第13章 3-1将星球看成黑体,由维恩位移定律λnT=b,b=2897×10-3mk 对北极星:71 b2.897×10 =8.3×103k ,0.35×10 b2897×10 对天狼星:72 =10×104k Zn,0.29×10 132由斯特藩玻耳兹曼定律M(T)=or4及维恩位移定律λnT=b,可得辐出度与峰值波 长关系为M(T) 所以 M2:M1=(n1/n2)4=(069/05)=363 13-3太阳表面单位时间单位面积辐射的能量为E=1 以太阳为中心,t时间通过半径为R的球面的能量为E=4mR2tE 根据相对论质能关系式E’=1mc2,可得太阳一年内由于辐射而损失的质量为 E′4mRtE4nRo =4x×(696×103)2×365×24×3600×567×108×5800/9×106 1.37 13-4太阳每秒钟发射到地球表面每平方厘米的辐射能量为0.14J 每个光子的能量为E=hshe 则发射的光子的数目为N=014014×550×10° 3.87×107个 662×10-34×3×10 13-5(1)单位时间内传到金属单位面积上的能量为3×10-”J 每个光子的能量为E=hv hc 则单位时间内照射到金属单位面积上的光子数为 3×10-9×40×10 60×10°个 663×10-×3.0×10
140 第 13 章 13-1 将星球看成黑体，由维恩位移定律 , 2.897 10 m k 3 = = − mT b b 对北极星： 8.3 10 k 0.35 10 2.897 10 3 3 1 1 = = = − − b m b T 对天狼星： 1.0 10 k 0.29 10 2.897 10 4 3 2 2 = = = − − b m b T 13-2 由斯特藩-玻耳兹曼定律 4 M(T) = T 及维恩位移定律 mT = b ，可得辐出度与峰值波 长关系为 4 4 ( ) m b M T = 所以 4 2 2 4 M1 m1 = M m 即 : ( / ) (0.69 / 0.5) 3.63 4 M 2 M1 = m1 m2 = = 13-3 太阳表面单位时间单位面积辐射的能量为 . 4 E = T 以太阳为中心，t 时间通过半径为 R 的球面的能量为 E R tE2 = 4 。 根据相对论质能关系式 2 E = mc ,可得太阳一年内由于辐射而损失的质量为 2 4 2 2 2 4 4 c Rt T c R tE c E m = = = 8 2 8 4 16 = 4 (6.9610 ) 365 2436005.6710 5800 / 910 − 1.37 10 kg 17 = 13-4 太阳每秒钟发射到地球表面每平方厘米的辐射能量为 0.14J. 每个光子的能量为 hc = hv = 则发射的光子的数目为 34 8 17个 9 3.87 10 6.62 10 3 10 0.14 0.14 550 10 = = = − − N . 13-5 （1）单位时间内传到金属单位面积上的能量为 3 10 J −9 . 每个光子的能量为 hc = hv = 则单位时间内照射到金属单位面积上的光子数为 34 8 9个 9 7 6.0 10 6.63 10 3.0 10 3 10 4.0 10 = = − − − N
(2)由爱因斯坦光电效应方程h=mv2+A 光电子的初动能mn2=h-A 663×10-34×3×10 2.0=1.leV 13-6由爱因斯坦光电产应方程h=2mv2+A 光子的最大初动能mvn=h-A==-A 663×10-34×3×108 4.2=2.0eV 200×10-×1.6×10 2mm=e,所以遏止电势差un .=-mv-/e=2.0V hc662×10-34×3×10 h=A,红限波长A0 =296nm 4.2×10×16 13-7(1)红光光子的能量、动量和质量分别为 63×10-34×3×108 2.84×10-9J A170000=947×102kg:ms h6.62×10 勿≈E12.84x10-19 =3.16×10-k (2)X射线的能量、动量和质量分别为 hc663×10-34×3×108 E= hy 0.25X-0=7.94×10-15J h663×10 265×10-23kg 1,0.25×10 E,794×10-5 =8.82×10-kg (3)r射线的能量、动量和质量分别为 hc663×10-3×3×10 e=h 1.6×10-5J 124×10-12 12410=53402kgms h6.63×10 E31.6×10 1.78×10-32kg c2(3×103)2
