拉普拉斯变换 冬重点 1、元件的复频域模型 2、应用拉氏变换求解微分方程
❖ 重 点 1、元件的复频域模型 2、应用拉氏变换求解微分方程 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换是f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。 FS)=∫f()e-d S=6+j0 f(t):原函数；F(S):f(t)在S域中的象函数。 拉普拉斯反变换： 0LHSn∫2FSw
拉普拉斯变换是 f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。 0 ( ) ( ) St F S f t e dt − − = S j = + f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯反变换： 1 1 ( ) [ ( )] ( ) 2 j St j f t F S F S e dS j + − − = = L
二、基本性质 唯一性：原函数f()与象函数F(s)一一对应 ◆线性性质：如[f】=Fs),L[()]=E(s) 则：4f)+Af)]=AF()+A,F(s) ◆微分性质：Lf'(t】=sF(s)-f0) ◆积分特性：Lf(传)dE=F(s)/s ◆延迟性质：[ft-】=eF(s) L[e"ft)】=F(s+a)
唯一性：原函数f(t) 与象函数F(s)一一对应 ◆线性性质：如 则： ◆微分性质： ◆积分特性： ◆延迟性质： ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 2 2 L f t = F s L f t = F s ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L A f t + A f t = AF s + A F s [ '( )] ( ) (0 ) = − − L f t sF s f f d F s s t ( ) ( )/ 0 = − L 二、基本性质 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 e f t F s a f t t e F s at st = + − = − − L L
三、常用时间函数及其象函数 Aδ(t)←→A AE(t)←→A/S Ae-at←→ s+a t←→1/s2 ) sin(ot)←→ s2+2 cOS(Dt)←→ s2+G02
三、常用时间函数及其象函数 2 2 2 2 2 cos( ) sin( ) 1/ ( ) / ( ) + + + − s s t s t t s s a A Ae A t A s A t A a t
拉氏变换的性质 、线性定理 L[f()]=E(S),[5(t)]=F(S): L[a(t)±时()]=aL[f()]±bL[方()]=aE(S)±bF(S) 2、微分定理 Lf (=F(S) SF(S)-f(0) 3、积分定理 []-S.0a]-g
拉氏变换的性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 L f t F S L f t F S , : L af t bf t aL f t bL f t aF S bF S = = = = 1、线性定理 2、微分定理 ( ) (0 ) df SF S f dt − = − L L f t F S ( ) = ( ) 3、积分定理 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , t F S L f t F S L f t dt − S = =
4、时域位移定理 L[f()]=F(S), L[f(t-to)-1(t-to)]=F(S)e-5to 5、初值定理与终值定理 L f(t)=F(S),f(0)=lim f(t)=lim SF(S) 101 L f(t)=F(S),f()=lim f(t)=lim SF(S) S>0 注：终值定理成立的条件是： F(S)的所有极点都应位于S平面的左半部或者位于S=0处
4、时域位移定理 ( ) ( ) 0 0 0 , [ ( ) 1( )] ( ) St L f t F S L f t t t t F S e− = − − = 5、初值定理与终值定理 ( ) ( ) 0 , (0 ) lim ( ) lim ( ) t S L f t F S f f t SF S + + → → = = = ( ) ( ) 0 , ( ) lim ( ) lim ( ) t S L f t F S f f t SF S → → = = = 注：终值定理成立的条件是： F(S)的所有极点都应位于S平面的左半部或者位于S＝0处
常见函数的拉氏变换 1、指数函数 0-S+a 2、常数 3、正弦函数 11 号em-e1-70+3+ 4、余弦函数 L-Lea+em- 1+1 S 2 S-jo S+j@'s2+02 5、冲激函数 Lotl=jC6uleh=∫ted=-∫cauh=l
1、指数函数 0 ( ) ( ) 0 0 1 1 [ ]t t St S t S t L e e e dt e dt e S S − − − − − − − + − + − = = = = + + 2、常数 ( ) 0 0 1 1 [1( )] 1 st st t t e dt e S S − − − − = = − = L 3、正弦函数 2 2 1 1 1 1 [ ( )] ( ) 2 2 j t j t e e j j S j S j S − − = − = − + + L 常见函数的拉氏变换 4、余弦函数 2 2 1 1 1 1 [cos ] [ ( )] ( ) 2 2 j t j t S t e e S j S j S − = + = + = − + + L L 5、冲激函数 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 St St t t e dt t e dt t dt + + − − − − − = = = = L
拉普拉斯反变换的部分分式展开 F(S)-N(S)aSm D(S) bS”+bSm-1+…+bn 通常：m≤n m=n时：FS)=S+ D(S) N(S)=O的根被称为N(S)的零点； D(S)=0的根被称为D(S)的极点。 设法把F(S)分解成若干个较简单的、能够从表中查到的项 的和，通过查表，可直接得到所求的原函数，这称为 拉普拉斯反变换的部分分式法
1 ( ) ( ) 2 j St j f t F S e dS j + − = 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) m m m n n n N S a S a S a F S D S b S b S b − − + + + = = + + + N(S)=0的根被称为N(S)的零点； D(S)=0的根被称为D(S)的极点 。 拉普拉斯反变换的部分分式展开 设法把F(S)分解成若干个较简单的、能够从表中查到的项 的和，通过查表，可直接得到所求的原函数，这称为 . 拉普拉斯反变换的部分分式法。 通常：m n m=n时： 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N S F S F S D S = +
D(S)=0的根有三种情况： 一、不等实根 F(S)= N(S) 十…十 Kn D(S)S-S S-S2 S-S, S-Sn n的系数如何确定？ 方法一： Kn K=(S-S)D(S s-5 、N(S) j=1,2,…,n
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) j n j n N S K K K K F S D S S S S S S S S S = = + + + + + − − − − Kn的系数如何确定？ 一、不等实根 方法一： 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j j j j j n N S K K K S S S S S S K S S D S S S S S S S − = − + − + + + + − − − − ( ) ( ) 1,2, , ( ) j j j S S N S K S S j n D S = − = = D(S)=0的根有三种情况：
方法二： K,=im【(S-S, N(S)1=lim s-5MS S→S D(S) S→S d D(S) N(S)+(S-S)N'(S) lim N(S) S→S D'(S) D'(S)|S=-5, f0=r[FS=∑Ke i= 二、共轭复数根 F(S)= N(S) N(S) K∠0IK∠-0 S2+aS+b(S+o)2+02 S+o-jo S+o+j@ f(t)=L'[F(S)]=2Ke cos(at+)
方法二： [( ) ( )] ( ) lim [( ) ] lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) j j j j j j j S S S S j S S S S d S S N S N S dS K S S D S d D S dS N S S S N S N S D S D S → → = → − = − = + − = = 1 1 ( ) [ ( )] j n S t j j f t L F S K e − = = = 二、共轭复数根 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) N S N S F S S aS b S = = + + + + K K 1 1 S j S j − = + + − + + ( ) 1 1 ( ) [ ( )] 2 cos t f t L F S K e t − − = = +