免费下载网址htp:/JIaoxue5uys168.com/ 2.2切线长定理 知识与了解切线长的定义,掌握切线长定理,并利用它进行有关的计算:在运用切线 能力 长定理的解题过程中,进一步渗透方程的思想,熟悉用代数的方法解几何题。 教学目标 过程与 经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初 方法 步的演绎推理能力,培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 情感态度与价值了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体 验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 教学重 理解切线长定理 点教点教 应用切线长定理解决问题 教学方法采用引导发现法,辅之以讨论法。利用“问题情境一一建立数学模 法 型——解释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学 因此,要利用概念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合,完成 本节课的教学。 教学用 多媒体计算机、自制圆半径测量仪、悠悠球,刻度尺2把、量角器、圆规、水杯、强力胶 切线长定理 板 、切线长定义 线段相等 书 角相等 、切线长定理 \ 垂直关系 设 三角形全等: 计 教学过程 教师活 「学生活动 激发情趣导入新课 同学们,请看这是什么玩具?(悠悠球)对,这是大家非常喜爱的一种玩具。 (教师演示一次)可是,大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包 含着数学知识呢?是什么知识呢?我们来看一下它的构造。(拆开球,出示球 的剖面)这是悠悠球在转动的一瞬间的剖面,从中你能抽象出什么样的数学图 教师在板书定义之 形?(球的整体和中心轴可分别抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段。)后,通过对话交往,引导 这些图形位置关系怎样? 学生把对概念的感性认识 (两圆为同心圆,线段所在直线和小圆相切)[在这两问中,如果学生想不到上升到理性认识,然后在 球的整体时,这个圆可以不提] 图形中进行识别,从而认 线段的两个端点和小圆的位置关系怎样?(一个是切点在小圆上,一个在小圆识概念的本质特征,理解 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 2.2 切线长定理 教 学 目 标 知识与 能力 了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线 长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。 过程与 方法 经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初 步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 情感态度与价值 观 了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体 验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 教学重 点 理解切线长定理 教学难 点 应用切线长定理解决问题 教学方 法 教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模 型——解释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学， 因此，要利用概念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成 本节课的教学。 教学用 具 多媒体计算机、自制圆半径测量仪、悠悠球, 刻度尺 2 把、量角器、圆规、水杯、强力胶 板 书 设 计 切线长定理 一、切线长定义： 线段相等： 角 相 等： 二、切线长定理： 垂直关系： 三角形全等： 教学过程 教 师 活 动 学 生 活 动 一、 激 发情 趣导 入新 课 同学们，请看这是什么玩具？（悠悠球）对，这是大家非常喜爱的一种玩具。 （教师演示一次） 可是，大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包 含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下它的构造。（拆开球，出示球 的剖面）这是悠悠球在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图 形？（球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？ （两圆为同心圆，线段所在直线和小圆相切）[在这两问中，如果学生想不到 球的整体时，这个圆可以不提] 线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？（一个是切点在小圆上，一个在小圆 教师在板书定义之 后，通过对话交往，引导 学生把对概念的感性认识 上升到理性认识，然后在 图形中进行识别，从而认 识概念的本质特征，理解 O C P A B
