2006博弈与社会第一次作业 本次作业提交时间2006年3月15日 1.2004年6月,俄罗斯第四大银行遭挤兑,随后的影响险些造成继1998年后 又一次的金融危机。请用所学博弈论的知识简要说明银行挤兑的原因,以及有哪 些预防措施?(提示:从储户间的博弈来分析) 2.设想有一个居民点,居民住宅延一条公路均匀排开。现有两家商店要在小区 开张,假定两家商店货物完全相同,居民仅仅到离自己比较近的商店购物,商店 的最优开张地点是哪里,若有三家商店呢?用Nash均衡的观点给予解释。 3.分析下面的支付矩阵,回答问题 L M R 4,3 6,2 2,1 8,43,6 3,09,62,8 1)请根据“重复剔除严格劣战略”( iterated elimination of strictly dominated strategy)的思路找到均衡,并简述过程。 2)你得到的均衡是 Kaldor- Hicks有效的吗?是 Pareto有效的吗?请给出简短 解释。 4.思考简答题 1)举例说明宿舍同学曾经给你带来过的外部性(正或负),你是怎么应对的? 2)BT或Maze下载是大家现在耳熟能详的下载方式,跟FTP相比有着他独特 的优势,思考里面蕴含什么的博弈论原理?
2006 博弈与社会第一次作业 本次作业提交时间 2006 年 3 月 15 日 1．2004 年 6 月，俄罗斯第四大银行遭挤兑，随后的影响险些造成继 1998 年后 又一次的金融危机。请用所学博弈论的知识简要说明银行挤兑的原因，以及有哪 些预防措施？（提示：从储户间的博弈来分析） 2．设想有一个居民点，居民住宅延一条公路均匀排开。现有两家商店要在小区 开张，假定两家商店货物完全相同，居民仅仅到离自己比较近的商店购物，商店 的最优开张地点是哪里，若有三家商店呢？用 Nash 均衡的观点给予解释。 3．分析下面的支付矩阵，回答问题： L M R 4，3 5，1 6，2 2，1 8，4 3，6 3，0 9，6 2，8 U M D 1）请根据“重复剔除严格劣战略”(iterated elimination of strictly dominated strategy)的思路找到均衡，并简述过程。 2）你得到的均衡是 Kaldor-Hicks 有效的吗？是 Pareto 有效的吗？请给出简短 解释。 4．思考简答题 1) 举例说明宿舍同学曾经给你带来过的外部性（正或负），你是怎么应对的？ 2) BT 或 Maze 下载是大家现在耳熟能详的下载方式，跟 FTP 相比有着他独特 的优势，思考里面蕴含什么的博弈论原理？
2006博弈与社会第二次作业(提交时间:3月29日) 请在作业上写清姓名、院系、学号和作业编(助教在第一次作ν上写的数字) (1)用博弈的标准型表达式描述“剪刀、石头、布”的游戏(即写出双方的支付矩阵) 假设获胜的一方得1,失利的一方得-1,战平各得0,并找出该博弈的所有纳什均衡(纯战 略纳什均衡和混合战略纳什均衡)。 (2)如果修改游戏规则,获胜的方式不同则得分不同 剪刀赢布,赢的一方(出剪刀的一方)得3,输的一方(出布的一方)得-3 石头赢剪刀,赢的一方得2,输的一方得-2 布赢石头,赢的一方得1,输的一方得-1 打平仍然各得0。 重新回答第(1)题中的问题。 2、“索尼爱立信”和“明基西门子”两家公司在手机市场上的定位是相似的,二者面对的是 几乎相同的潜在消费群,存在着直接的竞争,不同的是索爱更先进入市场。假设两者都面临 着同样的两个可行的行动:主攻照相功能(简称为照相)和主攻音乐功能(简称为音乐), 但是“索爱”先于“明西”行动,刻画两者行为的博弈树如下所示 明西 照相 (5,4) 照 (10,8) 索爱 (11,9) 音乐 (6,5) (1)写出索爱和明西的全部战略(注意战略的定义); (2)根据双方的战略,用标准型(支付矩阵)的表述方式重新刻画这个博弈树 (3)只考虑纯战略的情况,找出全部的纳什均衡,找出全部的精炼(完美)纳什均衡 3、重新考虑双寡头竞争的市场,市场上有两家企业,生产完全相同的产品,消费者对这种 产品的需求函数为,P(Q=aQ,Q=q1+q2,其中q1和q2分别是企业1和企业2的产量,生产 的成本函数为C(q)=cq,其中=1,2,每个企业都追求利润的最大化,即企业选择最佳的q使 得=P(Qq1-cq最大,i=1,2。上面的假设与讲义第16页中提到的 Cournot博弈模型是完全 一致的,下面我们做一个改动,现在两家企业不再同时决策,而是有一个先后顺序。企业 先制定自己的产量,企业2随后根据企业1的产量决策自己的生产,并且决策一旦做出就无 法更改。求解双方的最优决策(纳什均衡),思考在这种情况下是“先下手为强”还是“先 下手遭殃”?简单解释背后的原因。 【提示】米用逆向归纳的办法,从企业2的决策开始向前推
