免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.1锐角三角函数教案 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理进一步体 会三角函数的意义 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 二)思维训练要求 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的 能力 n2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力 (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 教学重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3.比较锐角三角函数值的大小 教学难点 进一步体会三角函数的意义 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的 三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度 (用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法) [生]我们组设计的方案如下: BiAZ E 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰 好和斜边重合且过树梢C点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度,BE的长 度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可 [生]在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米 如何求CD呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的边等于斜边的 半,即AC=2CD,根据勾股定理,(2CD)2=CD2+a2 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.1 锐角三角函数 教案 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体 会三角函数的意义. 2.能够进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据 30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. (二)思维训练要求 1.经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的 能力. 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点 1.探索 30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 教学难点 进一步体会三角函数的意义. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含 30°和 60°两个锐角的 三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法) [生]我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰 好和斜边重合且过树梢 C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出 AB 的长度，B E 的长 度，因为 DE =AB，所以只需在 Rt△CDA 中求出 CD 的长度即可. [生]在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE 是已知的，设 BE=a 米，则 AD＝a 米， 如何求 CD 呢? [生]含 30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一 半，即 AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2 +a2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 则树的高度即可求出 [师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦 余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tam°CDCD,.则CD= ad a atan30°,岂不简单 你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值 [师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度 生]一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45° [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流 [生]sin30 sin30°表示在直角三角 形中,30°角的对边与 斜边的比值,与直角三角形的大小无关我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据 直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理 可知30°角的邻边为a,所以sin30 [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°= √3a_√3 a tan 30 3a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的 三角函数值分别是多少?你是如何得到的? [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边 和邻边分别是60°角的邻边和对边利用上图,很容易求得sim60°=y3a s60°=a1 tanto [生]也可以利用上节课我们得出的结论:一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余 弦等于它余角的正弦.可知sin60°=cos(90°-60°)=cos30°=cos60°=sin(90 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com CD＝ 3 3 a. 则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、 余弦值也随之确定，如果能求出 30°的正切值，在上图中，tan30°= a CD AD CD = ，则 CD= atan30°，岂不简单. 你能求出 30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课 1.探索 30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1 . sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设 30°角所对的边为 a(如图所示)，根据 “直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于 2a.根据勾股定理， 可知 30°角的邻边为 a，所以 sin30°＝ 2 1 2 = a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 3 2 3 = a a . tan30°= 3 3 3 1 3 = = a a [师]我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的 三角函数值分别是多少?你是如何得到的? [生]求 60°的三角函数值可以利用求 30°角三角函数值的三角形.因为 30°角的对边 和邻边分别是 60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得 sin60°= 2 3 2 3 = a a , cos60°= 2 1 2 = a a , tan60°＝ 3 3 = a a . [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余 弦等于它余角的正弦.可知 sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°= 2 3 cos60°=sin(90°-
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 60°)=sin30°l [师生共析]我们一同来 求45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中 条直角边为a,则另一条直角 边也为a,斜边√2a由此可求得 A45 cos45 tan45° [师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值 三角函数角 sin a ta 2 这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30 45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小 为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的 正弦值,你能发现什么规律呢? [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为√,√2 随着角度的增大,正弦值在逐渐增大 [师]再来看第二列函数值,有何特点呢? [生]第二列是30°,45°、60°角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从大到小 分别为√3 √,余弦值随角度的增大而减小 [师]第三列呢? [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 60°)=sin30°= 2 1 . [师生共析]我们一同来 求 45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为 a，则另一条直角 边也为 a，斜边 2 a.由此可求得 sin45°= 2 2 2 1 2 = = a a , cos45°＝ 2 2 2 1 2 = = a a , tan45°= =1 a a [师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值 三角函数角 sinα coα tanα 30° 2 1 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 2 3 2 1 3 这个表格中的 30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据 30°、 45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列 30°、45°、60°角的 正弦值，你能发现什么规律呢? [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 1 ， 2 ， 3 ， 随着角度的增大，正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值，有何特点呢? [生]第二列是 30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小 分别为 3 ， 2 ， 1 ，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢? [生]第三列是 30°、45°、60°角的正切值，首先 45°角是等腰直角三角形中的一个