141 （2）由爱因斯坦光电效应方程 hv = mvm + A 2 2 1 光电子的初动能 mvm = hv − A 2 2 1 2.0 1.1eV 4.0 10 1.6 10 6.63 10 3 10 7 19 34 8 − = = − − − 13-6 由爱因斯坦光电产应方程 hv = mvm + A 2 2 1 光子的最大初动能 A hc mvm = hv − A = − 2 2 1 4.2 2.0eV 200 10 1.6 10 6.63 10 3 10 9 19 34 8 − = = − − − m a mv = eu 2 2 1 ，所以遏止电势差 / 2.0V 2 1 2 ua = mvm e = A c h = 0 ，红限波长 296nm 4.2 10 1.6 6.62 10 3 10 19 34 8 0 = = = − − A hc 13-7 (1) 红光光子的能量、动量和质量分别为 3.16 10 kg (3 10 ) 2.84 10 9.47 10 kg m s 7000 10 6.62 10 p 2.84 10 J 7000 10 6.63 10 3 10 36 8 2 19 2 1 1 28 1 10 34 1 1 19 10 34 8 1 1 − − − − − − − − − = = = = = = = = = c E m h E hv (2) X 射线的能量、动量和质量分别为 8.82 10 kg (3 10 ) 7.94 10 2.65 10 kg m s 0.25 10 6.63 10 p 7.94 10 J 0.25 10 6.63 10 3 10 3 2 8 2 1 5 2 2 2 2 3 1 1 0 3 4 2 2 1 5 1 0 3 4 8 2 2 2 − − − − − − − − − = = = = = = = = = = c E m h hc E hv (3) r 射线的能量、动量和质量分别为 1.78 10 kg (3 10 ) 1.6 10 5.34 10 kg m s 1.24 10 6.63 10 p 1.6 10 J 1.24 10 6.63 10 3 10 32 8 2 15 2 3 3 22 1 12 34 2 2 15 12 34 8 3 3 3 − − − − − − − − − = = = = = = = = = = c E m h hc E hv
13-8由康普顿散射公式A,2hs 2=2/ g 2=243×10-m 又因为42=1%,所以n 2×0.0243×0.5 A=243A 0.01 13-9X射线的能量为06MeV相应X射线的波长为A= 0.6 经散射后2=1+41=1.20 散射后X射线能量为 hc hc 反冲电子量为 hc (1--)=06×(1--)=0.Mev 12 13-10散射前后能量守恒,所以有 1)mc2 整理得A= =4.3×10-12m hc moc -y2/c2 Mn=n-no=2h Sm 2 g oin 43×10-12-3×10-12 =0.517 22(2A 2×00243×10 q=2 arcsin(0.517)=6218′ 13-11(1)由康普顿公式△=2Asin29 A12sin245° A1,2Asn245° A 0.04 由能量守恒,反冲电子获得的动能为 E hc hc hc hc E o1+ +A2
142 13-8 由康普顿散射公式 2 2 sin 2 sin 2 2 2 0 c m h = = 2.43 10 m −12 c = 又因为 1% 0 = ,所以 = = = A 2.43 A 0.01 2 0.0243 0.5 1% 0 13-9 X 射线的能量为 0.6MeV,相应 X 射线的波长为 0.6 0 hc = 经散射后 0 2 0 = + =1. 散射后 X 射线能量为 2 0 1. hc hc = 反冲电子量为 ) 0.1MeV 1.2 1 ) 0.6 (1 1.2 1 (1 0 0 − = − = − = hc hc hc 13-10 散射前后能量守恒，所以有 2 0 2 2 2 0 0 1) 1 1 ( ) ( m c v c m m c hc hc − − − = − = 整理得 m m c v c hc hc 12 2 0 2 2 0 4.3 10 1) 1 1 ( − = − − − = 0.517 2 0.0243 10 4.3 10 3 10 2 2 ,sin 2 2 sin 2 1 1 0 1 2 1 2 2 1 2 0 0 = − = − = − = = − − − c c = 2arcsin( 0.517) = 6218 13-11 （1）由康普顿公式 2 2 sin 2 = c 02 2 02 2 01 2 01 1 2 sin 45 , 2 sin 45 = = c c 故 4 01 02 02 2 01 1 10 400 0.04 : − = = = 由能量守恒，反冲电子获得的动能为 hc hc Ek = − 0 01 01 1 02 02 2 1 , + = − + = − hc hc E hc hc Ek k
