身的结构有关。作为一个特例，将f(t)=6()作为输入信号，因为这时F(s)=1,于是 有Y(s)=H(s)。 由于在系统初始条件为零的情况下，系统的响应为零状态响应，故式(5-13)可写为 Y.(s)=H(s)F(s) (5-14) 对应系统的时域分析中得到的结论就是 y.(t)=LT-[Y,(s)]=LT-[H(s)F(s)] =LT-H(s)]LT-[F(s)] (5-15) =h()*f(t) 5.2.5电路系统变换域分析 在分析电路的各种问题时，可通过拉普拉斯变换，将原时域电路中电源变换为象函数， 各电路元件也可用s域模型替代（初始状态变换为相应的内部象电源），这样就可以画出原 时域电路的S域等效模型。然后在s域中运用基尔霍夫定律(KVL、KCL),解出所需未知响 应的象函数，取其逆变换就得到所需的时域响应。 5.2.6系统的框图 系统框图可以用时域关系表示，相应的框图称为时域模拟框图：也可以用复频域中的关 系表示，相应的框图称为复频域模拟框图。系统框图的单元由各种基本运算单元构成，也可 由某些子系统的系统函数构成。 5.2.7拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 8
8 ( ) ( ) ( ) ( ) B s Y s F s A s （5-13） 定义 ( ) ( ) ( ) B s H s A s （5-14） 则式（5-13）可写为 Y s H s F s ( ) ( ) ( ) 在系统分析理论中，称 H s( ) 为系统函数，或称为传递函数。系统函数只与描述系统的 微分方程中的系数 , i j a b 有关，而与激励信号及系统的初始条件无关，即系统函数只与系统 本身的结构有关。作为一个特例，将 f t t ( ) ( ) 作为输入信号，因为这时 F s( ) 1 ，于是 有Y s H s ( ) ( ) 。 由于在系统初始条件为零的情况下，系统的响应为零状态响应，故式（5-13）可写为 ( ) ( ) ( ) Y s H s F s zs （5-14） 对应系统的时域分析中得到的结论就是 1 1 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) zs zs y t LT Y s LT H s F s LT H s LT F s h t f t （5-15） 5.2.5 电路系统变换域分析 在分析电路的各种问题时，可通过拉普拉斯变换，将原时域电路中电源变换为象函数， 各电路元件也可用s 域模型替代（初始状态变换为相应的内部象电源），这样就可以画出原 时域电路的 s 域等效模型。然后在 s 域中运用基尔霍夫定律（KVL、KCL），解出所需未知响 应的象函数，取其逆变换就得到所需的时域响应。 5.2.6 系统的框图 系统框图可以用时域关系表示，相应的框图称为时域模拟框图；也可以用复频域中的关 系表示，相应的框图称为复频域模拟框图。系统框图的单元由各种基本运算单元构成，也可 由某些子系统的系统函数构成。 5.2.7 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
设因果信号为f(t),其拉普拉斯变换的收敛域R[s>o。 (1)σ。>0（收敛边界落于s平面右半边） 在这种情况下，函数f(t)的博里叶变换不存在。 (2)0。<0(收敛边界落于s平面左半边) 在这种情况下，f()的博里叶变换为 F(jo)=F(s)je (5-16) (3)0。=0(收敛边界位于虚轴) 在这种情况下，单边拉氏变换的表达式在虚轴上不收敛，但函数存在拉氏变换，而其傅 氏变换也可以存在，它的傅氏变换中将包括奇异函数项。 若信号f(t)的拉氏变换F(s)的收敛坐标o。=0,那么F(S)的特征方程A(s)=0必有 虚根，设A(s)=0有N个虚根（单根）j@1,j@2…j0w,将F(s)展开为部分分式，并将 其分为两部分，其中极点在s平面左半开平面的部分设为F(S)。即 F)=EO)+户K (5-17) 台s-j0 其拉氏逆变换为 f0=i0+2Ke0 (5-18) 则f(t)的傅氏变换 m0l-o)=字+空ka-) (5-19) -F(m+(@-0) 5.3本章知识点 (1)拉普拉斯变换的定义及收敛域 9
