§25光波的分析 ■由前述讨论可知: ■1.无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的单色 光波的叠加时,所得到的合成波仍然是单色光波 ■2.两个不同频率的单色光波叠加起来,其结果就不 再是单色波,而是一个复杂波,波形曲线不再是正 弦或余弦曲线。 ■3.上述结果可以推广到三个或三个以上波动的叠加 与合成问题。 4.反过来,任意一个复杂波也可以分解成一组单色 波 本节将讨论复杂波的分析方法,并分别对周期性和 非周期性复杂波两种情况加以讨论
§2-5光波的分析 ◼ 由前述讨论可知： ◼ 1．无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的单色 光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。 ◼ 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果就不 再是单色波，而是一个复杂波，波形曲线不再是正 弦或余弦曲线。 ◼ 3．上述结果可以推广到三个或三个以上波动的叠加 与合成问题。 ◼ 4．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组单色 波。 ◼ 本节将讨论复杂波的分析方法，并分别对周期性和 非周期性复杂波两种情况加以讨论
§25光波的分析 周期性波的分析: 周期性波:接连着的相等的时间和空间内 运动完成重复一次的波。周期性波不一定具有 简谐性。对于这类周期性波可以应用数学上的 傅里叶级数定理: 具有空间周期的函数f(2),可以表示成 些空间周期为的整数倍(即λ,λ/2,^/3.)的 简谐函数之和。其数学形式为 f()=ao+a1c0S(n2+B1)+a2C0("2z+2)+
§2-5光波的分析 一、 周期性波的分析： 周期性波：接连着的相等的时间和空间内 运动完成重复一次的波。周期性波不一定具有 简谐性。对于这类周期性波可以应用数学上的 傅里叶级数定理： 具有空间周期λ的函数f(z)，可以表示成一 些空间周期为λ的整数倍（即λ，λ/2，λ/3…）的 简谐函数之和。其数学形式为 ) . . . . 2 2 ) cos( 2 ( ) cos( = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + f z a a z a z
§25光波的分析 ■或写为f()=a0+a1cosk2+B)+a2cos(2k2+B2)+ 式中a,a1,a2是待定常数,k=2x/为空间角频 率 ■傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式 由三角等式: a cos((nkz+Bn)=A1 cos nkz+ b sin nke 式中A=anc0sB,B=- a, sin B f()=2+2(A, cosnkz+ B, sin nk2) 式(1),(2)通常称为傅里叶级数,而A, An,Bn称为函数f()的傅里叶系数,它们分别为
§2-5光波的分析 ◼ 或写为 ◼ 式中a0，a1，a2是待定常数， k=2π/λ为空间角频 率。 ◼ 傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式。 ◼ 由三角等式： ◼ 式中 ◼ 式（1），（2）通常称为傅里叶级数，而A0， An，Bn称为函数f(z)的傅里叶系数，它们分别为： ( ) cos( ) cos(2 ) (1) 0 1 1 2 2 f z = a + a k z + + a k z + + a nkz A nkz B nkz n n n n cos( + ) = cos + sin An an n = cos Bn an n = − sin ( cos sin ) (2) 2 ( ) 1 0 A nkz B nkz A f z n n n = + + =
§25光波的分析 f(=)d n=2「(=) conk=.c (3) 上式表明:2n-2 f(sin nked= 若f(2)代表一个以空间角频率k沿z方向传播的 周期性复杂波,则经过傅里叶分析,可以分解 成许多振幅不同且空间角频率分别为k,2k, 3k,…的单色波的叠加。即若给定一个复杂波 的函数形式,对他进行傅里叶分析,只需由式 (3)决定它的各个分波的振幅便可
§2-5光波的分析 ◼ 上式表明： ◼ 若f(z)代表一个以空间角频率k沿z方向传播的 周期性复杂波，则经过傅里叶分析，可以分解 成许多振幅不同且空间角频率分别为k，2k， 3k，…的单色波的叠加。即若给定一个复杂波 的函数形式，对他进行傅里叶分析，只需由式 （3）决定它的各个分波的振幅便可。 (3) ( )sin 2 ( )cos 2 ( ) 2 0 0 0 0 = = = B f z nkzdz A f z nkzdz A f z dz n n
§25光波的分析 ■例:如图2-16空间周期为入的矩形波,在 个周期内它可用如下函数表示; f(=)= /2 /2 F()为奇数:则A=0,An=0 B sin nkda 1)sin nkzdz [cos nk=12+[cos nkzl2 H [1-COSnTtI
