电子科技大学：《电磁场与波》第三章（3.1）真空中静电场的基本方程

31真空中静电场的基本方程 亥姆霍兹定理告诉我们:矢量场的散度和旋度决定其性质, 因此,静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式s 、真空中静电场的散度高斯定理 真空中静电场的散度 可以证明:真空中静电场的散度为 0 F处无电荷 v()=1pr) F处电荷密度为p(F) 静电场高斯定理微分形式 说明:1)电场散度仅与电荷分布相关,其大小∞p( 2)对于真空中点电荷,有 VE()=0或VE(r)

3.1 真空中静电场的基本方程 亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质， 因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。 一、真空中静电场的散度 高斯定理 可以证明：真空中静电场的散度为 0 0 ( ) ( ) ( ) r E r r r r       =    处无电荷 处电荷密度为 静电场高斯定理微分形式 说明：1)电场散度仅与电荷分布相关，其大小  ( )r 2）对于真空中点电荷，有  = E r( ) 0 0 ( ) q E r  或  = 真空中静电场的散度

■真空中静电场的高斯定理 将高斯定理微分形式对一定体积V积分,则得 v.GM=』m=E(S=1 0小0(Fkl= E(rods 静电场中的高斯定理 式中:S为高斯面,是一闭合曲面, Q为高斯面所围的电荷总量。 对高斯定理的讨论 物理意义:静电坜穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围 电荷量有关。 静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场 无电荷处,源的强度(散度)为零,但电场不一定为零

物理意义：静电场 穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围 电荷量有关。 静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零 将高斯定理微分形式对一定体积V积分，则得： 0 ( ) ( ) V V r E r dV dV    =   0 0 1 ( ) ( ) S V Q E r dS r dV     = =   E 0 ( ) S Q E r dS   =  式中：S为高斯面，是一闭合曲面， Q为高斯面所围的电荷总量。  静电场中的高斯定理 真空中静电场的高斯定理 对高斯定理的讨论

二、真空中静电场的旋度环路定律 B E·d iCOr e dR R 4丌EoRs R24丌Ea(R,R 当A点和B点重合时: E/=0静电场不路定律积分形式 斯托克斯公式 V×Er)=0 对环路定理的讨论 物理意义:在静电场中将单位电荷沿任一閉合路径移动一周, 静电力做功为零静电场为保守场。 静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡源,电力线不构成 闭合回路

二、真空中静电场的旋度 环路定律  = E r( ) 0 当A点和B点重合时： 物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周， 静电力做功为零——静电场为保守场。 静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成 闭合回路 0 C E dl =  2 0 2 0 0 4 1 1 4 4 B A r l l R R A B q e dl E dl R q dR q R R R       =   = = −        q A B RA RB l 斯托克斯公式 对环路定理的讨论 静电场环路定律积分形式

=真空中静电场性质小结: 微分形式 积分形式 VE(r=P(r) E(r).ds V×E(F)=0 ∮E()=0 静电场性质:是一种有源无旋场,是保守场。 静电场的源:电荷 讨论:对静电场,恒有: V×E(r)≡0 V×(VΦ)=0→E=VΦ为标量函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示

真空中静电场性质小结： 微分形式 0 ( ) ( ) ( ) 0 r E r E r      =     =  0 ( ) ( ) 0 S C Q E r dS E r   =    =    积分形式 静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。 静电场的源：电荷 讨论：对静电场，恒有：   E r( ) 0    ( ) 0  =  E 为标量函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示

补充内容:利用高斯定理求解静电场 E(rods p(r) 求解的关键:高斯面的选择。 高斯面的选择原则: 1)场点位于高斯画上; 2)高斯面为闭合面; 3)在整个或分段高斯面上,E或EdS为恒定值。 只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则,因此用 高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统

0 0 1 ( ) ( ) S V Q E r dS r dV    = =   求解的关键：高斯面的选择。 高斯面的选择原则： 只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用 高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。 1）场点位于高斯面上； 2）高斯面为闭合面； 3）在整个或分段高斯面上， E 或 E dS 为恒定值。 补充内容：利用高斯定理求解静电场

例求电荷密度为p的无限大面电荷在空间中产生的电场 分析:电场方向垂直表面。在平行电 荷面的面上大小相等。 E 解:取如图所示高斯面。 由高斯定律,有 E(r)ds E →B1(F)S+E2()(-:S=3 28 (二>0) →E= ∴.E 28 28 (二<0)

例 求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的电场 x y z E E 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有 0 ( ) S Q E r dS  =  1 2 0 ( ) ( ) ( ) s z z S E r e S E r e S    + − = 0 2 s E    = 0 0 ( 0) 2 ( 0) 2 s z s z e z E e z         =  −   分析：电场方向垂直表面。在平行电 荷面的面上大小相等。 S n n n

例求无限长线电荷在真空中产生的电场。 分析:电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。 解:取如图所示高斯面。 由高斯定律,有 E(r)ds →E()(2xr1e)= E= 2er

求无限长线电荷在真空中产生的电场。 E 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有 0 ( ) S Q E r dS  =  0 ( ) (2 ) l r l E r rl e       = 0 2 l E er r     =  分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。 r 例

2)解为球坐标系下的表达形式。 )(r2a)「0(r≥a) 4丌Er V·E= r OI iGO 4ea 0 VE= 30 4e a V×V( ∴V×E= 0 V×r 4丌Ea

2）解为球坐标系下的表达形式。 2 0 3 0 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 r r Q e r a r E Qr e r a a            =      2 2 3 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) 4 r a Qr r r a r r a      =        3 0 0 0 3 4 E Q a        = =    3） 0 3 0 1 ( ) 4 0 4 Q r E Q r a      −       = =     

例半径为a的球形带电体,电荷总量Q均匀分布在球体内。 求:(1)E(F)(2)VE(P) (3)V×E 分析:电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。 解:1)取如图所示高斯面。 在球外区域:r≥a E C(rods E →E()(4x2e)=→E=Q E 4Ter 在球内区域:r≤a O30 E(r)°dS O E(F)(4xr2·) v 4Ta S Or →E 4丌E

a 解：1) 取如图所示高斯面。 在球外区域：ra 0 ( ) S Q E r dS  =  2 0 ( ) (4 ) r Q E r r e     = 2 0 4 r Q E e  r  =  分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。 半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。 求：（1） （2） （3） E r( )  E r( )   E r( ) 在球内区域：ra r r 0 ( ) S Q E r dS  =  3 2 0 4 3 ( ) (4 ) r r E r r e        = 3 0 4 r Qr E e  a  =  3 3 4 Q Q V a   = = 例