s24不同频率的两个 单色光波的叠加 光学拍: 群速度和相速度:
§2-4 不同频率的两个 单色光波的叠加 光学拍： 群速度和相速度：
§24不同频率的两个单色光波的叠加 本节讨论两个在同一方向传播的、振动 方向相同、振幅相等而频率相差很小的 单色波的叠加,这样两个波叠加的结果 将产生光学上有意义的“拍”现象。 光学拍 设频率为ω1、O2的两个单色波沿z轴方 向传播,它们的波函数为: E=acos(k=-O2t) E,=acos(k, 2-o,t)
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 本节讨论两个在同一方向传播的、振动 方向相同、振幅相等而频率相差很小的 单色波的叠加，这样两个波叠加的结果 将产生光学上有意义的“拍”现象。 ◼ 一、光学拍： ◼ 设频率为ω1、ω2的两个单色波沿z轴方 向传播，它们的波函数为： cos( ) 1 1 2 E = a k z − t cos( ) 2 2 2 E = a k z − t
§24不同频率的两个单色光波的叠加 ■合振动(波) E=E1+E2=acos(k12-01)+Co(k2-02D) ■和差化积: E=2acos(k1+k2)2-(1+O2)cos=(k1-k2)2-(01-02) 引入平均角频率⑦,平均波数k: O=(1+2) 2 k==(k1+k2) ■引入调制频率m和调制波数kn k
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 合振动（波） ◼ 和差化积： ◼ 引入平均角频率 ，平均波数 ： ◼ 引入调制频率ω m和调制波数km [cos( ) cos( )] 1 2 1 1 2 2 E = E + E = a k z − t + k z − t [( ) ( ) ] 2 1 [( ) ( )]cos 2 1 2 cos 1 2 1 2 1 2 1 2 E = a k + k z − + t k − k z − − t k ( ) 2 1 = 1 +2 ( ) 2 1 1 2 k = k + k ( ) 2 1 m = 1 −2 ( ) 2 1 1 2 k k k m = −
§24不同频率的两个单色光波的叠加 ■则合波动式可写成: E=2a cos(kz -at)cos(km2-Omt) 令 A=2a cos(km -@m,t) 即合成可别(个频翠为,而振幅受到 调制(随时间和位置在-2a到2a之间变化) 的波 由于光波频率很高为5×104Z。若 则>>ωo因而振幅变化缓慢而场振动 变化极快
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 则合波动式可写成： ◼ 令： ◼ 则 ◼ 即合成波可看成一个频率为 ，而振幅受到 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 的波。 ◼ 由于光波频率很高为5×1014HZ。若ω1≈ω2， 则 ＞＞ ω m，因而振幅变化缓慢而场振动 变化极快。 A 2acos(k z t) = m − m E 2acos(kz t)cos(k z t) = − m − m E = Acos(kz −t)
§24不同频率的两个单色光波的叠加 ■合成波的强度为 1=A=4a coS(kmz-Omnt =A2=2a2[1+cos2(kn2-0nt) 可见合成波的强度随时间和位置在0~4a2之 间变化,这种强度时大时小的现象称为拍 由式可知,拍频为20n,n为两单色光波 角频率之差的一半
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 合成波的强度为 ◼ 可见合成波的强度随时间和位置在0～4a2之 间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。 由式可知，拍频为2ω m，ω m为两单色光波 角频率之差的一半。 4 cos ( ) 2 2 2 I A a k z t = = m − m 2 [1 cos 2( )] 2 2 I A a k z t = = + m − m
§24不同频率的两个单色光波的叠加 这种由两个交变物理量产生一个差频物理 量的现象称为“拍频现象”。 其主要应用价值在于,它把高频信号中的 频率信息和位相信息转移到差频信号之中, 使它们由难以测量变的容易测量。 ■如用多普勒雷达测量运动物体的速度等, 及光外差探测技术
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 这种由两个交变物理量产生一个差频物理 量的现象称为“拍频现象” 。 ◼ 其主要应用价值在于，它把高频信号中的 频率信息和位相信息转移到差频信号之中， 使它们由难以测量变的容易测量。 ◼ 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等， 及光外差探测技术
§24不同频率的两个单色光波的叠加 群速度和相速度: 前面所提到的传播速度都是指它的等相面的 速度,及相速度。对于两个单色波的合成波: E=2a cos(kz-at)cos(km=,t) 包含两种速度:等相面的传播速度和等幅面的 传播速度 相速度: k 由kz-ot=c 两边对t求导 dz dtk
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 二、群速度和相速度： 前面所提到的传播速度都是指它的等相面的 速度，及相速度。对于两个单色波的合成波： 它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的 传播速度。 相速度： 由 两边对t求导E 2acos(kz t)cos(k z t) = − m − m k v = kz −t = c dt k dz =
§24不同频率的两个单色光波的叠加 ■振幅恒值点的移动速度,群速度: k△k 当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 时,它们的速度相同,因而合成的是一个 稳定的拍,群速度和相速度相等 若频率f1=f2 则:相速度 O1+O2O1+O2 V=v +k 00
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 振幅恒值点的移动速度，群速度： ◼ 当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 时，它们的速度相同，因而合成的是一个 稳定的拍，群速度和相速度相等。 ◼ 若频率 ◼ 则：相速度 k k v m m g = = 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 = = + + = + + = = k k k v （若 1 2 f = f ）
s24不同频率的两个单色光波的叠加 口群速度:v O1-02O1-O km k-k 当两单色光波在色散介质中传播时,其群 速度将不等于相速度。 ■即:合成波振幅最大点的传播速度(群速 度)将不等于两单色光波的相速度,也不 等于合成波的相速度
◼ 群速度： ◼ 当两单色光波在色散介质中传播时，其群 速度将不等于相速度。 ◼ 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速 度）将不等于两单色光波的相速度，也不 等于合成波的相速度。 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 = = − − = − − = = v k k k v m m g §2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
§24不同频率的两个单色光波的叠加 d 由 可得到v与v之间的关系 do dky 1+ k如h dk dk dk 2丌 由k= 2丌 d 故 ■此式表明,越大,即波的相速度随波长的变 化越大时,群速度和相速度两者相差也越大
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加 ◼ 由 可得到vg与v之间的关系。 ◼ 由 ◼ 则 ◼ 故 ◼ 此式表明， 越大，即波的相速度随波长的变 化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。 dk d vg = dk dv v k dk dkv dk d vg = = = + 2 k = dk d 2 2 = − d dv v v g = − d dv