华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续时间系统的时域分析方法

第二章连续时间系统的时域分析方法 本章主要内容： 1求微分（差分）方程的解 求时域响应 齐次解+特解 经典解法 全解 零输入响应+零状态响应 2单位冲激响应h(t),单位样值响应h(n) 3激励与冲激响应的卷积积分（卷积和）及其应用

第二章 连续时间系统的时域分析方法 本章主要内容： 1 求微分(差分）方程的解——求时域响应 全解 齐次解 + 特解 经典解法 零输入响应 +零状态响应 2 单位冲激响应h(t)，单位样值响应h(n) 3 激励与冲激响应的卷积积分(卷积和)及其应用

§2-1连续系统的时域分析 §2-1-1系统微分方程及其经典解 任何LT连续时间系统，阶一元常系数微分方程一般式为： d"r dr" de be 经典法求解该方程： 全解=齐次解+特解 ↓ r(t)=r,(t)+r,(t) 齐次解)是齐次方程的通解： ag+aw-0 d" 通解一般式为：ce 特征方程为：a”+an-”-+…+a,Q+a,=0

b e dt de b dt d e b dt d e a r b dt dr a dt d r a dt d r m m m m m n m n n n n 1 1 0 1 1 1 0 1 1  1                 §2-1 连续系统的时域分析 §2-1-1 系统微分方程及其经典解 任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为： 全解=齐次解 + 特解 r(t) r (t) r (t)  n  f 1 0 0 1 1  1        a r dt dr a dt d r a dt d r n n n n n  通解一般式为： t ce  1 0 0 1  1      a  a a n n n     特征方程为： 经典法求解该方程： 齐次解rn (t)是齐次方程的通解：

该一元n次方程的n个特征根为： 自然频率 固有频率 01,02…0n, (i=1,2…n) 讨论通解的形式： 1o为互异实根： r,(t)=>c,ee. 2a有k重根：n()=∑c,e1-1+c,e i=1 i=k+1 其中为k重根，o;为单根 特解的形式：根据激励查表得r() 求系数C,C 全解的形式：r(t)=rn(t)+rr(t)

该一元n次方程的n个特征根为： , , ( 1,2 ) 1 2 i n    n   自然频率 固有频率 讨论通解的形式： 1 i为互异实根：    n i t n i i r t c e 1 ( )  2 1有k重根：         n j k t j k i k i t n i j r t c e t c e 1 1 1 ( )   其中1为k重根， j为单根 特解的形式：根据激励查表得rf (t) 全解的形式： r(t) r (t) r (t)  n  f 求系数Ci ,cj

例1：求齐次解：r(t)+5r(t)+6r(t)=e(t) 解：该微分方程的特征方程为：02+50+6=0 解得特征根： 01=-2,02=-3 齐次解为： I(t)=ce2+cze 例3：求齐次解：r(t)+4r'(t)+4r(t)=e(t) 解：a2+4a+4=0→a12=-2二重根 rn(t)=cite+cze 2

例1：求齐次解： ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( ) " ' r t  r t  r t  e t 解：该微分方程的特征方程为： 5 6 0 2      解得特征根： 2, 3  1    2   t t n r t c e c e 3 2 2 1 ( )   齐次解为：   例3：求齐次解： ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) " ' r t  r t  r t  e t 解： 4 4 0 2 1,2 2         二重根 t t n r t c te c e 2 2 2 1 ( )    

例4：方程为：r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2(t) 若激励为：e(t)=t2求其特解r). 查表23-1得对应的特征解为：r(t)=A,t+At+A) (),(),r()e(t),e(t)代入原微分方程得： 24+324,t+4)+2(4t2+4t+A)=2t+22 241+(64,+2A)t+(24,+34t+2A)=2t+22 等式两边同次幂系数相等：2A,=2 A=2 6A+2A=2 →A=-2 24,+3A+2A=0 A,=1 rr(t)=t2-2t+2 t≥0

例４：方程为： ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) " ' ' r t  r t  r t  e t  e t 若激励为： 2 e(t)  t 求其特解 rf (t). 查表2-3-1得对应的特征解为： 1 0 2 2 rf (t)  A t  At  A ( ), ( ), ( ) " ' r t r t r t f f f ( ), ( ) ' e t e t 代入原微分方程得： 2 1 0 2 2 2 1 2 2A 3(2At  A)2(At At  A ) 2t 2t 2 2 1 2 1 0 2 2 2At (6A 2A)t (2A 3At 2A )  2t 2t 等式两边同次幂系数相等：                      1 2 2 2 3 2 0 6 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 2 A A A A A A A A A ( ) 2 2 2 rf t  t  t  t  0

