1静电场问题的分类 。静电场问题的分类 。己知电荷分布求解场的分布型问题; 由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的己知条件 来求解场的边值型问题。 电位为标量,可以方便的求解静电场的其它物理量, 故边值问题通常以电位做为研究对象。 。边值问题按其边界条件不同可分为三类 。荻利克莱 (Dirichlet)问题 。Neumann问题 ·混合问题 3
1 静电场问题的分类 静电场问题的分类 已知电荷分布求解场的分布型问题; 由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件 来求解场的边值型问题。 边值问题按其边界条件不同可分为三类 荻利克莱(Dirichlet)问题 Neumann问题 混合问题 电位为标量,可以方便的求解静电场的其它物理量, 故边值问题通常以电位做为研究对象。 3
1静电场问题的分类 o荻利克莱(Dirichlet)问题 ·已知区域边界上的位函数值 Vp=-p/e(或0) (4.1-1) r=o o Neumann问题 ·已知待求函数在区域边界上的法向导数值 720=-p/8 (4.1-2) On =Ψ0
1 静电场问题的分类 荻利克莱(Dirichlet)问题 已知区域边界上的位函数值 Neumann问题 已知待求函数在区域边界上的法向导数值 ( ) = = − 0 2 | 0 或 = = − 0 2 n (4.1-1) (4.1-2) 4
1静电场问题的分类 。混合问题 区域边界的一部分已知位函数值,另一部分已知法向导 数值。 V2p=-p/8 00 (4.1-3) =Ψ0 。问题:三类边值问题的解是否唯一? 回答是肯定的,有唯一性定理保证。 5
1 静电场问题的分类 混合问题 区域边界的一部分已知位函数值,另一部分已知法向导 数值。 问题:三类边值问题的解是否唯一? = = = − 0 2 0 1 2 , n 回答是肯定的,有唯一性定理保证。 (4.1-3) 5
2场的唯一性定理 。场的唯一性定理 在以上三种边界条件下,满足Laplace方程和Poisson方 程的电位函数是唯一的。 。利用格林第一公式来证明这一定理。 LVvovlajo (4.2-1) ·若p1、p2都满足拉氏方程(或Poisson方程),则 p'=p1-p2满足Laplace方程,即: V20'=0 (4.2-2) 6
2 场的唯一性定理 场的唯一性定理 在以上三种边界条件下,满足Laplace方程和Poisson方 程的电位函数是唯一的。 利用格林第一公式来证明这一定理。 若 、 都满足拉氏方程(或Poisson方程),则 满足Laplace方程,即: ( ) + = V S dS n dV 2 1 2 = 1 −2 0 2 = (4.2-1) (4.2-2) 6
2场的唯一性定理 令格林公式中p、"都是0',则: Lvofav=fo品s (4.2-3) ·第一种情况(Dirichlet问题): 4、2在S上均满足第一类边界条件,则p、=0 ∫p1dw=0 (4.2-4) .Vo2≥0 而积分为0→V0'=0 。 p'=C(常数) 而在S上0'=0∴.p≡0 ∴.p1=p2 7
2 场的唯一性定理 令格林公式中 、 都是 ,则: 第一种情况(Dirichlet问题): 、 在S上均满足第一类边界条件,则 ∴ ∵ 而积分为0 ∴ 而在S上 ∴ ∴ = V S dS n dV 2 1 2 = 0 S 0 2 = V dV 0 2 = 0 = C (常数) = 0 0 1 = 2 (4.2-3) (4.2-4) 7
2场的唯一性定理 。第二种情况(Neumann问题): 0、02都满足 = Ψo on 则: 001 602 =0 on s On On 故(4.2-3)右边=0,同样可得:9,-p2=C(常数) 在参考点处01=p2=0,故01-02=0 .p1=02 。第三种情况(Mixed问题)证明与第二种情况类似,略。 8
2 场的唯一性定理 第二种情况(Neumann问题): 、 都满足 则: 故(4.2-3)右边=0,同样可得: ∵ 在参考点处 ,故 ∴ 第三种情况(Mixed问题)证明与第二种情况类似,略。 1 2 0 = S n 0 1 2 = − = S S S n n n − = C (常数) 1 2 1 = 2 = 0 1 −2 0 1 = 2 8