小波的生成方法 已知双尺度序列{h},求尺度函数g(x)的方法 l。由双尺度方程:(x)=∑(2x-k) (显然,解此函数方程是非常困难的。)
小波的生成方法 显然，解此函数方程是非常困难的。） 。 由双尺度方程： 已知双尺度序列 ，求尺度函数 的方法。 ( 1 ( ) (2 ) { } ( ) = − k k k x h x k h x
2。利用双尺度方程的频域形式: 由(O) 取的标准形式:(0)=1 )∏IH() 2丌
+ − + = + = + = = = = x H e d H H H H H i x j j j j j j 1 1 1 ) 2 ( 2 1 ( ) ) 2 ˆ( ) ( ˆ(0) 1 ) ˆ(0) 2 ( ) 4 ) ˆ( 4 ) ( 2 ( ) 2 ) ˆ( 2 ˆ( ) ( 2 ＝ ＝ 取 的标准形式： ＝ 由 。 利用双尺度方程的频域形式：
3。定义算子:T(f(x)=∑hf(2x-k) 则,尺度函数是算子T的不动点 (即:满足7(f(x)=f(x)的函数f(x)) 在一定的条件下,我们可以用迭代算法计算算子 的不动点。 令g(x)=7(n1(x)=∑hqn1(2x
= = − = − − − k n n k n k k x T x h x k T f x f x f x T T f x h f x k ( ) ( ( )) (2 ) ( ( )) ( ) ( ) 3 ( ( )) (2 ) 令 1 1 的不动点。 在一定的条件下，我们可以用迭代算法计算算子 （即：满足 ＝ 的函数 。） 则，尺度函数是算子 的不动点。 。 定义算子：
当T是连续算子,q(x)→>0(x)时, 我们有: Po(x)=lim (x)=lm Tpm-(x) n→00 n→ =7(mn-1(x)=7(0(x) 困难: (1)迭代的收敛性 (2)迭代的初始函数的选取
（ ） 迭代的初始函数的选取。 （） 迭代的收敛性。 困难： ＝ 我们有： 当 是连续算子， 时， 2 1 (lim ( )) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 T x T x x x T x T x x n n n n n n n = = = → − → − → →
当{h}是一个有限脉冲响应滤波器时,这种方法 就得到简化。 n(x)=∑hgn1(2x-k) 如果我们选取适当的q(x),还可以使o(x)具有 紧支集 若sup((x)=[0,4 则:supp(91(x)=[0,=(A+L)=[0 (A+L L A+L sup(2(x)=[0,( 2)+D)=1Q(4+(2 supp(o,(x)=[o (A+(2”-1)L 2
], 2 ( (2 1) ) sup ( ( )) [0, ], 2 ( (2 1) ) )] [0, 2 ( 2 1 sup ( ( )) [0, ], 2 ( ) ( )] [0, 2 1 sup ( ( )) [0, sup ( ( )) [0, ], ( ) ( ) ( ) (2 ) { } 2 2 2 1 0 0 0 1 n n n L k n k n k A L p x A L L A L p x A L p x A L p x A x x x h x k h + − = + − + = + = + = + = = = − = − 则： 若 紧支集。 如果我们选取适当的 ，还可以使 具有 就得到简化。 当 是一个有限脉冲响应滤波器时，这种方法
当n→>∞,O,(x)→>(x) sup p(o(x=[o,li 特别地,我们可以取(x)为二阶B样条函数。 2-x1<x≤2 N2(x)={x0≤x≤ 0其他 012
− = = → → 其他 特别地，我们可以取 为二阶 样条函数。 当 0 0 1 2 1 2 N ( ) ( ) _ sup ( ( )) [0, ] , ( ) ( ) 2 0 x x x x x x B p x L n x x n 0 1 2
具有紧支集的正交规范小波基的生成 ■从前面的讨论可知,当双尺度序列只有 有限项非零时,其尺度函数可能有紧支 集 ■反过来,如正交尺度函数有紧支集,则 双尺度序列则必是只有有限项非零
具有紧支集的正交规范小波基的生成 ◼ 从前面的讨论可知，当双尺度序列只有 有限项非零时，其尺度函数可能有紧支 集。 ◼ 反过来，如正交尺度函数有紧支集，则 双尺度序列则必是只有有限项非零
当q(x-k)是规范正交基时,我们有 k= =|0(x)0(2x-k
+ − = − = − − x x k dx h x x k x k k ( ) (2 ) ( ), (2 ) ( ) 当 是规范正交基时，我们有
生成方法的研究起点: ■紧支集<{}只有有限个非零,且为实数 正交 H(O)+|H(a+n)=1 ■规范(0)=
生成方法的研究起点： ◼ 紧支集 ◼ 正交 ◼ 规范 {hk }只有有限个非零，且为实数。 ( ) ( ) 1 2 2 H + H + = ˆ(0) =1
汪 ■在前面的三个条件中,最重要的是正交 性条件 H(O)2+H(D+z)2 这个条件又被称为精确重建条件
注： ◼ 在前面的三个条件中，最重要的是正交 性条件。 这个条件又被称为精确重建条件。 ( ) ( ) 1 2 2 H + H + =