2006 博弈与社会第二次作业（提交时间：3 月 29 日） 请在作业上写清姓名、院系、学号和作业编码（助教在第一次作业上写的数字） 1、（1）用博弈的标准型表达式描述“剪刀、石头、布”的游戏（即写出双方的支付矩阵）， 假设获胜的一方得 1，失利的一方得-1，战平各得 0，并找出该博弈的所有纳什均衡（纯战 略纳什均衡和混合战略纳什均衡）。 （2）如果修改游戏规则，获胜的方式不同则得分不同： z 剪刀赢布，赢的一方（出剪刀的一方）得 3，输的一方（出布的一方）得-3； z 石头赢剪刀，赢的一方得 2，输的一方得-2； z 布赢石头，赢的一方得 1，输的一方得-1； z 打平仍然各得 0。 重新回答第（1）题中的问题。 2、“索尼爱立信”和“明基西门子”两家公司在手机市场上的定位是相似的，二者面对的是 几乎相同的潜在消费群，存在着直接的竞争，不同的是索爱更先进入市场。假设两者都面临 着同样的两个可行的行动：主攻照相功能（简称为照相）和主攻音乐功能（简称为音乐）， 但是“索爱”先于“明西”行动，刻画两者行为的博弈树如下所示： 索爱 照相 音乐 明西 照相 照相 音乐 音乐 （5，4） （10，8） （11，9） （6，5） （1）写出索爱和明西的全部战略（注意战略的定义）； （2）根据双方的战略，用标准型（支付矩阵）的表述方式重新刻画这个博弈树； （3）只考虑纯战略的情况，找出全部的纳什均衡，找出全部的精炼（完美）纳什均衡。 3、重新考虑双寡头竞争的市场，市场上有两家企业，生产完全相同的产品，消费者对这种 产品的需求函数为，P(Q)=a-Q，Q=q1＋q2，其中q1和q2分别是企业 1 和企业 2 的产量，生产 的成本函数为C(qi)=cqi，其中i=1,2，每个企业都追求利润的最大化，即企业i选择最佳的qi使 得Πi＝P(Q)qi－cqi最大，i=1,2。上面的假设与讲义第 16 页中提到的Cournot博弈模型是完全 一致的，下面我们做一个改动，现在两家企业不再同时决策，而是有一个先后顺序。企业 1 先制定自己的产量，企业 2 随后根据企业 1 的产量决策自己的生产，并且决策一旦做出就无 法更改。求解双方的最优决策（纳什均衡），思考在这种情况下是“先下手为强”还是“先 下手遭殃”？简单解释背后的原因。 【提示】采用逆向归纳的办法，从企业 2 的决策开始向前推
博弈与社会第三次作业 1.假定A公司市值2000万,A公司为了长期发展需招聘一名优秀的职业经 理人。你作为优秀经理人才可以有80%的概率在一年后将A公司市值扩 大到4000万(20%的概率维持2000万)。A公司以公司股份作为支付方 法。按照纳什讨价还价理论,A公司需支付多少股份,你才愿意入主该公 司?(市场只有一个企业和一个经理人,年折现δ=0.8) 根据多重均衡以及重复博弈理论求解 C A4,4 0,0 0,5 B0,0 0,0 0,0 3,3 (1)找出所有纳什均衡(包括混合策略),以及 Pareto最优合作解。 (2)若博弈持续两期,讨论折现率对参与者两期选择的影响 (3)若持续三期呢?请与两期比较,给予简要解释 提示:考虑参与者存在多种背叛策略 思考题 3·近期颇为火爆的电视剧乔家大院″讲述了晋商"汇通天下,货通天下"的伟大 成就,请根据课堂知识和自己的理解分析其成功因素,以及现今可借鉴之处
博弈与社会第三次作业 １． 假定Ａ公司市值 2000 万，Ａ公司为了长期发展需招聘一名优秀的职业经 理人。你作为优秀经理人才可以有 80%的概率在一年后将Ａ公司市值扩 大到 4000 万（20%的概率维持 2000 万）。Ａ公司以公司股份作为支付方 法。按照纳什讨价还价理论，Ａ公司需支付多少股份，你才愿意入主该公 司？（市场只有一个企业和一个经理人，年折现δ = 0.8） ２． 根据多重均衡以及重复博弈理论求解： a b c 4, 4 0, 0 0, 5 0 ,0 1, 1 0, 0 5, 0 0, 0 3, 3 A B Ｃ (1) 找出所有纳什均衡（包括混合策略），以及 Pareto 最优合作解。 (2) 若博弈持续两期，讨论折现率对参与者两期选择的影响。 (3) 若持续三期呢？请与两期比较，给予简要解释 提示：考虑参与者存在多种背叛策略 思考题 ３．近期颇为火爆的电视剧“乔家大院”讲述了晋商“汇通天下，货通天下”的伟大 成就，请根据课堂知识和自己的理解分析其成功因素，以及现今可借鉴之处
