32电位函数 、电位函数与电位差 电位函数 V×E≡0 →E可由一标量函数表示。 V×(Vφ)≡0 00 引入电位函数:E=V0 关于电位函数的讨论 电位函数为电场的辅助函数,是一个标量函数; 喻“表示电场指向电位减小最快的方向 Es、0D 000q
3.2 电位函数 一、电位函数与电位差 电位函数 0 ( ) 0 E 电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中 E e e e x y z x y z = − − − 引入电位函数 ： E = − E 可由一标量函数表示。 关于电位函数的讨论
电位差(电压 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算 al E B 为o增加最快的方向 000 E al e1→d(=-Eedl A →△Q AB=B-94天 E E JA B 电场空间中两点间电位差为 PB-=Edl 盛关于电位差的说明 →意义:A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过 程中电场力所作的功。 啼两点间电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与积分路径无 关
l l e e l = 为 增加最快的方向 电场空间中两点间电位差为： E el l = − 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算： = − d E dl A E B B A A B B A A B = − = − = → E dl E dl A B A B − = E dl 意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过 程中电场力所作的功。 两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无 关 电位差（电压） 关于电位差的说明
电位参考点 显然,电位函数g不是唯一确定的,可以加上任意一个常数仍表 示同一个电场,即 设=q+C≠q→E=-Vq=V(q+C=Vp 为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点 且令参考点的电位为零,由于空间各点与参考点的电位差为确定值 所以该点的电位也就具有确定值,即 选参考点今参考点电位为零电位确定值(电位差) 两点间电位差有定值 选择电位参老点的原则 应使电位表达式有意义 →应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点 电位参考点电位一般为0
电位参考点 显然，电位函数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表 示同一个电场，即 设 = + = − = − + − C C E ( ) = 为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点， 且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值， 所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差) 两点间电位差有定值 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点 电位参考点电位一般为0； 选择电位参考点的原则:
电位函数的求解 ■"点电荷的电位 E 4兀Enr +)E,d E E·d= B 47ey·C=、 g o q 4Eo rp r 选取Q点为电位参考点,则o=0 p-4丌EoTp 若电位参考点Q在无穷远处,即r>9则: p(r) 8点电荷在空间中产生的电位 4e 说明:若电荷分布在有限区域,一般选择无穷远点为电位参考点
二、电位函数的求解 点电荷的电位 O q E P Q l 2 0 4 r q E e r = Q P Q P − = E dl ' ' ( ) P Q P P = + E dl 2 ' 0 4 Q r P q e dr r = 0 1 1 ( ) 4 P Q q r r = − 0 1 1 ( ) 4 P P Q q r r = − 选取Q点为电位参考点，则 0 Q = 若电位参考点Q在无穷远处，即 Q r → 则： 0 ( ) 4 q r r = 点电荷在空间中产生的电位 P ' 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
■无限长线电荷的电位 E E 2er P P2兀60 (n ro -Nrp) 电位参考点不能位于无穷远点,否则表 达式无意义。 P 根据表达式最简单原则,选取r=1柱面 为电位参考面,即=1得 0=-1n<=无限长线电流在空间中产生的电位
无限长线电荷的电位 E P 2 0 P' Q l E er r = 0 (ln ln ) 2 l P Q P r r = − 电位参考点不能位于无穷远点，否则表 达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取r=1柱面 为电位参考面，即 1 Q r = 得： 0 ln 2 l P Pr = − 无限长线电流在空间中产生的电位
分布电荷体系在空间中产生的电位 体电荷:(r) 1 p(r 4丌a R 面电荷:(r) sds+c 式中:R 4丌 C JS R 线电荷:q(r)= 1 rdv+C 4丌E R 说明:若参考点在无穷远处,则c=0。 童 引入电位函数的意义: 简化电场的求解!在某些情况下,直接求解电场强度很困 难,但求解电位函数则相对简单,因此可以通过先求电位函数, 再E=美得到电场解。 4<p
体电荷： 0 1 ( ') ( ) 4 V r r dV c R = + 面电荷： 0 1 ( ') ( ) 4 s S r r dS c R = + 线电荷： 0 1 ( ') ( ) 4 l l r r dV c R = + 式中： R r r = − ' 说明：若参考点在无穷远处，则c=0。 引入电位函数的意义： 简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困 难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数， 再 E = −关系得到电场解。 分布电荷体系在空间中产生的电位
例求电偶极子p=ql在空间中产生的电位和电场。 分析:电偶极子定义 电偶极子:由两个相距很近的带等量 异号电量的点电荷所组成的电荷系统 电偶极矩p:p=ql 解:取无限远处为电位参考点。 q P4兀E0T r*=F-7→r=|=v2+1-27os0 ≈-+2COs6(r>7) r:1+2,-2-cos (P4TEO 2 COs0
求电偶极子 p ql = 在空间中产生的电位和电场。 O −q q r r + P r( , , ) l 分析：电偶极子定义 解：取无限远处为电位参考点。 0 1 1 ( ) 4 P q r r + = − r r l + = − 2 2 r r r l rl 2 cos = = + − + + 2 2 1 1 1 2 cos r l l r r r = + + − 2 1 cos ( ) l r l r r + 电偶极子：由两个相距很近的带等量 异号电量的点电荷所组成的电荷系统 电偶极矩 p ： p ql = 2 0 cos 4 P q l r 例
E=-Ve o 06r0 p raine gl cos e. a gle (cos 6) 4丌 4丌Enr300 (2 cos Be, +sin 0ep) 4er
E = − ( ) sin r e e e r r r = − + + 2 3 0 0 cos 1 ( ) (cos ) 4 4 r ql e qle r r r = − − 3 0 (2cos sin ) 4 r ql e e r = − +
例求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和 电场强度 解:在面电荷上取一面元d,如 图所示。 2NP(0=) R 4兀ER4丌E 0 R 二 →0==2(2+a-1a E=-Vo 2-+a az 28
求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和 电场强度 x y z dr r R a P z (0,0, ) 解：在面电荷上取一面元 ，如 图所示。 ds 0 4 dq d R = 2 0 0 a d = 2 2 0 ( ) 2 s z a z = + − 0 ' ' 4 s r dr d R = E = − 2 2 0 ( ) 2 s z e z a z z = − + − 例
例求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和 电场强度 解:在面电荷上取一面元d,如 图所示。 2NP(0=) R 4兀ER4丌E 0 R 二 →0==2(2+a-1a E=-Vo 2-+a az 28
求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和 电场强度 x y z dr r R a P z (0,0, ) 解：在面电荷上取一面元 ，如 图所示。 ds 0 4 dq d R = 2 0 0 a d = 2 2 0 ( ) 2 s z a z = + − 0 ' ' 4 s r dr d R = E = − 2 2 0 ( ) 2 s z e z a z z = − + − 例