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 锐角,所以tan45°=1比较特殊 [师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检査一下对30° 5°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1计算: (1)sin30°+cos45° (2)sin260°+cos260°-tan45 分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角三角 函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示 (cos60°)2. 解:(1)sin30°+cos 1√21+√2 (2)sin260°+cos260°-tan45 =()2+(-)2-1 =0. [例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为 60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果 精确到0.01m) 分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力 解:根据题意(如图) 可知,∠BOD=60° OB=0A=OD=2. 5 m ∠AOD=-×60°=30°, OC=OD·cos30° =2.5×≈2.165(m) ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m 所以,最高位置与最低位置的高度约为 0.34 Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 计算 (1)sin60°tan45° (2)cos60°+tan60° sin45°+sin60°-2cos45° 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 锐角，所以 tan45°=1 比较特殊. [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对 30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例 1]计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin2 60°+cos2 60°-tan45°. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角 函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin2 60°表示(sin60°) 2，cos 2 60°表示 (cos60°) 2 . 解：(1)sin30°+cos45°= 2 1 2 2 2 2 1 + + = , (2)sin2 60°+cos2 60°-tan45° =( 2 3 ) 2 +( 2 1 ) 2 -1 = 4 3 + 4 1 -1 ＝0. [例 2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果 精确到 0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝ 2 1 ×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30° =2.5× 2 3 ≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算： (1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) 2 2 sin45°+sin60°-2cos45°
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 解:(1)原式=- (2)原式=+=√3 √3 (3)原式2 2 2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7m,扶梯的长度是多少? 解:扶梯的长度为_7=7=14(m) sn30° 所以扶梯的长度为14 Ⅳ.课时小结 本节课总结如下: (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值 sin60°=—; cos30° 45 ,cos60°I tan30° tan45°=1,tan60° (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算 (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小 V.课后作业 见课课通 Ⅵ.活动与探究 (2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼问的距离AC=24 皿,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影 子在乙楼上有多高? (精确到0.1m,√2≈1.41,√3≈1.73) 口口 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：(1)原式＝ 2 3 -1= 2 3 − 2 ； (2)原式= 2 1 += 2 1 2 3 3 + = (3)原式= 2 2 × 2 2 + 2 3 × 2 2 ； = 2 1+ 3 − 2 2 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30°.高为 7 m，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为 2 1 7 sin 30 7 = =14( m)， 所以扶梯的长度为 14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下： (1)探索 30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝ 2 1 ，sin45°＝ 2 2 ，sin60°＝ 2 3 ； cos30°＝ 2 3 ，cos45°＝ 2 2 ，cos60°＝ 2 1 ； tan30°= 3 3 ，tan45°＝1，tan60°= 3 . (2)能进行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算. (3)能根据 30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业 见课课通 Ⅵ.活动与探究 (2003 年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 AB＝CD=30 m，两楼问的距离 AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为 30°时，求甲楼的影 子在乙楼上有多高? (精确到 0.1 m， 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E,直射到乙楼D点,D 点向下便接受不到光线,过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC=24m,∠EDB=30 可求出BE,由于甲、乙楼一样高,所以DF=BE. [结果1在K△BE中,B=B,tmno°=24x3=53m 甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m) 备课参考资料 参考练习 1.计算 2.计算:(√2+1)-+2sin30°-8 答案 3.计算:(1+ 11-sin30°|1+(-) 答案 4.计算:sin60°+ 答案 5.计算;2-(√2003+m)9-cos60° 答案 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶 E，直射到乙楼 D 点，D 点向下便接受不到光线，过 D 作 DB⊥AE(甲楼).在 Rt△BDE 中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°. 可求出 BE，由于甲、乙楼一样高，所以 DF=BE. [结果]在 Kt△BDE 中，BE=DB·tan30°＝24× 3 3 =8 3 m. ∵DF＝BE， ∴DF=8 3 ≈8×1.73＝13.84(m). 甲楼的影子在乙楼上的高 CD=30-13.84≈16.2(m). 备课参考资料 参考练习 1.计算： 3 1 2 sin 30 1 + − . 答案：3- 3 2.计算：( 2 +1)-1 +2sin30°- 8 答案：- 2 3.计算：(1+ 2 ) 0 -｜1-sin30°｜1+( 2 1 ) -1 . 答案： 2 5 4.计算：sin60°+ 1− tan 60 1 答案：- 2 1 5.计算；2 -3 -( 2003 +π) 0 -cos60°- 1 2 1 − . 答案：- 2 8 3 +