2006博弈与社会第四次作业 提交时间:2006年5月24日星期三 (对题目叙述如有不清楚之处,可以在网上提出) 甲、乙、丙是三位有代表性的北大学生,他们各有一辆价值为100的自行车 甲、乙两人住在校内,在这里丢车的概率P(甲)=P(乙)=0.19,丙住在南门外,治 安比起校内较差,丢车的概率P(丙)=0.36。在对风险的态度上,乙、丙和广大 的普通同学一样,都比较谨慎,是风险厌恶者;而甲这类人更为开朗,做事情不 会顾虑太多,是一个风险中性者。用效用函数来描述会更加精确:给定一定数量 的财富w(可以是货币,也可以是有价值的财物,比如本题中的自行车),乙 丙两人(以及他们这一类人)的效用函数均为u(v)=√w,甲(以及同类的人) 的效用函数为(w)=05。面临着丢车的不确定性,三位同学追求的是自身期 望效用的最大化。 (1)给定丢车的概率,分别写出自行车这笔财富对三人的期望效用(提示 根据不同状态下的效用值和状态本身的概率,算出效用函数的期望值); 中关村保险公司推出了“自行车失窃”保险业务,投保者的自行车被盗后可 以获得相当于自行车价值的全额赔付。具体保费完全取决于丢车的概率,公司制 定了两个价格,针对住在北大、清华校园内的用户是一个价格(基于0.19的丢 车率),住在校园以外的用户是另外一个价格(基于0.36的丢车率),在保费上 保险公司只需要保本即可(即保费等于期望赔付) (PS:不必担心保险公司的盈利问题,他们可以利用收到的保费去投资其他 的项目而获利)。 (2)计算出投保一辆价值100元的自行车的两种保费(校园价和社区价)。 (3)中关村保险公司的一个业务员分别要向甲、乙、丙三人推销这种保险, 预测一下他的业绩(即甲、乙、丙三人谁会买保险) 保险业务推出半年以来,出现了严重的亏损。经过缜密的调查,发现是由于 类似于丙的一类保户,由于他们自身是北大学生,可以出具校内宿舍的住宿卡, 于是可以享受校园价,但由于他们实际上住在校外,自行车丢失概率很高。在现 有的条件下,保险公司无法识别出客户是否真的实际居住在校内,所以必须改变 现有的定价策略。公司战略发展部首先提出了下面一个方案: 【方案一 取消现有的根据校内校外的分区定价方式,采用统一定价。定价仍然是期望 收益保本原则,只不过保费的确定要受客户构成的影响,就现有的客户结构来看, 来自校内和来自校外的客户各占一半
2006 博弈与社会第四次作业 提交时间：2006 年 5 月 24 日星期三 （对题目叙述如有不清楚之处，可以在网上提出） 甲、乙、丙是三位有代表性的北大学生，他们各有一辆价值为 100 的自行车， 甲、乙两人住在校内，在这里丢车的概率 P(甲)＝P(乙)=0.19，丙住在南门外，治 安比起校内较差，丢车的概率 P(丙)＝0.36。在对风险的态度上，乙、丙和广大 的普通同学一样，都比较谨慎，是风险厌恶者；而甲这类人更为开朗，做事情不 会顾虑太多，是一个风险中性者。用效用函数来描述会更加精确：给定一定数量 的财富 w（可以是货币，也可以是有价值的财物，比如本题中的自行车），乙、 丙两人（以及他们这一类人）的效用函数均为 )( = wwu ，甲（以及同类的人） 的效用函数为 。面临着丢车的不确定性，三位同学追求的是自身期 望效用的最大化。 = 5.0)( wwu （1）给定丢车的概率，分别写出自行车这笔财富对三人的期望效用（提示： 根据不同状态下的效用值和状态本身的概率，算出效用函数的期望值）； 中关村保险公司推出了“自行车失窃”保险业务，投保者的自行车被盗后可 以获得相当于自行车价值的全额赔付。具体保费完全取决于丢车的概率，公司制 定了两个价格，针对住在北大、清华校园内的用户是一个价格（基于 0.19 的丢 车率），住在校园以外的用户是另外一个价格（基于 0.36 的丢车率），在保费上 保险公司只需要保本即可（即保费等于期望赔付） （PS：不必担心保险公司的盈利问题，他们可以利用收到的保费去投资其他 的项目而获利）。 （2）计算出投保一辆价值 100 元的自行车的两种保费（校园价和社区价）。 （3）中关村保险公司的一个业务员分别要向甲、乙、丙三人推销这种保险， 预测一下他的业绩（即甲、乙、丙三人谁会买保险） 保险业务推出半年以来，出现了严重的亏损。经过缜密的调查，发现是由于 类似于丙的一类保户，由于他们自身是北大学生，可以出具校内宿舍的住宿卡， 于是可以享受校园价，但由于他们实际上住在校外，自行车丢失概率很高。在现 有的条件下，保险公司无法识别出客户是否真的实际居住在校内，所以必须改变 现有的定价策略。公司战略发展部首先提出了下面一个方案： 【方案一】 取消现有的根据校内校外的分区定价方式，采用统一定价。定价仍然是期望 收益保本原则，只不过保费的确定要受客户构成的影响，就现有的客户结构来看， 来自校内和来自校外的客户各占一半
