第4章静电场的解法 黄丘林 电子工程学院 西安电子科技大学
第4章 静电场的解法 黄丘林 电子工程学院 西安电子科技大学 1
本章提纲 。1静电场问题的分类 。2场的唯一性定理 。3镜像法 。4分离变量法 2
本章提纲 1 静电场问题的分类 2 场的唯一性定理 3 镜像法 4 分离变量法 2
1静电场问题的分类 。静电场问题的分类 。己知电荷分布求解场的分布型问题； 由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的己知条件 来求解场的边值型问题。 电位为标量，可以方便的求解静电场的其它物理量， 故边值问题通常以电位做为研究对象。 。边值问题按其边界条件不同可分为三类 。荻利克莱 (Dirichlet)问题 。Neumann问题 ·混合问题 3
1 静电场问题的分类 静电场问题的分类 已知电荷分布求解场的分布型问题； 由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件 来求解场的边值型问题。 边值问题按其边界条件不同可分为三类 荻利克莱（Dirichlet）问题 Neumann问题 混合问题 电位为标量，可以方便的求解静电场的其它物理量， 故边值问题通常以电位做为研究对象。 3
1静电场问题的分类 o荻利克莱(Dirichlet)问题 ·已知区域边界上的位函数值 Vp=-p/e(或0) (4.1-1) r=o o Neumann问题 ·已知待求函数在区域边界上的法向导数值 720=-p/8 (4.1-2) On =Ψ0
1 静电场问题的分类 荻利克莱（Dirichlet）问题 已知区域边界上的位函数值 Neumann问题 已知待求函数在区域边界上的法向导数值 ( ) = = − 0 2 | 0 或 = = − 0 2 n （4.1-1） （4.1-2） 4
1静电场问题的分类 。混合问题 区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导 数值。 V2p=-p/8 00 (4.1-3) =Ψ0 。问题：三类边值问题的解是否唯一？ 回答是肯定的，有唯一性定理保证。 5
1 静电场问题的分类 混合问题 区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导 数值。 问题：三类边值问题的解是否唯一？ = = = − 0 2 0 1 2 , n 回答是肯定的，有唯一性定理保证。 （4.1-3） 5
2场的唯一性定理 。场的唯一性定理 在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方 程的电位函数是唯一的。 。利用格林第一公式来证明这一定理。 LVvovlajo (4.2-1) ·若p1、p2都满足拉氏方程（或Poisson方程），则 p'=p1-p2满足Laplace方程，即： V20'=0 (4.2-2) 6
2 场的唯一性定理 场的唯一性定理 在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方 程的电位函数是唯一的。 利用格林第一公式来证明这一定理。 若 、 都满足拉氏方程（或Poisson方程），则 满足Laplace方程，即： ( ) + = V S dS n dV 2 1 2 = 1 −2 0 2 = （4.2-1） （4.2-2） 6
2场的唯一性定理 令格林公式中p、"都是0'，则： Lvofav=fo品s (4.2-3) ·第一种情况(Dirichlet问题)： 4、2在S上均满足第一类边界条件，则p、=0 ∫p1dw=0 (4.2-4) .Vo2≥0 而积分为0→V0'=0 。 p'=C(常数) 而在S上0'=0∴.p≡0 ∴.p1=p2 7
2 场的唯一性定理 令格林公式中 、 都是 ，则： 第一种情况（Dirichlet问题）： 、 在S上均满足第一类边界条件，则 ∴ ∵ 而积分为0 ∴ 而在S上 ∴ ∴ = V S dS n dV 2 1 2 = 0 S 0 2 = V dV 0 2 = 0 = C (常数) = 0 0 1 = 2 （4.2-3） （4.2-4） 7
2场的唯一性定理 。第二种情况(Neumann问题)： 0、02都满足 = Ψo on 则： 001 602 =0 on s On On 故(4.2-3)右边=0，同样可得：9，-p2=C(常数) 在参考点处01=p2=0,故01-02=0 .p1=02 。第三种情况(Mixed问题)证明与第二种情况类似，略。 8
2 场的唯一性定理 第二种情况（Neumann问题）： 、 都满足 则： 故（4.2-3）右边=0，同样可得： ∵ 在参考点处 ，故 ∴ 第三种情况（Mixed问题）证明与第二种情况类似，略。 1 2 0 = S n 0 1 2 = − = S S S n n n − = C (常数) 1 2 1 = 2 = 0 1 −2 0 1 = 2 8
2场的唯一性定理 。唯一性定理的重要意义 一是告诉我们在什么条件下得到的解是唯一的： ·二是无论用何种方法找到一个函数，既满足微分方程， 又满足问题特定的边界条件，则它必是该问题的解。即 可以灵活的选择求解方法： 三是根据唯一性定理，可以建立许多应用于电磁场问题 求解的等效原理。 9
2 场的唯一性定理 唯一性定理的重要意义 一是告诉我们在什么条件下得到的解是唯一的； 二是无论用何种方法找到一个函数，既满足微分方程， 又满足问题特定的边界条件，则它必是该问题的解。即 可以灵活的选择求解方法； 三是根据唯一性定理，可以建立许多应用于电磁场问题 求解的等效原理。 9
3镜像法 。镜像法就是应用唯一性定理求解静电场的一种特 殊方法。 。导体平面的镜像法 h 2 x 原问题 等效问题 10
3 镜像法 镜像法就是应用唯一性定理求解静电场的一种特 殊方法。 导体平面的镜像法 原问题 等效问题 10