粒子物理与核物理实验中的 数据分析 陈少敏 清华大学 第十二讲：开拆法
粒子物理与核物理实验中的 数据分析 陈少敏 清华大学 第十二讲：开拆法
本讲要点 数学公式，反应函数（矩阵） 求反应矩阵的逆 修正因子 ·正规化的开拆法 a)Tikhonov规则 b)MaxEnt规则 ·估计量的方差与偏置 ·正规化参数的选择 举例 2
2 本讲要点 数学公式,反应函数(矩阵) 求反应矩阵的逆 修正因子 正规化的开拆法 估计量的方差与偏置 正规化参数的选择 举例 a) Tikhonov 规则 b) MaxEnt 规则
图像还原问题 个常见的问题：由于实验仪器的原因而出现图像变形，例如 10000 30000 10000 8000 25000 8000 20000 6000 6000 15000 4000 4000 10000 2000 2000 5000 aae1e4+1414a1e411t。4 4LL4LLL上L44L -1 -0.5 00.51152 -1080.6040200.20.40.60.81 1 0500.5 1152 真实分布 如果，已知 通过探测器模拟可以 实验观测分布 给出其影响的形式 能否还原出不受实 验仪器影响的分布？ → Unfolding(开拆法) 3
3 图像还原问题 ⊗ ＝ 一个常见的问题：由于实验仪器的原因而出现图像变形，例如 如果，已知 通过探测器模拟可以 给出其影响的形式 实验观测分布 能否还原出不受实 验仪器影响的分布？ 能否还原出不受实 验仪器影响的分布？ Unfolding(开拆法 ) 真实分布
开拆问题的表述 考虑有随机变量y,我们的目标是要找到概率密度函数f(y) 如果函数可参数化为f(y,O),那么确定概率密度函数，等效于 最大似然法 若无参数化形式，可通过构造直方图 80 P,=lin f(ydy )j=1,,M 60 4=4oP,☐"真实的直方图" 40 目标：为4，（或p)构造估计量 20 参数的数日=区间的数目M 问题：y在测量时不可能没有误差 各区间之间填入的数目互 bin j 串，导致f(y)散开变宽。 4
4 开拆问题的表述 考虑有随机变量 ，我们的目标是要找到概率密度函数 如果函数可参数化为 ，那么确定概率密度函数，等效于 若无参数化形式，可通过构造直方图 y f ( y ) ( ;θ ) G f y 最大似然法 θ ˆ G bin ( ) 1,..., j j j t ot j p f y dy j M μ μ p = = = ∫ “真实的直方图 ” 目标： 为 μ j ( 或 p j )构造估计量 问题： y 在测量时不可能没有误差 参数的数目 =区间的数目 M () f y 各区间之间填入的数目互 串,导致 散开变宽
反应矩阵 测量误差的影响：y=真值； X= 观测值 fmeas(x)=R(xIy)fre(y)dy 反应矩阵 观测直方图 写成离散形式 (期待值) M i=1,,N R=P(观测值在第i区|真实值在第j区) 真实直方图 数据：n=(n12,nw) 400 400 这里Y:=E[n] 200 200 注意：d,是常数，n会受 到统计涨落的影响。 0 0.250.50.75 0.25 0.5 0.75 5
5 反应矩阵 测量误差的影响: 数据： y = 真值； x = 观测值 ∫ f x = R x y f y dy meas true ( ) ( | ) ( ) 写成离散形式 R i N M j i ij j , 1,..., 1 = ∑ = = ν μ 观测直方图 (期待值) 反应矩阵 真实直方图 ( | ) R P ij = 观测值在第 i 区 真实值在第 j 区 [ ] ( ,..., ) 1 i i N E n n n n = = ν G 这里 注意： 是常数， 会受 到统计涨落的影响。 μ ν G G , n G