(4)分析方案一存在的问题,预测统一定价的价格走势和最终的客户构成。 经过一段时间的实施,公司高层对方案一不甚满意,于是战略发展部又给出 了下面一个方案。 【方案二】 同样是不再根据客户居住地定价,而是给出一种基于投保比例的定价方式 具体来说保险变成两种套餐,一种是全额承保(丢车后赔付全部车款),一种是 小额承保(30%)(丢车后保险公司只赔付30%的车价,即30元)。 (5)方案二的设计理念是让不同风险的客户对号入座,但还没有具体落实 到操作层面上,你作为公司战略发展部的实习生,请帮助完成这样一个产品设 计(包括a.全额套餐的目标客户,b.全额套餐的定价,c小额30%套餐的目标客 户,d小额30%套餐的定价,其中定价仍然是给出公司的保本价格,并给出可 行性分析)。 有了你智慧的设计,方案二的运行效果还是相当不错的。当然美中不足 段时间后,又出现了一些小的问题,这些问题在全额套餐的用户身上更加明显 (6)猜想这会是什么问题?并解释产生的原因。(提示:前面只考虑了逆向 选择问题) (7)回忆信号机制与甄别机制的区别,并在现实生活中各找一到两个信号 机制与甄别机制的例子(不要重复课上已经讲过的例子)
（4）分析方案一存在的问题，预测统一定价的价格走势和最终的客户构成。 经过一段时间的实施，公司高层对方案一不甚满意，于是战略发展部又给出 了下面一个方案。 【方案二】 同样是不再根据客户居住地定价，而是给出一种基于投保比例的定价方式， 具体来说保险变成两种套餐，一种是全额承保（丢车后赔付全部车款），一种是 小额承保（30％）（丢车后保险公司只赔付 30％的车价，即 30 元）。 （5）方案二的设计理念是让不同风险的客户对号入座，但还没有具体落实 到操作层面上，你作为公司战略发展部的实习生，请帮助完成这样一个产品设 计（包括 a.全额套餐的目标客户，b.全额套餐的定价，c.小额 30％套餐的目标客 户，d.小额 30％套餐的定价，其中定价仍然是给出公司的保本价格，并给出可 行性分析）。 有了你智慧的设计，方案二的运行效果还是相当不错的。当然美中不足，一 段时间后，又出现了一些小的问题，这些问题在全额套餐的用户身上更加明显。 （6）猜想这会是什么问题？并解释产生的原因。（提示：前面只考虑了逆向 选择问题） （7）回忆信号机制与甄别机制的区别，并在现实生活中各找一到两个信号 机制与甄别机制的例子（不要重复课上已经讲过的例子）
(仅作为参考答案,主观题言之成理即可,如有疑问,欢迎课间找我) 1.2004年6月,俄罗斯第四大银行遭挤兑,随后的影响险些造成继1998年后 又一次的金融危机。请用所学博弈论的知识简要说明银行挤兑的原因,以及有哪 些预防措施?(提示:从储户间的博弈来分析) 答:储户有取款和不取款两种策略。恶意取款会造成银行破产,对储户都是不利 的。可以用“囚徒困境”的情形来具体分析。(注意自己构造的支付矩阵数值不 要太离谱) 预防措施有提髙银行的保证金储备,以及银行间互相拆借和求助国家储备等等 2.设想有一个居民点,居民住宅延一条公路均匀排开。现有两家商店要在小区 开张,假定两家商店货物完全相同,居民仅仅到离自己比较近的商店购物,商店 的最优开张地点是哪里,若有三家商店呢?用Nash均衡的观点给予解释。 答:两家最优为中间,这个应该没有什么问题 三家实际上是没有纯策略№E,注意NE的定义是给定其他两人的选择,第三个人 没有动机去背离。(同学们主要的错误是定义的理解存在偏差) 3分析下面的支付矩阵,回答问题 M R 2,1 8,4 3,6 3,0 9,6 2,8 1)请根据“重复剔除严格劣战略”( (iterated elimination of strictly dominated strategy)的思路找到均衡 E: First del M(up), then del D and M, finally R 均衡是(U,L)。注意不能说均衡是(4,3)这只是支付。 2)你得到的均衡是 Kaldor- Hicks有效的吗?是 Pareto有效的吗?请给出简短 解释 不是KH有效,也不是P有效,(D,M)严格优于(U,L)
