第四章多项式环与有限域 符号.Z:整数，Z:正整数，N:自然数 FE:p特征素子域，F:g阶有限域，F,:p特征域，F,:F的扩展域 F[x]:F上所有多项式的集合 F[x]/f(x):F[x关于f(x)的剩余类环 p(t):f(x)的周期 一、剩余类环 厘想交换环R中的非空子集I称为R中的理想，若： (1)Ha,b∈上a-b∈5 (2)Ha∈Lr∈R:ar=ra∈I (1+(2)一理想是个子环， (2)一I中任一元素a的倍数在I中，即I由R的一些元素（可以是多个）的倍数组成。 住理想由单个元素的倍数组成。 主理想环每个理想都是主理想。 定理1（定理4,1.2，p112)设I为可换环R的一个理想，则1构成一个可换环，称为模I的剩余类环 二、多项式环 定理习（补充）Fx]构成一个环。 定理3（定理4.2.11，p122)集合G与G同构→(G为群（环、域）台G为群（环、域）). 三、基于多项式的有限域 定理3（定理4.5.10，p137)f)是Fg上素多项式一Fx]x)是一个域。 四、循环群 循环群由某个元素的所有整数幂组成的群{a,,a2,αB,},α称为生成元园 元素a的级满足a"=e的最小正整数n.若/neN:a”≠e,则称a的级为o。 单位原根阶循环群的n级元素。 定理3*循环群G的性质 (1)G必为阿贝尔群： (2)a为n级元素，则dm=e一川m; (3)n级元素a与m级元素b满足n,m)=l,则ab为nm级元素； (4)a为n级元素，则a=的级为n1化n少 (5)n阶循环群中每个元素的级数m满足mn. 定理4（定理4.3.1，pl25)可换群G的任一n级元素a皆可生成一个n阶循环子群。 定理5（推论4.3.3，pl27)n阶循环群中必有o)个单位原根。 y
1 符号. Z: 整数，Z + : 正整数，N: 自然数 Fp: p 特征素子域, Fq: q 阶有限域， m p F : p 特征域, m q F : Fq的扩展域 Fq[x]: Fq上所有多项式的集合 Fq[x]/f(x): Fq[x]关于 f(x)的剩余类环 p(f): f(x)的周期 一、剩余类环 理想 交换环 R 中的非空子集 I 称为 R 中的理想，若： (1) a, b I: a-b I; (2) a I, r R: ar =ra I; (1)+(2) 理想是个子环， (2) I 中任一元素 a 的倍数在 I 中，即 I 由 R 的一些元素（可以是多个）的倍数组成。 主理想 由单个元素的倍数组成。 主理想环 每个理想都是主理想。 定理 1 (定理 4.1.2, p112) 设 I 为可换环 R 的一个理想，则 R/I 构成一个可换环，称为模 I 的剩余类环。 二 、多项式环 定理 2 (补充) Fq[x]构成一个环。 定理 3 (定理 4.2.11, p122) 集合 G 与 G 同构 （G 为群(环、域) G为群(环、域) ）. 三、基于多项式的有限域 定理 3* (定理 4.5.10, p137)f(x)是 Fq 上素多项式 Fq[x]/f(x)是一个域。 四、循环群 循环群 由某个元素的所有整数幂组成的群 { 0 , 1 , 2 , 3 , …. }, 称为生成元。 元素 a 的级 满足 a n =e 的最小正整数 n. 若 n N: a n e, 则称 a 的级为 。 单位原根 n 阶循环群的 n 级元素。 定理 3** 循环群 G 的性质 （1）G 必为阿贝尔群； （2）a 为 n 级元素，则 a m = e n| m ; （3）n 级元素 a 与 m 级元素 b 满足 (n, m) =1, 则 ab 为 nm 级元素; （4）a 为 n 级元素，则 a k =的级为 n /(k,n); （5）n 阶循环群中每个元素的级数 m 满足 m|n. 定理 4 (定理 4.3.1, p125) 可换群 G 的任一 n 级元素 a 皆可生成一个 n 阶循环子群 。 定理 5 (推论 4.3.3, p127) n 阶循环群中必有(n)个单位原根
pm)=1{a0sa≤m-1且(a,n)=1引（欧拉函数， 小于n且与n互素的自然数的个数) 五、有限域F,的乘法结构 单位原根n级元素称为n次单位原根。 本原域元素（本原元q-1级元素 定理（推论4.4.l,p28)F,上的n级元素a生成的n阶循环群G侧是方程”1=0的全部根。 论]（补充）若F含有n次单位原根，则-1可分解为x-a 定理7（定理4.4.2，p28)Fg必有本原域元素存在，所以Fg-{0}是一个q-1阶乘法循环群。 由此可知任一有限域Fg必可写成{0，ad心，…，r2,al-e}的形式，这叫Fg的膝原元表示灵幂表示 雕论2（定理4.4.1，p128)方程x--1=0的全部根构成Fg-{0; 推论3偾马Ferma)定理（定理4.5.5，pl34)Ha∈Fg:a9=-a. 定理7☑（定理44.5，p130)x-1=ΠQd(x) dn Q为份圆多项虱Q=Πx"-1)am=Π(x4m-1) md μ为Mobiusi函数， m=0,m有平方因子 =(←1)，m不含平方因子，且可分解为k个因子的积 =1,m=1 六、有限域F,的加法结构 1.