故Ea1:E 2 λa1A1+△x(a +△ (2)入射光波长与相差不大时,康普顿效应显著。 13-12由于巴耳末系中仅观察到三条谱线,因此基态氢原子被激发到n=5的定态上 (1)由频率条件E5-E1=hv hc =95.Inm Ee-E EEL (2)由n=5向m=2跃迁时发出光子的波长为 12-x2)=1.097×107(2-52 RO )1=4340m 由n=4向m=2跃迁时发出光子的波长为 =R(2-2)=1097 =486.lnm 由n=3向n=2跃迁时发出光子的波长为 R(2-2)=1097×10(2-2)3=6563m 13-13则m1的定态向n=1的定态跃迁时产生的谱线属于赖曼系。 长波极限波长是由m2向n=1跃迁时产生 A=1219 短波极限波长是由m=∞向m=1跃迁时产生的 =912A E1 1314由氢原子能级公式E,=32 电离能EE-E,=0_(-136)≠151V 13-15(1)与谱线相应的能量为 E=h=he_663×10-34×3×105=2.6eV 24.34×10-7×1.6×10-19 (2)该谱线属巴耳末系,故k=2,则
143 故 + − + = − 01 01 1 02 02 2 1 2 1 1 1 1 : Ek Ek =10-8 (2) 入射光波长与 c 相差不大时，康普顿效应显著。 13-12 由于巴耳末系中仅观察到三条谱线，因此基态氢原子被激发到 n=5 的定态上。 (1) 由频率条件 hc E5 − E1 = hv = 95.1nm 5 1 2 1 1 5 1 = = − = E E hc E E hc （2）由 n=5 向 n=2 跃迁时发出光子的波长为 ) 434.0nm 5 1 2 1 ) 1.097 10 ( 5 1 2 1 ( 1 2 2 1 7 2 2 1 = − = − = R 由 n=4 向 n=2 跃迁时发出光子的波长为 ) 486.1nm 4 1 2 1 ) 1.097 10 ( 4 1 2 1 ( 1 2 2 2 7 2 2 2 = − = − = R 由 n=3 向 n=2 跃迁时发出光子的波长为 ) 656.3nm 3 1 2 1 ) 1.097 10 ( 3 1 2 1 ( 1 2 2 3 7 2 2 3 = − = − = R 13-13 则 n>1 的定态向 n=1 的定态跃迁时产生的谱线属于赖曼系。 长波极限波长是由 n=2 向 n=1 跃迁时产生。 = = R − 1219 A 2 1 1 1 1 2 2 max max 短波极限波长是由 n= 向 n=1 跃迁时产生的 = = R − 912 A 1 1 1 1 2 2 min min 13-14 由氢原子能级公式 2 1 3 3 E E = 电离能 1.51eV 3 ( 13.6) 0 3 2 = − E电离 = E − E = − 13-15 (1) 与谱线相应的能量为 2.86eV 4.34 10 1.6 10 6.63 10 3 10 7 19 34 8 = = = = − − − hc E hv （2）该谱线属巴耳末系，故 k=2，则
=1097×107× (3)最多可发射4个线系,共10条谱线,见图,最短波 题13-15图 长为m=5向n=1跃迁发出的谱线的波长 13-16(1)由归一化条件 v(x)|d=1 w(x) dx=A2x2e-Ar=1 所以A=22 (2)概率分布函数(x)2=A2x2e2=42xe2(x20) (3).[(x)]4x(2x-2x)2 2x=0 粒子概率最大位置x= 13-17(1)由归一化条件,有 x x250(a2N2 a N=1/2,归一化波函数为y(x)=./a1 -sin-e 丌xa 概率分布函数w= y(r,o dv=a'ea 4m-dr=Ta'a'= A1a化波函数为v(r,1)= 概率分布函数M=-ea 13-18德布罗意关系式 6.63×10-34 123×10-0m 2mE 9.1×10-31×100×16×10-19