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 概念的外延。在对话中, 我们可以看出,球与手的距离就决定于这条线段的长度。在几何中,我们把满|教师以民主的精神、平等 足上述特征的线段的长叫做点到圆的切线长,这节课我们就来研究切线长的有的作风、宽容的态度、真 关知识 挚的爱心和悦纳的情怀对 待学生,在相互倾听、接 二、合乎情理探索发现 受和共享中获得知识,使 (一)、切线长定义 教学相长 板书定义:在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做 这点到圆的切线长 2、剖析定义:(1)找出中心词,把定义进行缩句。(线段的长叫做切线长) (2)定义中的“线段”具有什么特征 ①在圆的切线上:②两个端点一个是切点,一个是圆外已知点。 3、在图形中辨别:(1)已知:如图1,PC和⊙0相切于点A,点P到⊙0的 切线长可以用哪一条线段的长来表示?(线段PA) C P B 此处通过学生思考 (2)已知:如图2,PA和B分别与⊙0相切于点A、B,点P到⊙0的切线长得出结论,再次加深学生 可以用哪一条线段的长来表示?(线段PA或线段PB) 对概念的理解,也使学生 (3)如图2,思考:点P到⊙0的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的了解切线长与切线的关 长来表示吗?这样的线段最多可以有几条?为什么? 系,同时由这个结论教师 (4)既然点P到⊙0的切线长可以用两条不同的线段的长来表示,那么这两条适时引出探索问题1 线段之间一定存在着某种关系,是什么关系呢?我们来探索一下,出示探索问 题1,从而进入定理教学。 (二)、切线长定理: 1、探索问题1:从⊙0外一点P引⊙O的两条切线,切点分别为A、B,那么线 段PA和PB之间有何关系? 探索步骤 (1)根据条件画出图形 (2)度量线段PA和PB的长度; (3)猜想:线段PA和PB之间的关系 定理教学的方式是学生 (4)寻找证明猜想的途径; 自主探索,相互交流相 (5)在图3中还能得出哪些结论?并把它们归类 结合。首先出示探索步 (6)上述各结论中,你想把哪个结论作为切线长的性质?请说明理由。 骤的前三个,等学生猜 由(5)得 A 想出结论后,再明确仅 线段相等:PA=PB 凭观察、度量、猜想并 OA=OB 不能说明结论的正确 角相等:∠APO=∠BPO 性,还需证明结论的正 ∠AOP=∠BOP 确性,同时激励学生寻 垂直关系:OA⊥PA 找证明猜想的途径。之 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 外） 我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段的长度。在几何中，我们把满 足上述特征的线段的长叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的有 关知识。 二、合乎情理探索发 现 （一）、切线长定义 1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做 这点到圆的切线长. 2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长） （2）定义中的“线段”具有什么特征？ ① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。 3、在图形中辨别：（1）已知：如图 1，PC 和 ⊙O 相切于点 A ，点 P 到⊙O 的 切线长可以用哪一条线段的长来表示？ （线段 PA） C 图 1 图 2 （2）已知：如图 2，PA 和 PB 分别与⊙O 相切于点 A、B ，点 P 到⊙O 的切线长 可以用哪一条线段的长来表示？（线段 PA 或线段 PB） （3）如图 2，思考：点 P 到⊙O 的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的 长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？ （4）既然点 P 到⊙O 的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问 题 1，从而进入定理教学。 （二）、切线长定理： 1、探索问题 1：从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，那么线 段 PA 和 PB 之间有何关系？ 探索步骤： （1）根据条件画出图形； （2）度量线段 PA 和 PB 的长度； （3）猜想：线段 PA 和 PB 之间的关系； （4）寻找证明猜想的途径； （5）在图 3 中还能得出哪些结论？并把它们归类。 （6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由。 由（5）得： 线段相等：PA=PB； OA=OB； 角相等：∠APO=∠BPO； ∠AOP=∠BOP； 垂直关系：OA⊥PA； 图 3 概念的外延。在对话中， 教师以民主的精神、平等 的作风、宽容的态度、真 挚的爱心和悦纳的情怀对 待学生，在相互倾听、接 受和共享中获得知识，使 教学相长。 此处通过学生思考 得出结论，再次加深学生 对概念的理解，也使学生 了解切线长与切线的关 系，同时由这个结论教师 适时引出探索问题 1 定理教学的方式是学生 自主探索，相互交流相 结合。首先出示探 索步 骤的前三个，等学生猜 想出结论后，再明确仅 凭观察、度量、猜想并 不能说明结论的正确 性，还需证明结论的正 确性，同时激励学生寻 找证明猜想的途径。之 P O A B A P O O B A P
