第三章线性分组码习题 1.证明[n,k线性分组码的最大距离为n-k+1。 2.设一个[7,4]码的生成矩阵为 「10001117 0100101 G= 0010011 0001110 (1)求出该码的全部码矢： (2)求出该码的一致校验矩阵： (3)作出该码的标准阵译码表。 3.证明定理3.1.3。 4.一个[8,4]系统码，它的一致校验方程为： Co=m1+12+i13 C1=mo+m1+12 C2=mo+m+m2 c3=mo+m2+m3 式中，o,m1,m2,m3是信息位，co,c1,c2,c3是校验位。找出该码的G和H,并证明该码 的最小距离为4。 5.构造第4题中码的对偶码。 6.设H1是[n,线性分组码C的校验矩阵，且有奇数最小距离为d。作一个新的码C2,它的校 验矩阵为 10 0 H.= H,: 0 11 (1)证明C2是一个(+1，k)分组码： (2)证明C2中每一码字的重量为偶数： (3)证明C2码的最小重量为d+1。 7.设C是一个有最小距离为d1的[1，线性系统码，生成矩阵为G1=[P]。C2是一个有最小距 离为d的[，线性系统码，它的生成矩阵G=PL]。对满足下述一致校验矩阵
第三章 线性分组码 习题 1．证明[n，k]线性分组码的最大距离为 n-k+1。 2．设一个[7，4]码的生成矩阵为 1 000111 0100101 0010011 0001110 G ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （1）求出该码的全部码矢； （2）求出该码的一致校验矩阵； （3）作出该码的标准阵译码表。 3．证明定理 3.1.3。 4．一个[8，4]系统码，它的一致校验方程为： c0=m1+m2+m3 c1=m0+m1+m2 c2=m0+m1+m2 c3=m0+m2+m3 式中，m0，m1，m2，m3是信息位，c0，c1，c2，c3是校验位。找出该码的G和H ,并证明该码 的最小距离为 4。 5．构造第 4 题中码的对偶码。 6．设H1是[n，k]线性分组码C1的校验矩阵，且有奇数最小距离为d。作一个新的码C2，它的校 验矩阵为 2 1 0 0 0 1 1 1 1 H H ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ M L （1）证明C2是一个（n+1，k）分组码； （2）证明C2中每一码字的重量为偶数； （3）证明C2码的最小重量为d+1。 7．设C1是一个有最小距离为d1的[n1，k]线性系统码，生成矩阵为G1=[P1Ik]。C2是一个有最小距 离为d2的[n，k]线性系统码，它的生成矩阵G2=[P2Ik]。对满足下述一致校验矩阵 2 1 2 T k nn k T p H I P I − − ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ = ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1
的[n1+n2,k]线性码，证明它有最小距离至少为d1+d。 8.设一个二进制n,码C的G矩阵不含全零列，将C的所有码字排成2×n的阵。 证明： (a)阵中不含有全零列： (b)阵中的每一列由21个零和21个1组成： (℃)在一特定分量上为0的所有码字构成C的一个子空间，问该子空间的维数是多少？ 9.令「是所有二进制[，线性系统码的集合。证明非零二进制n重V或者恰巧含于「的 2k-1m-)个码中，或者不在T的任一码中。 10.证明二进制[23,12,7 Golay码和三进制的[11,6,5]Golay码是完备码。 11.若d是码C的最小重量，且为偶数，t=(d-1)/2。证明有两个重量均为什1的矢量必 在C码的同一陪集中。 12.求出仁3，至多只有3个校验元的二进制码的码长n:和d=5,至多只有8个校验元的二进 制码的码长n。 13.计算二进制24,12,8]扩张Golay码的覆盖半径，及[8,4]RM码的覆盖半径。 14.证明定理3.9.3。 15.构造三个二进制的10,3,5LUEP码，其分离矢量分别为(8,2,2)，(7,4,4)， (6,4,4)。写出它们标准形式的G和系统码形式的G。 16.证明定理3.10.3。 17.构造一个具有最高码率的=10，=2的2-EC/AUED码。 18.证明定理3.10.6。 2
的[n1+n2，k]线性码，证明它有最小距离至少为d1+d2。 8．设一个二进制[n，k]码C的G矩阵不含全零列，将C的所有码字排成 2k ×n的阵。 证明： （a）阵中不含有全零列； （b）阵中的每一列由 2k-1个零和 2k-1个 1 组成； （c）在一特定分量上为 0 的所有码字构成 C 的一个子空间，问该子空间的维数是多少？ 9．令 Γ 是所有二进制[n，k]线性系统码的集合。证明非零二进制 n 重 V 或者恰巧含于 的Γ ( 1)( ) 2 k nk − − 个码中，或者不在 的任一码中。 Γ 10．证明二进制[23，12，7]Golay 码和三进制的[11，6，5]Golay 码是完备码。 11．若 d 是码 C 的最小重量，且为偶数，t d = − ⎢⎣( 1) / 2⎥⎦ 。证明有两个重量均为 t+1 的矢量必 在 C 码的同一陪集中。 12．求出 d=3，至多只有 3 个校验元的二进制码的码长 n；和 d=5，至多只有 8 个校验元的二进 制码的码长 n。 13．计算二进制[24，12，8]扩张 Golay 码的覆盖半径，及[8，4]RM 码的覆盖半径。 14．证明定理 3.9.3。 15．构造三个二进制的[10，3，5]LUEP 码，其分离矢量分别为（8，2，2），（7，4，4）， （6，4，4）。写出它们标准形式的 G 和系统码形式的 G。 16．证明定理 3.10.3。 17．构造一个具有最高码率的 k=10，t=2 的 2-EC/AUED 码。 18．证明定理 3.10.6。 2