9 设因果信号为 f t( )，其拉普拉斯变换的收敛域Re[ ] 0 s 。 (1) 0 0 (收敛边界落于s 平面右半边) 在这种情况下，函数 f t( )的博里叶变换不存在。 (2) 0 0 (收敛边界落于s 平面左半边) 在这种情况下， f t( )的博里叶变换为 ( ) ( ) F j F s s j （5-16） (3) 0 0 (收敛边界位于虚轴) 在这种情况下，单边拉氏变换的表达式在虚轴上不收敛，但函数存在拉氏变换，而其傅 氏变换也可以存在，它的傅氏变换中将包括奇异函数项。 若信号 f t( )的拉氏变换 F s( )的收敛坐标 0 0 ，那么 F s( )的特征方程 A s( ) 0 必有 虚根，设 A s( ) 0 有 N 个虚根（单根） 1 2 , N j j j ，将 F s( )展开为部分分式，并将 其分为两部分，其中极点在s 平面左半开平面的部分设为 ( ) F s a 。即 1 ( ) ( ) N i a i i K F s F s s j （5-17） 其拉氏逆变换为 1 ( ) ( ) ( ) i N j t a i i f t f t K e u t （5-18） 则 f t( )的傅氏变换 1 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N i a s j i i i i i N s j i i i K FT f t F j F s K j j F s K （5-19） 5.3 本章知识点 （1）拉普拉斯变换的定义及收敛域
(2)拉普拉斯变换的性质 (3)拉普拉斯逆变换 (4)LTI系统的复频域分析 (5)拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 5.4例题 例5-l:问信号f(t)=eu(t)+eu(-t)是否存在拉氏变换？ 解：新信号：)=f)e=ea-6ru)+eB-6ru(-1) 当B>α>0时，f(t)负半轴收敛，正半轴发散。 只要B>6>a,，f(t)一定收敛，f(t)=e“u(t)+e"u(-t)存在拉氏变换。 可见，通过乘以收敛因子，可以使原来不收敛的信号收敛，从而可以用傅里叶变换 加以处理。 例5-2：求 4s2+11s+10 252+5+3 解： 首先将F(s)化为真分式 4s2+11s+10 F()=232+5s+3 S+4 S+4 =2+2+5+32+ .5.3 +25+2 2 将分母进行因式分解 D=(g++引-e+s+引 将F(s)中的真分式写成部分分式得 S+4 2s2+5s+3 S+ 求真分式中各部分分式的系数，可得 10
10 （2）拉普拉斯变换的性质 （3）拉普拉斯逆变换 （4）LTI 系统的复频域分析 （5）拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 5.4 例题 例 5-1：问信号 ( ) ( ) ( ) t t f t e u t e u t 是否存在拉氏变换？ 解： 新信号： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t f t f t e e u t e u t 当 0 时， f t( )负半轴收敛，正半轴发散。 只要 ， 1 f t( ) 一定收敛， ( ) ( ) ( ) t t f t e u t e u t 存在拉氏变换。 可见，通过乘以收敛因子 t e ，可以使原来不收敛的信号收敛，从而可以用傅里叶变换 加以处理。 例 5-2：求 2 1 2 4 11 10 2 5 3 s s L s s 解： 首先将 F s( )化为真分式 2 2 2 2 4 11 10 4 1 4 2 2 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 2 s s s s F s s s s s s s 将分母进行因式分解 2 5 3 3 1 2 2 2 D s s s s s 将 F s( )中的真分式写成部分分式得 1 2 2 4 1 2 5 3 2 1 3 2 s K K s s s s 求真分式中各部分分式的系数，可得