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 后,再让学生探索更多 三角形全等:△OAP≌△OBP 的结论,并由(6)得出 由(6)得出定理: 定理。定理的剖析以对 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两话形式进行。在整个过 条切线的夹角 程中,教师相应地进行 剖析定理: 板书 (1)、指出定理的题设和结论 (2)用符号语言表示定理: PA、PB分别是⊙0的切线,点A、B分别为切点,(PA、PB分别与⊙0相切于 A、B ∠APC=∠BPO 创设情境巩固应用 1、填空:如图3,PA、PB分别与⊙0相切于点A、B,(1)若PB=12,PO=13, 则AO (2)若PO=10,AO=6,则PB=: (3)若PA=4,AO=3,则PO= PD= 2、已知如图4,PA、PB分别与⊙0相切于点A、B,P0与⊙0相交于点D,且 PA=4cm, PD=2cm 求半径OA的长 图4 2题与1题不同,不能用算术方法直接得出答案,需要设未知数列方程来解决, 这是用代数的方法来解决几何题。(渗透方程思想) 3、解决实际问题:在我们日常生活中有很多物体呈圆形,例如花盆边沿、水 杯口等,有时我们需要知道圆形物体的半径,那么利用本节所学的切线长定理, 如何解决这个问题呢? 口答 小制作:名称:圆的半径测量仪 材料:两把刻度尺 用途:测量水杯口的半径 过程 (1)出示问题,学生尝试 笔答 (2)遇到困难,设法解决 (3)设计方案,说明道理 (4)完成制作,实物测量 顺应情势归纳总结 1、探索问题2: 连结图3中的两个切点AB交OP于点C,又能得出什么结论?并把它们分类 2、通过本节课的实践、探索、交流,你有哪些收获? 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com OB⊥PB； 三角形全等：△OAP≌△OBP. 2、由（6）得出定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角. 3、剖析定理： （1）、指出定理的题设和结论； （2）用符号语言表示定理： ∵PA、PB 分别是⊙O 的切线，点 A、B 分别为切点，（PA、PB 分别与⊙O 相切于 点 A、B） ∴PA=PB， ∠APO=∠BPO. 三、 创设情 境巩固应 用 1、填空：如图 3，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，（1）若 PB=12，PO=13， 则 AO=＿＿＿. （2）若 PO=10，AO=6，则 PB=＿＿＿； （3）若 PA=4，AO=3，则 PO=＿＿＿；PD=＿＿； 2、已知如图 4，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，PO 与⊙O 相交于点 D，且 PA=4cm,PD=2cm. 求半径 OA 的长. 小结： 图 4 2 题与 1 题不同，不能用算术方法直接得出答案，需要设未知数列方程来解决， 这是用代数的方法来解决几何题。（渗透方程思想） 3、解决实际问题：在我们日常生活中有很多物体呈圆形，例如花盆边沿、 水 杯口等，有时我们需要知道圆形物体的半径，那么利用本节所学的切线长定理， 如何解决这个问题呢？ 小制作：名称：圆的半径测量仪 材料：两把刻度尺 用途：测量水杯口的半径 过程： （1）出示问题，学生尝试； （2）遇到困难，设法解决； （3）设计方案，说明道理； （4）完成制作，实物测量。 四、 顺应情势归纳总 结 1、探索问题 2： 连结图 3 中的两个切点 AB 交 OP 于点 C，又能得出什么结论？并把它们分类。 2、通过本节课的实践、探索、交流，你有哪些收获？ 后，再让学生探索更多 的结论，并由（6）得出 定理。定理的剖析以对 话形式进行。在整个过 程中，教师相应地进行 板书。 口答 笔答 O D B A P
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出 的,那么要是圆的三条切线两两相交,又会有什么样的结论呢?如果有四条切 线呢?这些问题有待于我们课后去研究,请看课外作业。 五、心甘情愿课外作业 1、探索问题: 已知:如图5,⊙0是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F, (1)图中共有几对相等线段? A (2)若AD=4,BC=5,CF=6 则△ABC的周长是 课外作业针分层次, (3)若AB=4,BC=5,AC=6, 针对各类学生进行。 则AD= 在课堂探索结束之时, 2探索问题4 E 鼓励学生继续进行课外 已知:如图6,四边形ABCD的边AB、 探索,做到“课虽尽, BC、CD、DA和⊙0分别相切于 思不1 点L、M、N、P M 想一想:AB+CD与 AD+BC之间有什么关系? 说明你结论的正确性。 3、选做 教 使学生了解切线长的定义,并能在具体的图形中把它们识别出来。运用所学知识解决实际问 学题,发展应用意识,在数学活动中体验策略的多样性,发展实践能力与创新精神。在数学活动中 反获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。真正做到“以参与求体验,以创新求发展 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出 的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切 线呢？这些问题有待于我们课后去研究，请看课外作业。 五、心甘情愿课外作 业 1、探索问题 3： 已知：如图 5，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F， （1）图中共有几对相等线段？ （2）若 AD=4，BC=5，CF=6， 则△ABC 的周长是＿＿； （3）若 AB=4，BC=5，AC=6， 则 AD=＿＿，BE=＿ ＿，CF=＿＿. 2 探索问题 4： 图 5 已知：如图 6，四边形 ABCD 的边 AB、 BC、CD、DA 和⊙O 分别相切于 点 L、M、N、P. 想一想： AB+CD 与 AD+BC 之间有什么关系？ 说明你结论的正确性。 3、选做： 课外作业针分层次， 针对各类学生进行。 在课堂探索结束之时， 鼓励学生继续进行课外 探索，做到“课虽尽， 思不止”。 教 学 反 思 使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。运用所学知识解决实际问 题，发展应用意识，在数学活 动中体验策略的多样性，发展实践能力与创新精神。在数学活动中 获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。真正做到“以参与求体验，以创新求发展 F E D O B C A P N M L O C D A B