域的特征 域的特征满足ne=0的最小正整数n.若/n∈N:ne≠0，则称域的特征为o。 元素的a周期满足n'a=0的最小正整数n(或o)。 定理8（定理4.5.1，p132)Fg任一非零元素的周期都等于F,的特征。 定理（定理4.52，p133)Fg的特征或为素数，或为0。 定理10（定理4.5.3，p133)在p特征域Fg中，全体域整数构成素子域Fp,且同构于Z/p}。 定理回（定理4.5.4，pl33)在p特征域F,中，aeF:KaP-P-ad 域整数a=ze(zez) 雅论☑（推论454，p134)若k是p特征域的域整数，则KP=k(neN 定理12（定理4.5.5，pl34)在p特征域Fg中：元素a为域整数白aP-a=0 2.最小多项式与本原多项式 2
2 (n) = | {a| 0 a n-1 且 （a, n ）=1}| (欧拉函数，小于 n 且与 n 互素的自然数的个数) 五、有限域 Fq的乘法结构 单位原根 n 级元素称为 n 次单位原根。 本原域元素 (本原元) q-1 级元素 定理 6 (推论 4.4.1, p28) Fq 上的 n 级元素 生成的 n 阶循环群 G()是方程 x n - 1 = 0 的全部根。 推论 1 (补充) 若 Fq 含有 n 次单位原根，则 x n – 1 可分解为 − = − 1 0 ( ) n i i x 。 定理 7 (定理 4.4.2, p28) Fq 必有本原域元素存在，所以 Fq – {0}是一个 q-1 阶乘法循环群。 由此可知任一有限域 Fq 必可写成 {0, , 2 , … , q-2 , q-1 =e}的形式, 这叫 Fq 的本原元表示 ( 幂表示 ) 推论 2 (定理 4.4.1, p128)方程 x q-1 – 1 = 0 的全部根构成 Fq – {0}. 推论 3 费马(Ferma)定理 (定理 4.5.5, p134) Fq: q = . 定理 7* (定理 4.4.5, p130) x n –1 = d n d d Q x | ( ) ( ) Q (d)(x)为分圆多项式，Q (d)(x) = − m d m m d m x | ( / ) ( 1) = − m d m d m m x | / ( ) ( 1) 为 Mobius 函数，(m) = 0, m 有平方因子 = (-1) k , m 不含平方因子, 且可分解为 k 个因子的积 = 1 , m =1 六、有限域 Fq的加法结构 1. 域的特征 域的特征 满足 n`e = 0 的最小正整数 n. 若 n N: n`e 0, 则称域的特征为 。 元素的 a 周期 满足 n`a = 0 的最小正整数 n (或 )。 定理 8 (定理 4.5.1, p132) Fq 任一非零元素的周期都等于 Fq 的特征。 定理 9 (定理 4.5.2, p133) Fq 的特征或为素数，或为 。 定理 10 (定理 4.5.3, p133) 在 p 特征域 Fq 中，全体域整数构成素子域 Fp, 且同构于 Z /{p}。 定理 11 (定理 4.5.4, p133) 在 p 特征域 Fq 中，a Fq : (x-a)p = xp - a p 域整数 a = z`e ( z Z) 推论 4 (推论 4.5.4, p134)若 k 是 p 特征域的域整数，则 n p k = k ( n N ) 定理 12 (定理 4.5.5, p134) 在 p 特征域 Fq 中：元素 a 为域整数 a p -a = 0 2.最小多项式与本原多项式
最小多项式、 元素的次数本原多项式 设Fg为FQ的子域，w∈Fe,m)是Fg上满足m@=O的最低次的多项式，称mc)为w在Fg上的最 小多项式，°m)称为w的次数。若w为Fg的本原元，则称m)为本原多项式。 定理13（定理4.5.8，p136)w在Fg上最小多项式m6)的性质： (1) 存在且唯一： (2) 是素多项式： (3) 若feFg]满足fw)=0,则mx)lfx,(以w为根的多项式是m的倍式)： (4) m(x)Ix2-x. 定理14（定理4.6.2，pl42)f)EFgx:3F0Fg,在FQ中f)可分解为一次因子的积。称F0为f)的 分裂域 定理1因（补充）设Fg为Fe的真子域，a是Fo的本原元，a的次数为m,则Q-gm,且 peo:A-员a,d,aeK 雕论5定理4.6.1，p141)有限域的阶必为其特征的幂，因此它是素数的幂。 3.共轭根 定理1 】(定理45.6，pl35)f)eFg,w为Fg的扩展域F,上的元素且f6w)=0,则对于n∈N有f (1w9)=0.w9叫w的供轭根，共轭根的集合组成供轭根系 定理16网（推论4.5.7，p135)每个共轭根的最小多项式相同。 对模n的方次趔 满足pm=1(modn)的最小整数m称为p对模n的方次数。 定理16*网（定理45.7，p135)p特征域F,的共轭根系：，吧，wP,…,wP互不相同，其中m为p对 模n的方次数 定理1可（定理4.5.9，p136)设w是Fg的扩展域Fe的n级元素，而m是q对模n的方次数，则w的次数 为m且其在F,上的最小多项式mx) (x-w9) i=0 4.多项式的周期 多项式f)的周期p团 设f)∈Fxl,f0)0,满足f川6-l)的最小正整数1. 定理17* 20的性质 pO等于Fgxx)中x的级数。 七、有限域F的代数结构 定理18（定理4.6.3，p142) (1)FFsIr; 2)(BeF→BeF,)日BP=B 定理19（定理4.6.4，p143)VB∈Fg,n∈B9-B=0, 3