例5：方程为： r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2(t) 求：当 e(t)=t2,r(0)=1,r(0)=1时的全解 解： 特征方程为 02+30+2=0→1=-1，x2=-2 所以齐次解为： m(t)=ce +cze2 与例4相同： rr(t)=t2-2t+2 所以全解r()=ce+c2e21+12-2t+2 其-阶导为：r()=-℃e1-2c,e21+2t-2 =0时初值代入： 8=2e; 全解：r(t)=et-2e21+t2-2t+2 t≥0

例5：方程为： ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) " ' ' r t  r t  r t  e t  e t 求： 当 ( ) , (0) 1, (0) 1 2 ' e t  t r  r  时的全解 解： 特征方程为 3 2 0 1, 2 1 2 2             所以齐次解为： t t n r t c e c e 2 1 2 ( )     与例４相同： ( ) 2 2 2 rf t  t  t  所以全解 ( ) 2 2 2 2  1  2      r t c e c e t t t t 其一阶导为： ( ) 2 2 2 2 1 2 '        r t c e c e t t t t=0时 初值代入： r(0)  c1  c2  2 1 (0) 1 2 2 2 1 ' r c  c   c1 1, c2  2 ( ) 2 2 2 0 2 2         r t e e t t t 全解 t t :

解题思路： 1齐次解：其形式与激励e)无关，仅依赖于系统 本身特征 -一>自由响应或固有响应，系数c,C 与激励有关. 2特解的形式：由激励信号决定一一>强迫响应

1 齐次解：其形式与激励e(t)无关，仅依赖于系统 本身特征――＞自由响应或固有响应，系数ci，cj 与激励有关． 2 特解的形式：由激励信号决定――＞强迫响应． 解题思路：

§2-1-2零输入响应与零状态响应 全解可分解为： r(t)=rz(t) zs (t) 零输入响应 零状态响应 没有外加激励信号的作用，仅有系统的初始储能 引起的响应。解的形式是齐次解的形式。 r(t)= e C心；单根 初始状态决定的待定系数 x(t): 是零初始条件下的非齐次微分方程的全解 r(t)=∑cae+r() i=1 系数 的确定与前述方法相同。只是在系统初始 zsi 状态为0时的解

§2-1-2 零输入响应与零状态响应 r(t) r (t) r (t)  Zi  ZS 零输入响应 零状态响应 r (t): Zi 没有外加激励信号的作用，仅有系统的初始储能 引起的响应。解的形式是齐次解的形式。 初始状态决定的待定系数 全解可分解为： rzs (t) : 是零初始条件下的非齐次微分方程的全解 ( ) ( ) 1 r t c e r t f n i t zs zsi i      的确定与前述方法相同。只是在系统初始 状态为０时的解。 zsi 系数 c   n i t zi zii i r t c e 1 ( )  单根,  i zii c

全响应的两种分解方式： r(t)=∑c,e&‘+r(t) i=1 自由响应 强迫响应 =2ce1+2ce+r,) i=1 i=1 零输入响应 零状态响应 所以有： C-Czi+cusi

( ) ( ) 1 r t c e r t f n i t i i      自由响应 强迫响应    n i t zii i c e 1  零输入响应 零状态响应 所以有： i zii zsi C  c  c 全响应的两种分解方式： ( ) 1 c e r t f n i t zsi i     

例5：例4方程r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2(t) 求：当e(t)=t2,r(0)=1,r(0)=1时的零输入响应与 解：特征根为0%1=-1,02=-2 零输入状态响应 零输入响应：z()=Ce1+Cz2e21 r(0)=1,r(0)=1代入原方程 。ea 零输入响应为 rz(t)=3e-1-2e-21 t≥ 求零状态响应：根据上例结果有： 's(0=Cs1e+C2s2e21+t2-21+2 有零初始条件得：r公(0)=Cs1+Cs2+2=0 rs(0)=-Cs1-2Czs2-2=0 - 2s(t)=-2ef+t2-2t+2 t≥0

解：特征根为 1, 2 1   2   t Zi t Zi Zi r t C e C e 2 1 2 ( )     (0) 1, 0 1 ' r  r  代入原方程                  2 3 (0) 2 1 (0) 1 2 1 1 2 ' 1 2 Zi Zi Zi Zi Zi Zi Zi Zi C C r C C r C C 零输入响应为 ( ) 3 2 0 2      r t e e t t t Zi 求零状态响应：根据上例结果有： ( ) 2 2 2 2  1  2      r t C e C e t t t ZS t ZS ZS 有零初始条件得：                    0 2 (0) 2 2 0 (0) 2 0 2 1 1 2 ' 1 2 ZS ZS ZS ZS ZS ZS ZS ZS C C r C C r C C ( ) 2 2 2 0 2        r t e t t t t ZS 例5：例4方程 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) " ' ' r t  r t  r t  e t  e t 求： 当 ( ) , (0) 1, (0) 1 2 ' e t  t r  r  时的零输入响应与 零输入状态响应 零输入响应：