（仅作为参考答案，主观题言之成理即可，如有疑问，欢迎课间找我） １．2004 年６月，俄罗斯第四大银行遭挤兑，随后的影响险些造成继 1998 年后 又一次的金融危机。请用所学博弈论的知识简要说明银行挤兑的原因，以及有哪 些预防措施？（提示：从储户间的博弈来分析） 答：储户有取款和不取款两种策略。恶意取款会造成银行破产，对储户都是不利 的。可以用“囚徒困境”的情形来具体分析。（注意自己构造的支付矩阵数值不 要太离谱） 预防措施有提高银行的保证金储备，以及银行间互相拆借和求助国家储备等等。 ２．设想有一个居民点，居民住宅延一条公路均匀排开。现有两家商店要在小区 开张，假定两家商店货物完全相同，居民仅仅到离自己比较近的商店购物，商店 的最优开张地点是哪里，若有三家商店呢？用 Nash 均衡的观点给予解释。 答：两家最优为中间，这个应该没有什么问题。 三家实际上是没有纯策略 NE,注意 NE 的定义是给定其他两人的选择，第三个人 没有动机去背离。（同学们主要的错误是定义的理解存在偏差） ３ 分析下面的支付矩阵，回答问题 L M R 4，3 5，1 6，2 2，1 8，4 3，6 3，0 9，6 2，8 U M D 1）请根据“重复剔除严格劣战略”(iterated elimination of strictly dominated strategy)的思路找到均衡。 答：First del M(up), then del D and M, finally R 均衡是(U ,L) 。 注意不能说均衡是（4,3）这只是支付。 2）你得到的均衡是 Kaldor-Hicks 有效的吗？是 Pareto 有效的吗？请给出简短 解释。 不是ＫＨ有效，也不是Ｐ有效，（D，M）严格优于（U，L）
思考题 1.举例说明宿舍同学曾经给你带来过的外部性(正或负),你是怎么应对的? 大家都答的很好,暂略。 BT或Maze下载是大家现在耳熟能详的下载方式,跟FTP相比有着他独特 的优势,思考里面蕴含什么的博弈论原理? 我的本意是希望大家从BT的上传与下载方面来分析,做到“人人为我,我为 人人。”如果从外部性等其他方面解释,只要言之成理都可以
思考题 １．举例说明宿舍同学曾经给你带来过的外部性（正或负），你是怎么应对的？ 大家都答的很好，暂略。 ２．ＢＴ或 Maze 下载是大家现在耳熟能详的下载方式，跟 FTP 相比有着他独特 的优势，思考里面蕴含什么的博弈论原理？ 我的本意是希望大家从ＢＴ的上传与下载方面来分析，做到“人人为我，我为 人人。”如果从外部性等其他方面解释，只要言之成理都可以
2006博弈与社会第二次作业(提交时间:3月29日) 在作ψ上写清姓名、院系、学号和作业编玛(勛教在第一次作些上写的数字) 1、(1)用博弈的标准型表达式描述“剪刀、石头、布”的游戏(即写出双方的支付矩阵), 假设获胜的一方得1,失利的一方得-1,战平各得0,并找出该博弈的所有纳什均衡(纯战 略纳什均衡和混合战略纳什均衡)。 剪刀 石头 布 剪刀 0,0 1,1 石头 1,-1 0,0 -1,1 0,0 该博弈不存在纯策略纳什均衡。 混合策略纳什均衡:(1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3),即双方各以同样的概率出剪刀、石头、和布 具体做法(略)见第(2)问 (2)如果修改游戏规则,获胜的方式不同则得分不同: 剪刀赢布,赢的一方(出剪刀的一方)得3,输的一方(出布的一方)得-3 石头赢剪刀,赢的一方得2,输的一方得-2 布赢石头,赢的一方得1,输的一方得-1 打平仍然各得0。 重新回答第(1)题中的问题。 剪刀 石头 布 剪刀 石头 2,-2 0,0 -1,1 1,-1 0,0 该博弈同样不存在纯策略纳什均衡 (很多同学提出“石头、石头”是不是一个纯策略纳什均衡,实际上不是。石头尽管是一个 看上去成本收益最好的战略,但并不意味着可以以1的概率选择石头,因为给定任何一方选 择必出石头,对方肯定会用出布来战胜他,尽管出布不是一个很“好”的策略,看还不至于 坏到可以将其排除的程度。“布”这个战略存在的意义就在于牵制对方出石头的行为) 考虑混合策略纳什均衡:设甲分别以a、b和1-a-b的概率出剪刀石头布,乙分别以ⅹ、y和 1-x-y的概率出剪刀石头布。给定双方的战略,甲和乙的期望支付分别为: Payoff甲)=ax[0×x-2×y+3×(1-x-y)+b×[2×x+0×y-1×(1-x-y)+(1-a-b) ×[-3×x+1×y+0×(1-x-y) Payoff)=x×[0×a-2×b+3×(1-a-b)]+y×[2×a+0×b-1×(1-a-b)+(1-x-y) -3×a+1×b+0×(1-a-b 其中a、b与x、y是对称的。 甲决策的目标是最大化 Payoff甲),他能够控制的变量为a和b,分别对其求偏导得到两个
