第一单元图形的变换 图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。 1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这 样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。 (1)学过的轴对称平面图形:长(正)方形、圆形、等腰三角形、 等边三角形、等腰梯形 等腰三角形有1条对称轴, 等边三角形有3条对称轴, 长方形有2条对称轴, 正方形有4条对称轴, 等腰梯形有1条对称轴, 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 (2)圆有无数条对称轴。 (3)对称点到对称轴的距离相等。 (4)轴对称图形的特征和性质 ①对应点到对称轴的距离相等; ②对应点的连线与对称轴垂直; ③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。 5)对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形(除棱 形)属于中心对称图形
第一单元 图形的变换 图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。 1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这 样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、 等边三角形、等腰梯形…… 等腰三角形有 1 条对称轴， 等边三角形有 3 条对称轴， 长方形有 2 条对称轴， 正方形有 4 条对称轴， 等腰梯形有 1 条对称轴， 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 （2）圆有无数条对称轴。 （3）对称点到对称轴的距离相等。 （4）轴对称图形的特征和性质： ①对应点到对称轴的距离相等； ②对应点的连线与对称轴垂直； ③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。 （5）对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱 形）属于中心对称图形
2、旋转:在平面内,一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另 一个图形的变化较做旋转,定点O叫做旋转中心,旋转的角度叫做 旋转角,原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。 (1)生活中的旋转:电风扇、车轮、纸风车 (2)旋转要明确绕点,角度和方向。 (3)长方形绕中点旋转180度与原来重合,正方形绕中点旋转90 度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。 旋转的性质 (1)图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定 角度的位置移动; (2)其中对应点到旋转中心的距离相等; (3)旋转前后图形的大小和形状没有改变; (4)两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转 角 (5)旋转中心是唯一不动的点。 3、对称和旋转的画法:旋转要注意:顺时针、逆时针、度数 第二单元因数和倍数 1、整除:被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数
2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另 一个图形的变化较做旋转，定点 O 叫做旋转中心，旋转的角度叫做 旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。 （1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车 （2）旋转要明确绕点，角度和方向。 （3）长方形绕中点旋转 180 度与原来重合，正方形绕中点旋转 90 度与原来重合。等边三角形绕中点旋转 120 度与原来重合。 旋转的性质： （1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定 角度的位置移动； （2）其中对应点到旋转中心的距离相等； （3）旋转前后图形的大小和形状没有改变； （4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转 角； （5）旋转中心是唯一不动的点。 3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数 第二单元 因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数
整数与自然数的关系:整数包括自然数。 2、因数、倍数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍数,小数是 大数的因数。 例:12是6的倍数,6是12的因数。 (1)数a能被b整除,那么a就是b的倍数,b就是a的因数。 因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。 (2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的 因数是它本身。 一个数的因数的求法:成对地按顺序找。 (3)一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法:依次乘以自然数。 (4)2、3、5的倍数特征 1)个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。 2)一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 3)个位上是0或5的数,是5的倍数。 4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两 位数是90,最小的三位数是120。 同时满足2、3、5的倍数,实际是求2×3×5=30的倍数。 5)如果一个数同时是2和5的倍数,那它的个位上的数字一定是 3、完全数:除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完 全数
整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是 大数的因数。 例：12 是 6 的倍数，6 是 12 的因数。 （1）数 a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。 因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的 因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 （4）2、3、5 的倍数特征 1） 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。 2）一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 3）个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。 4）能同时被 2、3、5 整除（也就是 2、3、5 的倍数）的最大的两 位数是 90，最小的三位数是 120。 同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求 2×3×5=30 的倍数。 5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完 全数
如:6的因数有:1、2、3(6除外),刚好1+2+3=6,所以6是完 全数,小的完全数有6、28等 4:自然数按能不能被2整除来分:奇数、偶数。 奇数:不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、 9的数。 偶数:能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、 2、4、6、8的数。 最小的奇数是1,最小的偶数是0 关系:奇数+、-偶数=奇数 奇数+、-奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。 5、自然数按因数的个数来分:质数、合数、1、0四类。 质数(或素数):只有1和它本身两个因数。 合数:除了1和它本身还有别的因数(至少有三个因数:1、它本 身、别的因数)。 1:只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。 最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。 20以内的质数:有8个(2、3、5、7、11、13、17、19) 100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83 89、97
如：6 的因数有：1、2、3（6 除外），刚好 1+2+3=6，所以 6 是完 全数，小的完全数有 6、28 等 4：自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被 2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是 1、3、5、7、 9 的数。 偶数：能被 2 整除的数叫偶数（0 也是偶数），也就是个位上是 0、 2、4、6、8 的数。 最小的奇数是 1，最小的偶数是 0. 关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类。 质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。 合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本 身、别的因数）。 1： 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、 89、97
100以内找质数、合数的技巧 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数,是的就是合数,不是的就 是质数。 关系:奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数 6、最大、最小 A的最小因数是:1; A的最大因数是:A; A的最小倍数是:A; 最小的自然数是:0; 最小的奇数是:1; 最小的偶数是:0; 最小的质数是:2; 最小的合数是:4。 7、分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数(一个合数写成几个质数相乘的形式)。 比如:30分解质因数是:(30=2×3×5) 8、互质数:公因数只有1的两个数,叫做互质数。 两个质数的互质数:5和7 两个合数的互质数:8和9 一质一合的互质数:7和8 两数互质的特殊情况:
100 以内找质数、合数的技巧： 看是否是 2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就 是质数。 关系：奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数 6、最大、最小 A 的最小因数是：1； A 的最大因数是：A； A 的最小倍数是：A； 最小的自然数是：0； 最小的奇数是：1； 最小的偶数是：0； 最小的质数是：2； 最小的合数是：4。 7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。 比如：30 分解质因数是：（30=2×3×5） 8、互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数：5 和 7 两个合数的互质数：8 和 9 一质一合的互质数：7 和 8 两数互质的特殊情况：
(1)1和任何自然数互质; (2)相邻两个自然数互质; (3)两个质数一定互质; (4)2和所有奇数互质; (5)质数与比它小的合数互质; 9、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的 最大公因数。 用短除法求两个数或三个数的最大公因数(除到互质为止,把所有 的除数连乘起来) 几个数的公因数只有1,就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时,那么较小的数就是它们的最大公因数。 如果两数互质时,那么1就是它们的最大公因数。 10、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的 最小公倍数。 用短除法求两个数的最小公倍数(除到互质为止,把所有的除数和 商连乘起来) 用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止,把所有的除 数和商连乘起来) 如果两数是倍数关系时,那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时,那么它们的积就是它们的最小公倍数
⑴1 和任何自然数互质； ⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质； ⑷2 和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质； 9、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的 最大公因数。 用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有 的除数连乘起来） 几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。 如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数。 10、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的 最小公倍数。 用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和 商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除 数和商连乘起来） 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数
11、求最大公因数和最小公倍数方法 用12和16来举例 1、求法一:(列举求同法) 最大公因数的求法: 12的因数有:1、12、2、6、3、4 16的因数有:1、16、2、8、4 最大公因数是4 最小公倍数的求法 12的倍数有:12、24、36、48、… 16的倍数有:16、32、48、 最小公倍数是48 2、求法二:(分解质因数法) 12=2×2×3 16=2×2×2×2 最大公因数是 2×2=4(相同乘) 最小公倍数是: 2×2×3×2×2=48(相同乘×不同乘) 第三单元长方体和正方体
11、求最大公因数和最小公倍数方法 用 12 和 16 来举例 1、求法一：（列举求同法） 最大公因数的求法： 12 的因数有：1、12、2、6、3、4 16 的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是 4 最小公倍数的求法： 12 的倍数有：12、24、36、48、… 16 的倍数有：16、32、48、… 最小公倍数是 48 2、求法二：（分解质因数法） 12=2×2×3 16=2×2×2×2 最大公因数是： 2×2=4（相同乘） 最小公倍数是： 2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘） 第三单元 长方体和正方体
1、由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体 图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶 点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽 高 长方体特点 (1)有6个面,8个顶点,12条棱,相对的面的面积相等,相对 的棱的长度相等。 (2)一个长方体最多有6个面是长方形,最少有4个面是长方形, 最多有2个面是正方形。 2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立 方体)。 正方体特点 (1)正方体有12条棱,它们的长度都相等。 (2)正方体有6个面,每个面都是正方形,每个面的面积都相等。 (3)正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体,它是一种特殊的 长方体 3、长方体、正方体有关棱长计算公式 长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4=长×4+宽×4+高×4 L=(a+b+h)×4 长=棱长总和÷4-宽一高 宽=棱长总和÷4—长一高
1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体 图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶 点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、 高。 长方体特点： （1）有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对 的棱的长度相等。 （2）一个长方体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形， 最多有 2 个面是正方形。 2、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立 方体）。 正方体特点： （1）正方体有 12 条棱，它们的长度都相等。 （2）正方体有 6 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。 （3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的 长方体。 3、长方体、正方体有关棱长计算公式： 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h 宽=棱长总和÷4－长 －高
b=L÷4-a-h 高=棱长总和÷4一长一宽 h=L÷4-a-b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 无底(或无盖) 长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2 S=2ab+ah+bh)-ab S=2(ah+bh)+ab 无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2 S=2(ah+bh) 贴墙纸 正方体的表面积=棱长×棱长×6S=a×a×6用字母表示:S=6a2 生活实际 油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面 水管、烟囱等都只有4个面
b=L÷4－a－h 高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 4、长方体或正方体 6 个面和总面积叫做它的表面积。 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh） 无底（或无盖） 长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab 无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh） 贴墙纸 正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示：S= 6a2 生活实际： 油箱、罐头盒等都是 6 个面 游泳池、鱼缸等都只有 5 个面 水管、烟囱等都只有 4 个面
注意1:用刀分开物体时,每分一次增加两个面。(表面积相应增 加) 注意2:长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩 大倍数的平方倍。 (如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。 5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高V=abh 长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽hV÷a÷b 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a3 读作“a的立方”表示3个a相乘,(即a·a·a) 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 用字母表示:VvSh(横截面积相当于底面积,长相当于高)。 注意:一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不一定相 等 6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的容 积 固体一般就用体积单位,计量液体的体积,如水、油等。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml
注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增 加） 注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩 大倍数的平方倍。 （如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。 5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a = a3 读作“a 的立方”表示 3 个 a 相乘，（即 a·a·a） 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。 注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相 等。 6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容 积。 固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成 L 和 ml