144 5 1 4 1 1.097 10 4.34 10 1 1 2 1 1 2 7 7 2 2 = − = − − n n n R （3）最多可发射 4 个线系，共 10 条谱线，见图，最短波 长为 n=5 向 n=1 跃迁发出的谱线的波长。 13-16 （1）由归一化条件， | ( ) | d 1 2 = v x V ( ) 1 0 2 2 2 = = + − − x x dx A x e 所以 A=2 2 3 （2）概率分布函数 ( ) 4 ( 0) 2 2 2 3 2 2 2 = = − − x A x e x e x x x （3） ( ) 4 (2 2 ) 0 d d 3 2 2 2 = − = − x x x x e x 粒子概率最大位置 1 x = 13-17 （1）由归一化条件，有 ( ) 1 ( ) sin 2 sin ( ) 1 ( ,0) 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = − a N a x d a x a x a N dx a x x x dx N , a N = 归一化波函数为 px h i e a x x a x t sin 1 , ) （ = 概率分布函数 a x x a 2 2 2 sin = − = = = 0 2 3 2 2 2 2 (r,t) dV A e 4 r dr A 1 a r 3 1 A = ,归一化波函数为 Et r i r t e − − = 3 1 ( , ) 概率分布函数 r e x 2 3 2 1 − = 13-18 德布罗意关系式 p h = (1) 1.23 10 m 2 9.1 10 100 1.6 10 6.63 10 2 10 31 19 34 1 1 − − − − = = = mE h 题 13-15 图
2)=m2=2x91X10×0116×07=3830m 663×10 (3)3 =1.17×10-m 2mE2√2×1×10-3×0.1×16×10- 3-19粒子的能量eU动量p=√2meU 由德布罗意关系式A h p√2mel (663×10-3) 所以m=22eU2x(20x10-2)2×1.6x10-19×206 167×10-kg 13-20电子经加速后的动能E=e 光子的能量E=h 所以eU U e 663×10-4×3×10 500×10-9×16×1019≈248V 663×10-34×3×10 1.24×10v 20.1×10-9×1.6×10 663×10-34×3×108 00001×103×16×1051.24×10V 13-21根据相对论中总能量与动量的关系式E2=p2c2+m2c4 P V(E+m,c2xE-moc2)=EX+2E: moc 由德布罗意关系式=h P√E2+2Emc 当EAmc2时,E2>2E4mc2
145 （2） 3.88 10 m 2 9.1 10 0.1 1.6 10 6.63 10 2 9 31 19 34 2 2 − − − − = = = mE h （3） 1.17 10 m 2 1 10 0.1 1.6 10 6.63 10 2 22 3 19 34 2 3 − − − − = = = m E h 13-19 粒子的能量 eU,动量 p = 2meU 由德布罗意关系式 meU h p h 2 = = 所以 1.67 10 kg 2 (2.0 10 ) 1.6 10 206 (6.63 10 ) 2 2 7 1 2 2 1 9 3 4 2 2 − − − − = = = eU h m 13-20 电子经加速后的动能 Ek = eU 光子的能量 hc E = hv = 所以 hc eU = , e hc U = 1.24 10 V 0.0001 10 1.6 10 6.63 10 3 10 1.24 10 V 0.1 10 1.6 10 6.63 10 3 10 2.48V 500 10 1.6 10 6.63 10 3 10 7 9 19 34 8 3 4 9 19 34 8 2 9 19 34 8 1 = = = = = = − − − − − − − − − U U U 13-21 根据相对论中总能量与动量的关系式 2 4 0 2 2 2 E = p c + m c 2 0 2 2 0 2 2 0 2 4 0 2 2 1 ( )( ) 1 E E m c c E m c E m c c c E m c p = + − = k + k − = 由德布罗意关系式 2 0 2 E 2E m c hc p h k + k = = 当 Ek > 2 0 m c 时， 2 Ek >> 2 2 0 E m c k
