第1章夫量分析与场论 黄丘林 电子工程学院 西安电子科技大学
第1章 矢量分析与场论 黄丘林 电子工程学院 西安电子科技大学 1
本章提纲 。1矢性函数 。2矢性函数的导数与微分 。3矢性函数的积分 。4场的基本知识 。5哈密尔顿算子 。6正交曲线坐标系 2
本章提纲 1 矢性函数 2 矢性函数的导数与微分 3 矢性函数的积分 4 场的基本知识 5 哈密尔顿算子 6 正交曲线坐标系 2
1矢性函数 。矢性函数 。 设是一数性变量，A为变矢，如果对于某一区间内 G[a,b]的每一个数值t,都以一个确定的矢量A(t) 与之对应，则称A为数性变量的矢性函数。 记为：A=A(t)。而G为其定义域。 ● 矢性函数A()在直角坐标系中的三个分量（或投影） 都是变量的函数，分别为A(),A(t),A(t)。则矢 性函数也可用其分量表示为： A=A(t)R+A,(t))+A(t)2 ·其中尤，少，三为x,y,2轴正向的单位矢量。 3
1 矢性函数 矢性函数 设t是一数性变量， 为变矢，如果对于某一区间内 G[a，b] 的每一个数值t，都以一个确定的矢量 与之对应，则称 为数性变量t的矢性函数。 记为： 。而G为其定义域。 矢性函数 在直角坐标系中的三个分量（或投影） 都是变量t的函数，分别为 ， ， 。则矢 性函数也可用其分量表示为： 其中 ， ， 为x，y，z轴正向的单位矢量。 A A(t) A A A(t) = A(t) A (t) x A (t) y A (t) z A A t x A t y A t z x y z = ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( )ˆ x ˆ y ˆ z ˆ 3
1失性函数 o矢端曲线 ·认为所有的A(t)的起点都在坐标原点，这样，当变 化时，A(t)的终点M就描绘出一条曲线l,该曲线称 为矢性函数A(t)的矢端曲线或图形。 A(t) 。A=A(t)或A=A()元+A,(t)少+A(t)2称为曲线的 矢量方程
1 矢性函数 矢端曲线 认为所有的 的起点都在坐标原点，这样，当t变 化时， 的终点M就描绘出一条曲线l，该曲线称 为矢性函数 的矢端曲线或图形。 或 称为曲线l的 矢量方程。 A(t) A(t) A(t) A A(t) = A A t x A t y A t z x y z = ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( )ˆ 4
1矢性函数 。A(t)的端点M是1上的一个动点，其三个坐标x,y, 随的变化规律分别为： x=A.(t) y=A,(t) z=A.(t) 这就是曲线1的参数方程。 5
1 矢性函数 的端点M是l上的一个动点，其三个坐标x，y， z随t的变化规律分别为： 这就是曲线 l 的参数方程。 A(t) x A (t) = x y A (t) = y z A (t) = z 5
2矢性函数的导数与微分 。矢性函数的导数 ·设A(t)是的矢性函数，当数性变量t在其定义域内 从变到t+△t(△t≠O)时，对应的矢量从A(t)变化 到A(t+△)，则称△A=A(t+△)-A(t)为A()对应 于△t的增量。 △A A(t+△)-A(t) △t △t 在△t→0时的极限存在， 则称A(t)在点t可导，并 称此极限为A(t)在点t处 At+△) 的导数。 6
2 矢性函数的导数与微分 矢性函数的导数 设 是t的矢性函数，当数性变量t在其定义域内 从t变到 时，对应的矢量从 变化 到 ，则称 为 对应 于 的增量。 在 时的极限存在， 则称 在点t可导，并 称此极限为 在点t处 的导数。 A(t) t + t (t 0) A(t) A(t + t) A A(t t) A(t) = + − A(t) t t A t t A t t A + − = ( ) ( ) t → 0 A(t) A(t) 6
2矢性函数的导数与微分 设矢性函数A(t)的三个分量A(),A,(),A()在处 均可导，则有： dA lim △A lim +lim +lim M. dt △1-→0△t △1→0 △t △1→0 △t △t-→0 △t dAy d dt dt d 这样就把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函 数的导数的计算
2 矢性函数的导数与微分 设矢性函数 的三个分量 ， ， 在t处 均可导，则有： 这样就把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函 数的导数的计算。 A(t) A (t) x A (t) y A (t) z z t A y t A x t A t A dt dA z t y t x t t lim lim ˆ lim ˆ lim ˆ 0 0 0 0 + + = = → → → → z dt dA y dt dA x dt dAx y z = ˆ + ˆ + ˆ 7
2矢性函数的导数与微分 例设二矢性函数e()=cos中元+sinp),()=-sin中+cos中) 证明：'()=(p),e()=-(),且e()⊥() 证：e'()=(cos)'+(sin)'y e(o) =-sino+coso e(o) =e() e()=(-sin)'元+(cos)' =-coso-sin =-e() e(p)·e(p)=cosφ(-sin)+sin中cosp=0 ∴.e()⊥e(p) 8
2 矢性函数的导数与微分 例 设二矢性函数 ， 证明： , ,且 证： e x y ( ) cos sin = + ˆ ˆ 1 e x y ( ) sin cos = − + ˆ ˆ 1 e e ( ) ( ) = 1 e e ( ) ( ) = − 1 e e ( ) ( ) ⊥ e x y ( ) (cos ) (sin ) = + ˆ ˆ = −sin x ˆ + cos y ˆ 1 = e ( ) 1 e x y ( ) ( sin ) (cos ) = − + ˆ ˆ = −cos x ˆ − sin y ˆ = −e( ) 1 e e ( ) ( ) cos ( sin ) sin cos 0 = − + = 1 ∴ e e ( ) ( ) ⊥ 8
2矢性函数的导数与微分 当△t>0时，△4指向与△A一致，指向值增大的一 方； △t 当△t0 △t<0 9
2 矢性函数的导数与微分 当 时， 指向与 一致，指向t值增大的一 方； 当 时，其指向与 相反，但因此时 指向t 减小的一方，故它仍指向t增大的一方。 t 0 t A A t 0 A A 9
2矢性函数的导数与微分 ·当△t→0时，由于割线MN绕点M转动，其极限位 置为M处（即点）的切线，因为A 在MN上，故 t 当△t→0时的极限位置也在M处的切线上，即 dA =lim △A dt 1-→0 △t 是点M处（即t处）！ 的切线上指向增大一方的矢量。 即：导数是矢端曲线在t处的切向矢量，其指向对应t增 大的一方。 10
2 矢性函数的导数与微分 当 时，由于割线MN绕点M转动，其极限位 置为M处（即t点）的切线，因为 在MN上，故 当 时的极限位置也在M处的切线上，即 是点M处（即t处）的切线上指向t增大一方的矢量。 即：导数是矢端曲线在t处的切向矢量，其指向对应t增 大的一方。 t → 0 t A t →0 t A dt dA t = → 0 lim 10