第五章 循环码习题 1.令gx)=x0+x8+x+x+x2+x+1是(15,5)循环码的生成多项式， (1)求出该码的校验多项式： (2)写出该码的系统码形式的G和H矩阵： (3)构造k级编码器。 2.求GF(2)上以，03为根的二进制循环码： (1)求出生成多项式g(x),确定码长n和信息位个数k: (2)写出该码系统码形式的G和H矩阵： (3)求出该码的R和最小距离。 3.令n是g(x)(x”-1)的最小整数。现用该g(x)生成长为的循环码，证明码的最小距离至少为3。 4.设一个[n,循环码的生成多项式g(x),且n是奇数，x+1不是g(x)的因子，试证全为1的n 重是一码字。 5.在第4题中若x+1是g(x)的一个因子，证明全为1的n重不是码字；但若n是偶数，则全为 1的n重是一个码字。 6.求以Cx)=x2+x”+x+x+x+x3+x作为码字时，有最小码长n的二进制循环码。求出它的gx)小、 n、k,并画出编码器。 7.令[n,循环码的校验多项式是 h(x)=x+.+x1 它的生成矩阵G=[Up小，证明矩阵p的第一列是(1，h1,,hk)。 8.设C是以g(x)为生成多项式的二进制n,循环码，它具有如下性质：当C(co,c1,,cn-) 是C的一个码字时，C'=(co,c1,.,Cm-1)∈C,这里，C=0,若c=1;C=1,若c=0。问g(x) 应满足什么条件？ 9.令B,和B2是GF(2m)伽逻华域中的两个不同的非零元素，且令0(x)和p2(x)分别是B, 和B2的最小多项式，有一个以gx上9(x)P2(x)作为生成多项式的循环码吗？若你认 为有，则找出以gx)作为生成多项式的最短循环码。 10.令C1和C2分别是由g1(x)和g2(x)生成的两个长为n的循环码。证明C1和C2码的和C+C2=C3码有 生成多项式g(x=GCD(g1(x),g2(x),这里，C1+C2={c1(x+c2(x),c1x)∈C1,且c2(x)∈C2}。 设C,和C2码的最小距离分别是d和d2,C3码的最小距离什么？ 11.令C1和C2分别由g1(x)和g2(x)生成的两个长为n的循环码。证明既属于C1又属于C2码的公共码 多项式形成了另一循环码C=C,∩C2,确定C码的生成多项式。设C和C2码的最小距离分别 是d和d,你能谈谈关于C3码的最小距离吗？ 12.找码长为7的所有循环码的生成多项式和幂等多项式。 13.若x”-1=g(x)h(x),由g(x)生成的码有幂等多项式(x),证明由h(x)生成的码有幂等多项式1+e(x)
第五章 循环码 习题 1．令g(x)=x10+x8 +x5 +x4 +x2 +x+1 是（15，5）循环码的生成多项式， （1）求出该码的校验多项式； （2）写出该码的系统码形式的 G 和 H 矩阵； （3）构造 k 级编码器。 2．求GF（25 ）上以α ,α3 为根的二进制循环码： （1）求出生成多项式 g(x)，确定码长 n 和信息位个数 k； （2）写出该码系统码形式的 G 和 H 矩阵； （3）求出该码的 R 和最小距离。 3．令n是g(x) (xn -1)的最小整数。现用该g(x)生成长为n的循环码，证明码的最小距离至少为 3。 4．设一个[n，k]循环码的生成多项式 g(x)，且 n 是奇数，x+1 不是 g(x)的因子，试证全为 1 的 n 重是一码字。 5．在第 4 题中若 x+1 是 g(x)的一个因子，证明全为 1 的 n 重不是码字；但若 n 是偶数，则全为 1 的 n 重是一个码字。 6．求以C(x)= x 12+x 9 +x 6 +x 5 +x 4 +x 3 +x 2 作为码字时，有最小码长n的二进制循环码。