4.1边值问题的唯一性定理 、边值问题 嶂°边值问题是指存在边界面的电磁问题 根据给定边界条件对边值问题分类: >第一类边值问题:已知电位函数在全部边界面上的分布值。 >第二类边值问题:已知函数在全部边界面上的法向导数。 f 第三类边值问题(混合边值问题):已知一部分边界面上的函 数值,和另一部分边界面上函数的法向导数。 0)l=f1 f2 an\s, +s
4.1 边值问题的唯一性定理 一、边值问题 边值问题是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： ➢ 第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。 ➢ 第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。 S = f S f n = 2 2 S f n = ➢ 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函 数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。 1 S 1 = f 1 2 S S S = +
唯一性定理 唯一性定理内容:在场域V的各边界面S上给定电位0m 的值,则泊松方程或拉善拉斯方程在场域W内的解唯一。 说明:若对同一面积,同时给定和的值,则不存在唯一解。 唯一性定理的意义: ◆指岀了静态场边值问题具有唯一解的条件 →为静态场边值问题求解方法提供了理论依据,为结果正确性提 供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论依 据
二、唯一性定理 唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。 n 说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。 n 唯一性定理的意义： 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提 供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依 据
42直角坐标系中的分离变量法 问题:如图所示无限长金属导体槽,其顶y↑ 面电位为u,其余三面接地,求导体槽内 电位分布。 b 建立求解方程: X 导体槽内为无源区,故电位满足拉普拉斯方程,即a q=0 o=0(0≤y<b) X=a 0(0≤y<b) l。=0(0≤x≤a) =U(0≤x≤a) 用分离变量法求解过程 V=0→ =0 az
4.2 直角坐标系中的分离变量法 建立求解方程： 导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即 2 = 0 0 0 (0 ) x y b = = 0 (0 ) x a y b = = 0 0 (0 ) y x a = = (0 ) y b U x a = = 问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶 面电位为u，其余三面接地，求导体槽内 电位分布。 x y a b = u 用分离变量法求解过程： 2 = 0 222 2 2 2 0 x y z + + = = 0
很明显,为x,y的函数。则可令 p(x,y)=X(x). Y() 代入方程得 r(y) d X(x+X( d-Y() d-x() dr( X(x) Y(y)d2=0 1 d'X(x)1 dy() X(x) dx y 1 d-X(x) X(x)dx 仅为x坐标函数 yo dy 仅为y坐标函数
很明显， 为x,y的函数。则可令 ( , ) ( ) ( ) x y X x Y y = 代入方程得 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d X x d Y y Y y X x dx dy + = 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) d X x d Y y X x dx Y y dy + = 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) d X x d Y y X x dx Y y dy = − 2 2 1 ( ) ( ) d X x X x dx 2 2 1 ( ) ( ) d Y y Y y dy − 仅为x坐标函数 仅为y坐标函数
要使对任意x,y两式相等,则须两式均为常数。令 d-X(x) 1 dY( k X(x dx y() dy 分离常数 1aY(y)=3>/a2 I d-X(x) d-x(x) X(x)dx k(x)=0 d2Y(y)-k2y(y)=0 Y(y 通过引入分离常数k,将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微 分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。 解常微分方程(k取值不同解形式不同) 当k=0时: X(x)=Ax+B ()=Coy+D A,B3C0,D待定
要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) d X x d Y y k X x dx Y y dy = − = − 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) d X x k X x dx d Y y k Y y dy = − = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 d X x k X x dx d Y y k Y y dy + = − = 分离常数 通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微 分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。 解常微分方程（k取值不同解形式不同）： 当k=0时： 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , , , ( ) X x A x B A B C D Y y C y D = + = + 待定
当k≠0时 X(x)=Asin(hx)+ B cos(hx) A,B,C,D待定 Y(=Csh(hy)+ Dch(ky) P=LAsin(hr)+bcos(kx ) i[Csh(ky)+ Dch(ky) 由于三角函数具有周期性,因此解中的分离变量k可以取一系列特定 的值kn(n=1,2,3…),即 P=[A sin(k,x)+B, cos(k, x)[Cnsh(k, y)+Dnch(,y)n=1, 2, 3, 由于拉普拉斯方程是线性方程,因此方程的特解的线性组合仍 然是方程的解。 将所有的特解线性组合起来,得到电位函数的通解。 (Ax+ BoCCoy+Do)+ 2[A, sin(k, x)+B,cos(k, x)ICn sh(k, y)+D, ch(k,y)] 解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定
