小波包分解
小波包分解
各种变换的适合处理对象: 小波变换 加窗 Fourier变换 Fourier变换 (1)处理突变信 (1)处理渐变信 (1)处理稳定和 号或具有孤立奇异 号 渐变信号。 性的函数。 (2)实时信号处 (2)实时信号处 (2)自适应信号 理 理 处理
各种变换的适合处理对象： 小波变换 加窗Fourier变换 Fourier变换 （1）处理突变信 号或具有孤立奇异 性的函数。 （2）自适应信号 处理。 （1）处理渐变信 号。 （2）实时信号处 理。 （1）处理稳定和 渐变信号。 （2）实时信号处 理
wb(x) eU-、b 0
小波变换对频域的分解情况
小波变换对频域的分解情况
小波包分解:对信号高频部分的再分解 小波分解:=…W1W④W+ H G U. OU j,2
小波包分解：对信号高频部分的再分解 U j,1 U j,2 小波分解： L 2 =Wj−1 Wj Wj+1 H G
小波包的定义: 设(x)和v(x)分别是尺度函数和小波函数, V0(x)=0(x)v1(x)=v(x) v2(x)=∑h(2x-k) k=-00 21(x)=∑g(2x-k) k=-00 定义的函数n}称为关于尺度函数(x)的 小波包
小波包的定义： 小波包。 定义的函数 称为关于尺度函数 的 （ （ 令 ＝ ＝ 设 和 分别是尺度函数和小波函数， { } ( ) ( ) 2 ) ( ) 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 1 x x g x k x h x k x x x x x x n k l k l k l k l + =− + + =− = − = −
设0(x)和v(x)分别是尺度函数和小波函数, 令v0(x)=(x)v1(x)=v(x) (x)=∑hv2(2x-k) k=-00 (x)=∑g2(2x-k) k 定义的函数{vn}称为关于尺度函数q(x)的 缩短小波包
缩短小波包。 定义的函数 称为关于尺度函数 的 （ （ 令 ＝ ＝ 设 和 分别是尺度函数和小波函数， { } ( ) ( ) 2 ) ( ) 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 0 1 x x g x k x h x k x x x x x x n k k k k l l l l + =− + + =− = − = − − −
0.5 0.5 -1
小波包函数的 Fourie变换: 设n的二进制表示为 n=∑2 ∈{0,1} 当2≤nS+ 1(0)=H(o)P()=G(o) 则 s+1 )=IP(e2)
小波包函数的Fourier变换： + = − + = − = = = + = + = 1 1 / 2 0 1 1 1 1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 2 2 2 {0,1} s j i n j s s j j j j j j P e P H P G j s j s n n n 则： ＝ 当 时，我们有 设 的二进制表示为：
证明: 由小波包的双尺度关系式,两边作 Fourier变换 2/()=H(O)y1()=1(0V 21(0)=G(o)(①)=P(02 递推下去即可
证明： 递推下去即可。 由小波包的双尺度关系式，两边作 变换： ) 2 ) ( ) ˆ ( 2 ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) 2 ) ( ) ˆ ( 2 ˆ ( ) ( ) ˆ ( 2 1 1 2 0 l l l l l l G P H P Fourier = = = = +