3 最小多项式、元素的次数、本原多项式 设 Fq 为 FQ 的子域，w FQ, m(x)是 Fq 上满足 m() = 0 的最低次的多项式，称 m(x)为 w 在 Fq 上的最 小多项式，m(x)称为 w 的次数。若 w 为 FQ 的本原元，则称 m(x)为本原多项式。 定理 13 (定理 4.5.8, p136) w 在 Fq 上最小多项式 m(x)的性质： （1） 存在且唯一； （2） 是素多项式； （3） 若 f(x) Fq [x] 满足 f (w) = 0, 则 m(x) | f (x); （以 w 为根的多项式是 m(x) 的倍式）； （4） m(x) | x Q -x. 定理 14 (定理 4.6.2, p142) f(x)Fq[x]： FQ Fq, 在 FQ 中 f(x)可分解为一次因子的积。称 FQ 为 f(x)的 分裂域。 定理 15 (补充) 设 Fq 为 FQ 的真子域，是 FQ 的本原元， 的次数为 m, 则 Q =q m， 且 FQ : = − = 1 0 m i i ai , ai Fq 推论 5 (定理 4.6.1, p141) 有限域 的阶必为其特征的幂，因此它是素数的幂。 3．共轭根 定理 16 （定理 4.5.6, p135） f(x) Fq[x]， w 为 Fq 的扩展域 m q F 上的元素且 f (w) = 0, 则对于 n N, 有 f ( n q w ) = 0. n q w 叫 w 的共轭根，共轭根的集合组成共轭根系。 定理 16* （推论 4.5.7, p135）每个共轭根的最小多项式相同。 p 对模 n 的方次数 满足 p m 1 (mod n )的最小整数 m 称为 p 对模 n 的方次数。 定理 16** （定理 4.5.7, p135）p 特征域 m p F 的共轭根系: w, wp , 2 p w , ... , m−1 p w 互不相同, 其中 m 为 p 对 模 n 的方次数 定理 17 （定理 4.5.9, p136）设 w 是 Fq 的扩展域 FQ 的 n 级元素，而 m 是 q 对模 n 的方次数，则 w 的次数 为 m, 且其在 Fq 上的最小多项式 m(x) = − = − 1 0 ( ) m i q i x w 4．多项式的周期 多项式 f(x)的周期 p(f) 设 f(x) Fq[x], f(0)0, 满足 f(x)|(xl -1) 的最小正整数 l. 定理 17 * p(f)的性质 p(f)等于 Fq[x]/f(x)中 x 的级数。 七、有限域 Fq的代数结构 定理 18 （定理 4.6.3, p142） (1) r p F s p F s | r ; (2) ( r p F s p F ) s p = 定理 19 （定理 4.6.4, p143） Fq , n N: n q - = 0
定理2（定理4.6.6，p144)x4-x=∏f(x)(x-x可分解为次数为m的因子的素多项式的积） 意赋 定理2（定理4.6.7，p144)fx)为Fg上的d次既约多项式，且dm,则任一F.含有f(x)的全部根。 由定理20和21可知，若fx)为Fg上的d次素多项式，则fx训x9-x一dm 定理2习（定理46.8，p145)F,上的m次既约多项式的数目是1/m∑4(d)qm/d.4d为Mobius函数。 八、小结 1.F的特征p一定是素数，而且满足q=. 2.给出任一素数p和正整数瓜一定存在F,· 3.任意两个同阶的域同构
4 定理 20 (定理 4.6.6, p144） m q x - x = f x m f x f x ( )| ( ) ( ) 且， 为素多项式 ( m q x - x 可分解为次数为 m 的因子的素多项式的积) 定理 21 (定理 4.6.7, p144）f(x)为 Fq 上的 d 次既约多项式，且 d|m, 则任一 m q F 含有 f(x)的全部根。 由定理 20 和 21 可知，若 f(x)为 Fq 上的 d 次素多项式，则 f(x)| m q x - x d |m 定理 22 (定理 4.6.8, p145）Fq 上的 m 次既约多项式的数目是 d m d m d 1 m d q | / / ( ) . (d)为 Mobius 函数。 八、小结 1. Fq的特征 p 一定是素数,而且满足 q = p m . 2. 给出任一素数 p 和正整数 m,一定存在 m p F . 3. 任意两个同阶的域同构