当k≠0时： ( ) sin( ) cos( ) , , , ( ) ( ) ( ) X x A kx B kx A B C D Y y Csh ky Dch ky = + = + 待定 = + + [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] A kx B kx Csh ky Dch ky 由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以取一系列特定 的值kn(n=1,2,3……），即： [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] 1,2,3, = + + = A k x B k x C sh k y D ch k y n n n n n n n n n …… 由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍 然是方程的解。 将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。 0 0 0 0 ( )( ) [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] n n n n n n n n A x B C y D A k x B k x C sh k y D ch k y = + + + + n=1 ＋ 解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定
q=0 =0(0≤yIA, sin(k, x)+B, cos(k, x)ICn sh(km, 3)+D, ch(kny)] 由条件(1)→B=0,B.=0 由条件(2)→A=0,kn=(n=1,2…) 由条件(3)→D=0 P=2A'n sin(-/x)sh(y)(A, =A,Cn) 由条件(4) l=∑ A sind("x)s(b)
2 = 0 0 0 (0 ) (1) x y b = = 0 (0 ) (2) x a y b = = 0 0 (0 ) (3) y x a = = (0 ) (4) y b U x a = = x y a b = u 0 0 0 0 ( )( ) [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] n n n n n n n n A x B C y D A k x B k x C sh k y D ch k y = + + + + n=1 ＋ 由条件（1） 0 0, 0 = = B B n 由条件（2） 0 0, ( 1,2, ) n n A k n a = = = 由条件（3） 0 = D n ' ' sin( ) ( ) ( ) n n n n n n A x sh y A A C a a = = n=1 由条件（4） ' sin( ) ( ) n n n u A x sh b a a = n=1
将u在(0,a)区间展开为sin(x)傅立叶级数 ∑/nsi =1 4u n=1,3,5. 0n=2.4.6. sh(b) 所以,接地导体槽内部电位分布为 4u n=1,3, dP2(nb sin( )sh(m)
sin( ) n n u f x a = n=1 将u在（0，a)区间展开为 sin( ) 傅立叶级数 n x a 0 4 2 1,3,5... sin 0 2,4,6... a n u n x n f u dx n a a n = = = = ' ( ) n n f A n sh b a = 所以，接地导体槽内部电位分布为 4 1 sin( ) ( ) ( ) u n x n y sh n b a a nsh a = n=1,3
4.3镜像法 ■几个实例: °求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 非均匀感应电荷●q 非均匀感应电荷产生 电位很难求解,可以 等效电荷 等效电荷的电位替代 接地导体球附近有一个点电荷,如图。 等效电荷 q 非均匀感应电荷产生的 q 电位很难求解,可以用 等效电荷的电位替代 工 非均匀感应电荷
4.3 镜像法 几个实例： q q′ 非均匀感应电荷 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 q 非均匀感应电荷 q′ 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
■镜像法原理 →镜像法的目的:把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为 无限大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的. 镜像法基本思路:在求解域外的适当位置,放置虚拟电荷等效 替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用,取消 分界面的存在。 →镜像法理论依据:唯一性定理。 由唯一性定理:满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是 相同的,所以引入像电荷(等效电荷)后,应该有 ●电位函数仍然满足原方程(拉氏方程或泊松方程) 电位分布仍满足原边界条件 镜像电荷位置选择原则 镜像电荷必须位于求解区域以外 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件
镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为 无限大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的. 镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效 替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消 分界面的存在。 镜像法原理 镜像法理论依据：唯一性定理。 由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是 相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 镜像电荷位置选择原则： ➢ 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 ➢ 镜像电荷必须位于求解区域以外
