第四章多项式环与有限域习题 1.在模8的剩余类环中找出所有子环、理想和主理想。 2.求GF(2)上多项式的最大公因子。 (x2+x+1,x4+x3+x2+1)=C(x) 并将它表示成A(x)(x2+x+1)+B(x)(x4+x3+x2+)=C(x)的形式。 3.构成GF(2)上模f(x)=x3+x+1多项式剩余类环，并列出加法表和乘法表。 4.在模x6-1∈GF(2)[x]多项式剩余类环中有几个真理想？并找出它们的生成元。 5.构造GF(7)的加法表和乘法表？找出每一个元素的级，找出哪些元素是生成元。 6.模9剩余加群是否是循环群？若是，则确定每个元素的级，找出所有生成元。 7.若G(α)群的阶数为素数，问有几个有限循环子群？ 8.基于GF(2)上的多项式p(x)=x3+x2+1,构造GF(2)的加法表和乘法表。令是GF2 的本原域元素，求a3和的最小多项式。 9.分解GF(2)上的多项式：x31和x211,为GF(2)上的既约多项式之积。求出它们的分圆 多项式。 10.能完全分解x71为GF(2)上既约多项式的次数各为多少？能完全分解x71为一次因式的 最小分离域是什么？ 11.求出GF(2)上次数≤5次的全部既约多项式。 12.设a是GF(2)上四次既约多项式p(x)=x+x+x2+x+1在扩域GF(2)上之根。试求+1 的最小多项式，并判断这一最小多项式是否为本原多项式？ 13.试证明互反多项式的3个性质。 14.证明次数>2的任何多项式，如果互反多项式也是自身，则它不可能是本原多项式。 15.证明定理4.4.2（提示：在GF(q)中找一个有最大级为r的元素，证明域中的一切元素的 级都是r的因子)。 16.证明推论4.5.2。 17.证明推论4.5.6。 18.找出GF(216)及GF(220)中的所有真子域，并用图表示之。 19.找出GF(2)中元素的正规基表示，是x+x3+1的根，并找出它的对偶基。 20.找出GF(24)中自然基的对偶基，其中，C是本原元，它是x+x+1的根。 21.证明定理4.7.1中迹的前四个性质。 22.∈GF(g")是任一元素，定义N(a)=aa9.a为的范数，证明范数有以下性质：
第四章 多项式环与有限域 习题 1．在模 8 的剩余类环中找出所有子环、理想和主理想。 2．求 GF（2）上多项式的最大公因子。 2 432 ( 1 1) x ++ + + + = x xx C ，x ( ) x 并将它表示成 的形式。 2 432 Ax x x Bx x x x Cx ( )( 1) ( )( 1) ( ) ++ + + + + = 3．构成 GF(2)上模 3 f () 1 xxx = ++ 多项式剩余类环，并列出加法表和乘法表。 4．在模 6 x − ∈1 (2)[ GF x]多项式剩余类环中有几个真理想？并找出它们的生成元。 5．构造 GF（7）的加法表和乘法表？找出每一个元素的级，找出哪些元素是生成元。 6．模 9 剩余加群是否是循环群？若是，则确定每个元素的级，找出所有生成元。 7．若 G（a）群的阶数为素数，问有几个有限循环子群？ 8．基于GF（2）上的多项式p（x）=x 5 +x 2 +1，构造GF（25 ）的加法表和乘法表。令α 是GF(25 ) 的本原域元素，求α3 和α7 的最小多项式。 9．分解GF（2）上的多项式：x 63-1 和x 21-1，为GF（2）上的既约多项式之积。求出它们的分圆 多项式。 10．能完全分解x 17-1 为GF（2）上既约多项式的次数各为多少？能完全分解x 17-1 为一次因式的 最小分离域是什么？ 11．求出 GF（2）上次数≤ 5 次的全部既约多项式。 12．设α 是GF（2）上四次既约多项式p（x）=x 4 +x 3 +x 2 +x+1 在扩域GF（24 ）上之根。试求α +1 的最小多项式，并判断这一最小多项式是否为本原多项式？ 13．试证明互反多项式的 3 个性质。 14．证明次数＞2 的任何多项式，如果互反多项式也是自身，则它不可能是本原多项式。 15．证明定理 4.4.2（提示：在 GF（q）中找一个有最大级为 r 的元素，证明域中的一切元素的 级都是 r 的因子）。 16．证明推论 4.5.2。 17．证明推论 4.5.6。 18．找出GF（216）及GF（220）中的所有真子域，并用图表示之。 19．找出GF（24 ）中元素的正规基表示，α 是x 4 +x3 +1 的根，并找出它的对偶基。 20．找出GF（24 ）中自然基的对偶基，其中，α 是本原元，它是x 4 +x+1 的根。 21．证明定理 4.7.1 中迹的前四个性质。 22．α ∈GF（qm）是任一元素，定义 1 ( ) ... m q q N α αα α − = 为α 的范数，证明范数有以下性质： 1
(1)N(a)∈GF(q)月 (2)N(a,B)=N(a)N(B) (3)N(a)=N(a) ∈GF(q, (4)N(a9)=N(a)
1 ( ) ( ); (2) ( , ) ( ) ( ); (3) ( ) ( ) ( ); (4) ( ) ( ) q N GF q N NN N N GF N N q α αβ α β λα λ α λ α α ∈ = = ∈ = （） 。 2
3
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