2006 博弈与社会第二次作业（提交时间：3 月 29 日） 请在作业上写清姓名、院系、学号和作业编码（助教在第一次作业上写的数字） 1、（1）用博弈的标准型表达式描述“剪刀、石头、布”的游戏（即写出双方的支付矩阵）， 假设获胜的一方得 1，失利的一方得-1，战平各得 0，并找出该博弈的所有纳什均衡（纯战 略纳什均衡和混合战略纳什均衡）。 乙 甲 剪刀 石头 布 剪刀 0，0 -1，1 1，-1 石头 1，-1 0，0 -1，1 布 -1，1 1，-1 0，0 该博弈不存在纯策略纳什均衡。 混合策略纳什均衡： (1/3,1/3,1/3; 1/3,1/3,1/3)，即双方各以同样的概率出剪刀、石头、和布。 具体做法（略）见第（2）问 （2）如果修改游戏规则，获胜的方式不同则得分不同： z 剪刀赢布，赢的一方（出剪刀的一方）得 3，输的一方（出布的一方）得-3； z 石头赢剪刀，赢的一方得 2，输的一方得-2； z 布赢石头，赢的一方得 1，输的一方得-1； z 打平仍然各得 0。 重新回答第（1）题中的问题。 乙 甲 剪刀 石头 布 剪刀 0，0 -2，2 3，-3 石头 2，-2 0，0 -1，1 布 -3，3 1，-1 0，0 该博弈同样不存在纯策略纳什均衡。 （很多同学提出“石头、石头”是不是一个纯策略纳什均衡，实际上不是。石头尽管是一个 看上去成本收益最好的战略，但并不意味着可以以 1 的概率选择石头，因为给定任何一方选 择必出石头，对方肯定会用出布来战胜他，尽管出布不是一个很“好”的策略，看还不至于 坏到可以将其排除的程度。“布”这个战略存在的意义就在于牵制对方出石头的行为） 考虑混合策略纳什均衡：设甲分别以 a、b 和 1-a-b 的概率出剪刀石头布，乙分别以 x、y 和 1-x-y 的概率出剪刀石头布。给定双方的战略，甲和乙的期望支付分别为： Payoff(甲)＝a×[0×x－2×y＋3×(1－x－y)]+b×[2×x＋0×y－1×(1－x－y)]＋(1－a－b) ×[－3×x＋1×y＋0×(1－x－y)] Payoff(乙)＝x×[0×a－2×b＋3×(1－a－b)]+y×[2×a＋0×b－1×(1－a－b)]＋(1－x－y)× [－3×a＋1×b＋0×(1－a－b)] 其中 a、b 与 x、y 是对称的。 甲决策的目标是最大化 Payoff(甲)，他能够控制的变量为 a 和 b，分别对其求偏导得到两个
一阶条件 0×x-2×y+3×(1-x-y)=-3×x+1×y+0×(1-x-y) 2×x+0×y-1×(1-x-y)=-3×x+1×y+0×(1-x-y) 这实际上就是让对方出剪刀(上式左边)、出石头(下式左边)和出布(两式右边)无差异 的条件,而这也是我们讲的求解混合战略纳什均衡的简单方法,这就是其理论根据。 求解得到x=1/6,y=1/2,1-xy=1/3 也就是说给定乙以(1/6,12,1/3)的概率出剪刀、石头、布,甲的任何战略都是最优的; 同样可以由乙的优化问题解得a=1/6,b=1/2,1-a-b=1/3 也就是说给定甲以(1/6,12,1/3)的概率出剪刀、石头、布,乙的任何战略都是最优的 因此,甲乙都以(1/6,1/2,1/3)的概率出剪刀、石头、布,可以实现一个均衡的结果,用 标准的博弈论语言表述就是:甲的混合战略(16,12,1/3)和乙的混合战略(1/6,1n2, 1/3)构成一个纳什均衡。 2、“索尼爱立信”和“明基西门子”两家公司在手机市场上的定位是相似的,二者面对的是 几乎相同的潜在消费群,存在着直接的竞争,不同的是索爱更先进入市场。假设两者都面临 着同样的两个可行的行动:主攻照相功能(简称为照相)和主攻音乐功能(简称为音乐), 但是“索爱”先于“明西”行动,刻画两者行为的博弈树如下所示 明西 照相 (5,4) 照 (10,8) 索爱 (11,9) 音乐 (6,5) (1)写出索爱和明西的全部战略(注意战略的定义); (索爱只有一个信息集,所以其战略为一维的:而明西有两个(分别对应索爱选照相和 索爱递音乐的情况),其战略为二维的。) 索爱的全部战略(两个)为 1、主攻照相:2、主攻音乐。 明西的全部战略(四个)为: 1、(照相,照相)——意为:不管对方选择什么策略,我选择照相 2、(音乐,音乐)——意为:不管对方选择什么策略,我选择音乐 3、(音乐,照相)——意为:如果索爱照相,我主攻音乐:如果索爱音乐,我主攻照相 4、(照相,音乐)一意为:如果索爱照相,我也主攻照相;如果索爱音乐,我也主攻音乐 (2)根据双方的战略,用标准型(支付矩阵)的表述方式重新刻画这个博弈树; (博弈的标准型表达式是定义在双方的全部线略上的)
