小波采样定理 在 Mallat算法中,我们处理的对象是/(x) f(x)=∑c0(2x-k) 我们的输入数列应该是{ck} 但在实际应用中,我们往往得到的是(x) 的离散样本{f()}。由此产生的问题是:
小波采样定理 的离散样本 。由此产生的问题是： 但在实际应用中，我们往往得到的是 我们的输入数列应该是 。 在 算法中，我们处理的对象是 )} 2 { ( ( ) { } ( ) (2 ) ( ) N N N k k N N N k N k f f x c f x c x k Mallat f x = −
k (1){ck}={f() (2)如果二者不相等,则怎样由{f()} 去得到{ck} (3)二者的联系?
（ ） 二者的联系？ 去得到 。 如果二者不相等，则怎样由 （） ＝ ？ 3 { } )} 2 (2) { ( )} 2 1 { } { ( N k N N N k c k f k c f
f(x)是带宽为2m的信号时,由仙农 采样定理,有: 1(x)=∑/()5mx(2x-6) 2丌(2x-k) 此时,ck}={(N)
)} 2 { } { ( (2 ) sin (2 ) ) 2 ( ) ( ( ) 2 N N N k k N N N N N k c f x k k x k f x f f x 此时， ＝ 采样定理，有： 当 是带宽为 的信号时，由仙农 − − =
当尺度函数不是snc(x),而是q(x)时,有 N k f()0p(2x-k =∑ n、Sinx(2x-n) o(2 ydb -0n 2(2x-n) =2( 丌(2x-n) T(2x-n) o(2 x-k do ∑ n、(siz(2x-n) 2 x-k )d +∞0 E/(ONsin c(m)p(x+(n-k)dx ∑f( a(n k
) ( ) 2 ( sin ( ) ( ( )) ) 2 1 )( 2 ( (2 ) (2 ) sin (2 ) ) 2 ( (2 ) (2 ) sin (2 ) ) 2 ( (2 ) (2 ) sin (2 ) ) 2 ( ) (2 ) 2 ( , (2 ) sin ( ) ( ) n k n f c x x n k dx n f x k dx x n n x n f x k dx x n n x n f x k dx x n n x n f x k dx x f c f x k c x x n N N n N N N N n N N N N n N N n N N N N N N N N N k = − = + − − − − = − − − = − − − = = − = − + − + − + − + − + − 当尺度函数不是 ，而是 时，有
由上面的讨论,实际上,当f(x)是有限带宽时, ck}可以当作f()的一种加权和。 但是,对一般的多尺度分析,我们又该 如何处理?
可以当作 的一种加权和。 由上面的讨论，实际上，当 是有限带宽时， )} 2 { } { ( ( ) N N k k c f f x 如何处理？ 但是，对一般的多尺度分析，我们又该
思考当f(x)是有限带宽时,我们可以有: k f(xN)→{ck 其本质在于我们有: f(x)=∑f() k、Sia(2x-k) 2丌(2Nx-k) k 即,f(x)可以由f()重建
即， 可以由 重建。 其本质在于我们有： 思考当 是有限带宽时，我们可以有： )} 2 ( ) { ( (2 ) sin (2 ) ) 2 ( ) ( )} { } 2 { ( ( ) N k N N N N N k k f x f x k k x k f x f c k f f x − − =
对于一般的尺度函数(x),若能找到S(x) 使: f(x)=∑f(k)S(x-k)vf∈ 则由 f(x)=∑c(x-k)Vf∈V 我们就可以由{f(k)得到{c
我们就可以由 得到 。 则由 使： 对于一般的尺度函数 若能找到 { ( )} { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 0 0 0 k k k k f k c f x c x k f V f x f k S x k f V x S x = − = −
此时,小波的采样问题被转换为: 什么小波能由φ(x)构造出S(x) 或者,这样的小波应该有什么特征
或者，这样的小波应该有什么特征。 什么小波能由 构造出 。 此时，小波的采样问题被转换为： (x) S(x)
Gilbert g, walter的采样定理: A Sampling Theorem for Wavelet Subspaces” (论文发表在 IEEE,Trans. Information Theory, Vol 38, No 2, 1992, pp881-884) 在这篇论文中, Walter给出了 S(X)存在的一个充分条件
Gilbert G.Walter的采样定理： “A Sampling Theorem for Wavelet Subspaces” （论文发表在 IEEE.Trans.,Information Theory,Vol.38,No.2,1992,pp881-884) 在这篇论文中，Walter给出了 S(x)存在的一个充分条件
定理: 设是多尺度分析的尺度函数,且满足: (1)(x)=O(x)x→>,6>0 ∑(k)l≠0O k∈Z 则存在S(x对任意的f∈V2有 f(x)=∑f(k)S(x-k)
定理： + =− − − − = − = = → k k Z i k f x f k S x k S x f V k e x O x x ( ) ( ) ( ) ( ), , (2) ˆ ( ) ( ) 0 1 ( ) (| | ) , 0 0 * 1 则存在 对任意的 有 （） 设 是多尺度分析的尺度函数，且满足：