所以A hchc 13-22根据海森伯不确定关系Δx^p 4x=m△x≥ 663×10-3 (1)Ax12 2×2×3.14×9.1×10-31×1×10-358×10 663×10-34 (2)△x,≥ 2×2×3.14×10-3×1×102=5.3×10-20m 663×10-34 (3)△x3≥ 2×2×3.14×10-4×1×1053×10-°m 13-23由德布罗意关系式p h 两边微分,只考虑绝对值,得4=·A,代入海森伯不确定关系式 h 方h L≥ 即AxA≥ 24 13-24由13-23结论,Ax≥ 6328×10)2 32km .4丌10-9×10-9×4×3.14 13-25E=hv 2两边微分,取绝对值,得F、hc hc 将上式代入海森伯不确定关系 hc AEA t≥ 4t≥ (0.5×10°)2 A.4x·c0.5×10×10-7×4×3.14×3×108≈183×10-s 326概率分布函数{}=2smn2a (1)粒子处于基态时m=1,p=2sm2a 在x=0到x=之间找到粒子的概率为 d 0.19
146 所以 k k E hc E hc = 2 13-22 根据海森伯不确定关系 2 xp p m v x = m v x 2 (1) 5.8 10 m 2 2 3.14 9.1 10 1 10 6.63 10 3 31 2 34 1 − − − − = x （2） 5.3 10 m 2 2 3.14 10 1 10 6.63 10 20 13 2 34 2 − − − − = x （3） 5.3 10 m 2 2 3.14 10 1 10 6.63 10 29 4 2 34 3 − − − − = x 13-23 由德布罗意关系式 h p = 两边微分，只考虑绝对值，得 = 2 h p ，代入海森伯不确定关系式 xp = 2 4 2 h h x = ，即 4 2 x 13-24 由 13-23 结论， x 32k m 10 10 4 3.14 (632.8 10 ) 4 9 9 2 9 2 = = − − − 13-25 hc = hv = ，两边微分，取绝对值，得 2 hc = 将上式代入海森伯不确定关系 2 2 = t hc t s c t 9 6 7 8 2 6 2 1.83 10 0.5 10 10 4 3.14 3 10 (0.5 10 ) 4 − − − − = = 13-26 概率分布函数 a n x a n 2 2 sin 2 = （1）粒子处于基态时 n=1 , a x a 2 2 1 sin 2 = 在 x = 0 到 3 a x = 之间找到粒子的概率为 0.19 2 sin 2 1 1 2 2 1 cos 2 sin 2 3 0 3 0 2 3 0 = = − − = a a a a x x a dx a x a dx a x a
2 (2)n=22 x=0到x=2之间找到粒子的概率为 X-—sm 13-27维无限深势阱中粒子的波函数为vn n=2时,概率密度=2sm2a d 2 0 dx a 解的x=或x=3 1328轨道角动量L=+1)=√2(2+1=√6 轨道角动量分量 =m,h=-2h 自旋角动量S=√s(+1=1(11b=h 13-29(1)≈E1136 (2)n=4时,河可能取值为0,1,2,3 L=√(+1),所以轨道角动量可能取值为0,√2h,√6h,2√3h (3)m可能取值为0,±1,±2,±3 L:=mh,所以L可能取值为0,±h,±2h,±3 (4)电子的可能状态数为Z=2n2=2×42=32
147 （2） a x a n 2 sin 2 2, 2 2 = 2 = 在 x = 0 到 3 a x = 之间找到粒子的概率为 0.40 4 sin 4 1 1 d 2 sin 2 3 0 2 3 0 = = − a a a x x a x a x a 13-27 一维无限深势阱中粒子的波函数为 a n x a n sin 2 = a x a n 2 sin 2 2 2 2 = 时，概率密度 1 = 0 2 sin 2 d d d d 2 2 1 = = a x x x a 解的 x a a x 4 3 4 = 或 = 13-28 轨道角动量 L = l(l +1) = 2(2 +1) = 6 轨道角动量分量 L z = ml = −2 自旋角动量 2 3 1 2 1 2 1 ( 1) = S = s s + = + 13-29 （1） e n 0.85 4 13.6 2 2 1 4 = = − = − V (2) n = 4时，l可能取值为 0, 1, 2, 3 L = l(l +1), 所以轨道角动量可能取值为 0， 2 ， 6 ，2 3 （3） ml 可能取值为 0， 1， 2 ， 3 , L z = ml 所以 Lz 可能取值为 0， ， 2 ，3 （4）电子的可能状态数为 2 2 4 32 2 2 Z = n = =