求出它的g(x)、 n、k，并画出编码器。 7．令[n，k]循环码的校验多项式是 h(x)=x k +hk-1 x k-1+hk-2x k-2+…+h1x+1 它的生成矩阵G=[I p]，证明矩阵p的第一列是(1，h1，…，hk-1) T 。 8．设C是以g(x)为生成多项式的二进制[n，k]循环码，它具有如下性质：当C1=(c0，c1，…，cn-1) 是C的一个码字时， 0 1 1 1 C cc '( ) = … ，，，cn− ∈C，这里，ci =0,若ci=1；ci =1，若ci=0。问g(x) 应满足什么条件？ 9．令 β 1 和 β 2是GF(2m)伽逻华域中的两个不同的非零元素，且令ϕ1（x）和ϕ2（x）分别是 β 1 和 β 2的最小多项式，有一个以g(x)= ϕ1（x）ϕ2 （x）作为生成多项式的循环码吗？若你认 为有，则找出以g(x)作为生成多项式的最短循环码。 10．令C1和C2分别是由g1(x)和g2(x)生成的两个长为n的循环码。证明C1和C2码的和C1+C2=C3码有 生成多项式g(x)=GCD(g1(x)，g2(x))，这里，C1+C2={c1(x)+c2(x)，c1(x)∈C1，且c2（x）∈C2}。 设C1和C2码的最小距离分别是d1和d2，C3码的最小距离什么？ 11．令C1和C2分别由g1(x)和g2(x)生成的两个长为n的循环码。证明既属于C1又属于C2码的公共码 多项式形成了另一循环码C3=C1I C2，确定C3码的生成多项式。设C1和C2码的最小距离分别 是d1和d2，你能谈谈关于C3码的最小距离吗？ 12．找码长为 7 的所有循环码的生成多项式和幂等多项式。 13．若x n -1=g(x)h(x)，由g(x)生成的码有幂等多项式e(x)，证明由h(x)生成的码有幂等多项式 1+e(x)。 1
14.令C,和C2是循环码，它们的幂等多项式分别是e1(x)和e2(x),证明当且仅当e1(x)e2(x)=e1(x) 时，C1三C2。 15.己知(15,5)码的生成多项式gx)=x0+x8+x+x+x2+x+1,求出xgx)的MS多项式，画出它 的谱图。 16.第15题中的xg(x)码多项式相对应的码序列的线性复杂度是多少？画出生成此序列的线性 反馈移存器电路图。 17.从频谱的观点证明[7,3,4]扩张汉明码的最小距离是4。 18.设gx)以a,a2,a3,,α0-l为根。从谱和序列线性复杂度的观点证明该码的最 小距离至少是6。（提示：首先求出码多项式的MS多项式，把此MS多项式看成是GF(g) 上的n长序列，引用定理5.9.3和定理5.9.6，求出此序列的线性复杂度。 2
14．令C1和C2是循环码，它们的幂等多项式分别是e1(x)和e2(x)，证明当且仅当e1（x）e2(x)=e1(x) 时，C1⊆ C2。 15．已知（15，5）码的生成多项式g(x)=x 10+x 8 +x 5 +x 4 +x 2 +x+1，求出x 2 g(x)的MS多项式，画出它 的谱图。 16．第 15 题中的x 2 g(x)码多项式相对应的码序列的线性复杂度是多少？画出生成此序列的线性 反馈移存器电路图。 17．从频谱的观点证明[7，3，4]扩张汉明码的最小距离是 4。 18．设g(x)以α ，α2 ，α3 ，…， α δ −1为根。从谱和序列线性复杂度的观点证明该码的最 小距离至少是δ 。（提示：首先求出码多项式的MS多项式，把此MS多项式看成是GF(qm) 上的n长序列，引用定理 5.9.3 和定理 5.9.6，求出此序列的线性复杂度。 2