§2-5光波的分析 ◼ 例：如图2-16空间周期为λ的矩形波，在一 个周期内它可用如下函数表示： ◼ F(z)为奇数：则A0=0，An=0 − + = ) 2 1 ( 2 1 0 ( ) z z f z （ ） z f(z) +1 -1 0 λ/2 λ -λ/2 [1 cos ] 2 [cos ] 1 [ cos ] 1 ( 1)sin 2 sin 2 2 2 0 2 2 0 n n nkz n nkz n B nkzdz nkzdz n = − = − + = + −
§25光波的分析 到B1=4/π,B2=0,B3=4/3兀,B4=0, B5=4/5兀, ■该矩形波的傅里叶级数,或者说这个矩形 波分解成的傅里叶简谐分波为: f(z)=-(sin kz+sin 3kz+=sin 5kz+ ■其中第一项成为基波,它的空间角频率为 k=2π/,空间频率为1/,是基频。第二项 第三项是三次谐波和五次谐波空间频率 m/(m>2)是谐频
§2-5光波的分析 ◼ 得到B1=4/π，B2=0，B3=4/3π，B4=0， B5=4/5π，… ◼ 该矩形波的傅里叶级数，或者说这个矩形 波分解成的傅里叶简谐分波为： ◼ 其中第一项成为基波，它的空间角频率为 k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。 sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 f (z) = k z + k z + k z +
§25光波的分析 ■通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里 叶分析的结果:以横坐标表示空间角频率 纵坐标表示振幅,在对应于振幅不为零的 频率位置引垂线,使其长度等于相应频率 的振幅值。 任何一个周期性复杂波+振幅 的频谱图都是一些 4/ 离散的线谱。所以 周期性复杂波的 4/3 频谱是离散频谱 4/7 k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析 ◼ 通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里 叶分析的结果：以横坐标表示空间角频率， 纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零的 频率位置引垂线，使其长度等于相应频率 的振幅值。 ◼ 任何一个周期性复杂波 的频谱图都是一些 离散的线谱。所以 周期性复杂波的 频谱是离散频谱。 k 振幅 4/π 4/3π 4/5π 4/7π k 3k 5k 7k
§25光波的分析 ■傅里叶级数也可以表示为复数形式 f(=)=∑C,eXp(mnk=) ■其中系数 n=元1() p(-inkz)dz (n=0,+1+2…)(5) 然式(4级数中的每一项也都可以看成为 个单色波,所以式(4式的意义仍然可以理 解为周期性复杂波的分解
§2-5光波的分析 ◼ 傅里叶级数也可以表示为复数形式: ◼ 其中系数 ◼ 显然式(4)级数中的每一项也都可以看成为 一个单色波,所以式(4)式的意义仍然可以理 解为周期性复杂波的分解. ( ) exp( ) (4) =− = n n f z C inkz ( ) exp( ) ( 0, 1, 2 ) (5) 1 2 2 − = − = Cn f z inkz dz n
§25光波的分析 非周期性波的分析 非周期性波不是无限次的重复它的波形而是 存在于一定的有限范围之内,在这个范围 外振动为零,因而显现出波包的形状 此时,由于其周期为无穷大,→>0, 则傅里叶级数→傅里叶积分: ()=∑Ccmk)2)k (6) 2丌 其中:「(=)x(-k=)=A(k) ■称A()为函数f(x)的傅里叶变换(频谱)
§2-5光波的分析 ◼二、非周期性波的分析 ◼非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是 只存在于一定的有限范围之内，在这个范围 外振动为零，因而显现出波包的形状。 ◼此时，由于其周期为无穷大，λ→∞， ◼则傅里叶级数→傅里叶积分： ◼其中： ◼称A(k)为函数f(z)的傅里叶变换(频谱)。 ( )exp( ) (6) 2 1 ( ) exp( ) − f z = C inkz A k ikz dz n f (z) exp(−ikz)dz = A(k) (7) −
§25光波的分析 显然,若f()表示一个波包,则傅里叶积分可 理解为一个波包可以分解成无穷多个频率 连续的、振幅随频率变化、有A(函数关系 的简谐分波,即,一个波包能够由多个这 些单色波合成。 如用示,为一个长度为2L,在2范围内波 的振幅A=常数,空间角频率k=常数,这 种波通常称为波列。↑振幅
§2-5光波的分析 ◼ 显然，若f(z)表示一个波包,则傅里叶积分可 理解为一个波包可以分解成无穷多个频率 连续的、振幅随频率变化、有A(k)函数关系 的简谐分波，即，一个波包能够由多个这 些单色波合成。 ◼ 如用示，为一个长度为2L，在2L范围内波 的振幅A0=常数，空间角频率k0=常数，这 种波通常称为波列。 振幅