一阶条件： 0×x－2×y＋3×(1－x－y)＝－3×x＋1×y＋0×(1－x－y) 2×x＋0×y－1×(1－x－y)＝－3×x＋1×y＋0×(1－x－y) 这实际上就是让对方出剪刀（上式左边）、出石头（下式左边）和出布（两式右边）无差异 的条件，而这也是我们讲的求解混合战略纳什均衡的简单方法，这就是其理论根据。 求解得到 x＝1/6，y＝1/2，1-x-y=1/3 也就是说给定乙以（1/6，1/2，1/3）的概率出剪刀、石头、布，甲的任何战略都是最优的； 同样可以由乙的优化问题解得 a＝1/6，b＝1/2，1-a-b=1/3 也就是说给定甲以（1/6，1/2，1/3）的概率出剪刀、石头、布，乙的任何战略都是最优的； 因此，甲乙都以（1/6，1/2，1/3）的概率出剪刀、石头、布，可以实现一个均衡的结果，用 标准的博弈论语言表述就是：甲的混合战略（1/6，1/2，1/3）和乙的混合战略（1/6，1/2， 1/3）构成一个纳什均衡。 2、“索尼爱立信”和“明基西门子”两家公司在手机市场上的定位是相似的，二者面对的是 几乎相同的潜在消费群，存在着直接的竞争，不同的是索爱更先进入市场。假设两者都面临 着同样的两个可行的行动：主攻照相功能（简称为照相）和主攻音乐功能（简称为音乐）， 但是“索爱”先于“明西”行动，刻画两者行为的博弈树如下所示： 索爱 照相 音乐 明西 照相 照相 音乐 音乐 （5，4） （10，8） （11，9） （6，5） （1）写出索爱和明西的全部战略（注意战略的定义）； （索爱只有一个信息集，所以其战略为一维的；而明西有两个（分别对应索爱选照相和 索爱选音乐的情况），其战略为二维的。） 索爱的全部战略（两个）为： 1、主攻照相；2、主攻音乐。 明西的全部战略（四个）为： 1、（照相，照相）——意为：不管对方选择什么策略，我选择照相 2、（音乐，音乐）——意为：不管对方选择什么策略，我选择音乐 3、（音乐，照相）——意为：如果索爱照相，我主攻音乐；如果索爱音乐，我主攻照相 4、（照相，音乐）——意为：如果索爱照相，我也主攻照相；如果索爱音乐，我也主攻音乐 （2）根据双方的战略，用标准型（支付矩阵）的表述方式重新刻画这个博弈树； （博弈的标准型表达式是定义在双方的全部战略上的）
明西 索爱 (音乐,音乐)(照相,照相)(音乐,照相)(照相,音乐) 相 10,8 5,4 5,4 音乐 11,9 l1,9 6,5 (3)只考虑纯战略的情况,找出全部的纳什均衡,找出全部的精炼(完美)纳什均衡。 (纳什均衡也是定义在双方的战略上的) 纳什均衡包括[照相,(音乐,照相)]、[音乐,(照相,照相)]和音乐,(音乐,照相)] 个。这是在支付矩阵中找到的 其中唯一的精炼纳什均衡是最后一个[音乐,(音乐,照相)],它意味着在博弈的每 个子博弈中也构成纳什均衡,这可以使用逆向归纳法寻找。 3、重新考虑双寡头竞争的市场,市场上有两家企业,生产完全相同的产品,消费者对这种 产品的需求函数为,P(Q=aQ,Q=q1+q2,其中q1和q2分别是企业1和企业2的产量,生产 的成本函数为C(q=cq,其中=1,2,每个企业都追求利润的最大化,即企业i选择最佳的q使 得∏=PQ1-cq最大,=12。上面的假设与讲义第16页中提到的 Cournot博弈模型是完全 致的,下面我们做一个改动,现在两家企业不再同时决策,而是有一个先后顺序。企业1 先制定自己的产量,企业2随后根据企业1的产量决策自己的生产,并且决策一旦做出就无 法更改。求解双方的最优决策(纳什均衡),思考在这种情况下是“先下手为强”还是“先 下手遭殃”?简单解释背后的原因 【逆向归纳】 (1)假设到了第二家企业决策的时候,这时第一家企业的产量q已经变成已知,企业2 的问题是选择自己的产量q2以使得利润n2=P(Qq2-cq2=(a-q1-q2)q2-cq2最大 化,该问题的一阶条件为a-q1-2q2-c=0,解得q2=(a-c-q1)2,这可以看作企 业2的最优反应函数,意为不管企业1选择什么样的产量q1,企业2都会选择与之 对应的q2 (2)既然如此,回到第一家企业决策的时候,问题就是如何选择一个q使得利润n1= PQq1-cq1=(a-q1-q2)q2-cq2最大化,带入企业2的反应函数q2=(a-c-qy 并求出关于q的一阶条件得:q1=(a-c)2,同时可知q2=(a-c)4 (3)比较双方同时进入的情况(q1=q2=(a-c)/3)可知,在产量竞争中,的确存在着“先 下手为强”的先动优势,这个模型就是张老师课上提到过的斯塔克尔伯格 ( Stackelberg)模型的标准形式 【两点启示】 (1)在博弈中信息多并不一定是好事:企业2拥有信息优势,但还是不能够扭转其战略 劣势; (2)可信的承诺是重要的:第一家企业的产量一旦确定就不能再更改,否则先动优势就 会拱手相让。关于这一点的理解不妨再考虑一下这样的情况:按照这样的过程,企 业1生产(a-cy2,然后企业2生产(a-c)/4,这时看到企业2生产(a-c)4后,如果 企业的产量决策可以任意更改,那么这时企业1的最优决策就不再是(a-c)2,简单 计算可知,给定企业2生产(a-c)4,企业1最优的决策应该为3(a-c)/8(利用最优 反应函数),而一旦预期到企业1实际上会生产3(a-c)8,那么企业2就不会选择生 产(a-c)4,而是5a-c)16,相应的企业2又会11(a-c)32,企业1又会21(a-c)/64, 直到达到[a-c)3,(a-c)4]的纳什均衡,这样就完全等同于同时决策的情况了
明西 索爱 （音乐，音乐） （照相，照相） （音乐，照相） （照相，音乐） 照相 10，8 5，4 10，8 5，4 音乐 6，5 11，9 11，9 6，5 （3）只考虑纯战略的情况，找出全部的纳什均衡，找出全部的精炼（完美）纳什均衡。 （纳什均衡也是定义在双方的战略上的） 纳什均衡包括 [照相，（音乐，照相）]、[音乐，（照相，照相）]和[音乐，（音乐，照相）] 三个。这是在支付矩阵中找到的。 其中唯一的精炼纳什均衡是最后一个[音乐，（音乐，照相）]，它意味着在博弈的每一 个子博弈中也构成纳什均衡，这可以使用逆向归纳法寻找。 3、重新考虑双寡头竞争的市场，市场上有两家企业，生产完全相同的产品，消费者对这种 产品的需求函数为，P(Q)=a-Q，Q=q1＋q2，其中q1和q2分别是企业 1 和企业 2 的产量，生产 的成本函数为C(qi)=cqi，其中i=1,2，每个企业都追求利润的最大化，即企业i选择最佳的qi使 得Πi＝P(Q)qi－cqi最大，i=1,2。上面的假设与讲义第 16 页中提到的Cournot博弈模型是完全 一致的，下面我们做一个改动，现在两家企业不再同时决策，而是有一个先后顺序。企业 1 先制定自己的产量，企业 2 随后根据企业 1 的产量决策自己的生产，并且决策一旦做出就无 法更改。求解双方的最优决策（纳什均衡），思考在这种情况下是“先下手为强”还是“先 下手遭殃”？简单解释背后的原因。 【逆向归纳】 （1） 假设到了第二家企业决策的时候，这时第一家企业的产量q1已经变成已知，企业 2 的问题是选择自己的产量q2以使得利润Π2＝P(Q)q2－cq2＝(a－q1－q2) q2－cq2最大 化，该问题的一阶条件为a－q1－2q2－c＝0，解得q2＝（a－c－q1)/2，这可以看作企 业 2 的最优反应函数，意为不管企业 1 选择什么样的产量q1，企业 2 都会选择与之 对应的q2。 （2） 既然如此，回到第一家企业决策的时候，问题就是如何选择一个q1使得利润Π1＝ P(Q)q1－cq1＝(a－q1－q2) q2－cq2最大化，带入企业 2 的反应函数q2＝（a－c－q1)/2， 并求出关于q1的一阶条件得：q1＝(a－c)/2，同时可知q2＝(a－c)/4。 （3） 比较双方同时进入的情况（q1＝q2＝(a－c)/3）可知，在产量竞争中，的确存在着“先 下手为强”的先动优势，这个模型就是张老师课上提到过的斯塔克尔伯格 （Stackelberg）模型的标准形式。 【两点启示】 （1） 在博弈中信息多并不一定是好事：企业 2 拥有信息优势，但还是不能够扭转其战略 劣势； （2） 可信的承诺是重要的：第一家企业的产量一旦确定就不能再更改，否则先动优势就 会拱手相让。关于这一点的理解不妨再考虑一下这样的情况：按照这样的过程，企 业 1 生产(a－c)/2，然后企业 2 生产(a－c)/4，这时看到企业 2 生产(a－c)/4 后，如果 企业的产量决策可以任意更改，那么这时企业 1 的最优决策就不再是(a－c)/2，简单 计算可知，给定企业 2 生产(a－c)/4，企业 1 最优的决策应该为 3(a－c)/8（利用最优 反应函数），而一旦预期到企业 1 实际上会生产 3(a－c)/8，那么企业 2 就不会选择生 产(a－c)/4，而是 5(a－c)/16，相应的企业 2 又会 11(a－c)/32，企业 1 又会 21(a－c)/64， 直到达到[(a－c)/3，(a－c)/4]的纳什均衡，这样就完全等同于同时决策的情况了