效率，本底 有时侯，事例可能会不被探测到 立R,=立P(观测值在第i区真实值在第/区 i=l P(观测值在全范围！真实值在第区) =6,(效率) 取决于在第j区的真实直方图 有时在无真实事例发生的 400 时候，也有事例被观测到 M 0.5 =∑R,4+B i=1 0 00.250.50.75 0 0.25 0.5 0.75 B是在观测直方图上预 期的本底数目，并假设它是已知的。 6
6 效率，本底 有时侯，事例可能会不被探测到 是在观测直方图上预 期的本底数目，并假设它是已知的。 有时在无真实事例发生的 时候，也有事例被观测到 1 1 ( | ) ( | ( ) N N ij i i j R P i j P j ε = = = = = ∑ ∑ 观测值在第 区 真实值在第 区 观测值在全范围 真实值在第 区) 效率 ∑= = + M j i Rij j i 1 ν μ β βi 取决于在第 j 区的真实直方图
各关键量总汇 M 真实"直方图：=(4，，4M) 4o=∑4 M个区间 i=1 概率：p=(P1,pM)=i/4o 观测直方图的期待值：=(y1,,VN) N个区间 观测直方图：n=(n,,nw) 反应矩阵：R=P(观测值在第i区|真实值在第j区) 效率：6，=∑R 预期的本底：B=(B,Bx) i= ETn]==Rii+B 为了找到u的估计量，需要相关的概率理论，例如：P(,;y) 上 n 泊松分布，或关联矩阵V,=Cov[n,n,]以便构造logL或X
7 各关键量总汇 “真实 ”直方图: 观测直方图的期待值: 反应矩阵: 效率: ∑= = = M j M tot j 1 1 μ ( μ ,..., μ ), μ μ 概率: 观测直方图: G M tot p ( p1,..., p ) μ / μ G G = = ( ,..., ) ν = ν 1 ν N G ( ,..., ) 1 N n = n n G ( | ) R P ij = 观测值在第 i 区 真实值在第 j 区 ∑= = N i j Rij 1 ε ( ,..., ) 预期的本底: β = β1 β N G ν μ β G G G G E [ n ] = = R + 为了找到 的估计量，需要相关的概率理论，例如: i i e n P n i n i i i ν ν ν − = ! ( ; ) 泊松分布，或关联矩阵 Vij = cov[ ni , n j ] 以便构造 2 log L 或 χ μ G M个区间 N个区间
为什么要用开拆法 般而言，我们并不需要开拆法，例如当比较现有理论的预期值时，最好 是将探测器相应叠加到理论中去。即在预期值中包含探测器效应并与未修 正的原始数据n相比较。 但是，不将实验数据进行开拆处理，结果发表后，有关反应矩阵的知识将 不在保留。而且，开拆后的分布可以直接与各种理论的预言相比较，也可 以与别的实验经过开拆以后的分布相比较。 通常开拆的结果更为有用，因为当反应矩阵变得不可恢复时，即使对实验 结果可能又有了新的理论解释，也很难进行理论检验。 在粒子物理研究中，开拆法常用的领域为： ·结构函数 ●τ的谱函数（也就是强子不变质量谱） ·强子事例形状分布 ·粒子多重数分布 8
8 为什么要用开拆法 一般而言，我们并不需要开拆法，例如当比较现有理论的预期值时，最好 是将探测器相应叠加到理论中去。即在预期值中包含探测器效应并与未修 正的原始数据 相比较。 但是，不将实验数据进行开拆处理，结果发表后，有关反应矩阵的知识将 不在保留。而且，开拆后的分布可以直接与各种理论的预言相比较，也可 以与别的实验经过开拆以后的分布相比较。 n G 通常开拆的结果更为有用，因为当反应矩阵变得不可恢复时，即使对实验 结果可能又有了新的理论解释，也很难进行理论检验。 在粒子物理研究中，开拆法常用的领域为： •结构函数 • τ 的谱函数 (也就是强子不变质量谱 ) •强子事例形状分布 •粒子多重数分布 •．．．
反应矩阵的逆 假设 立=Ri+B的逆存在：i=R(位-B) 若数据是泊松分布 V a 6 200 2000 P(n;y,)= -e n n 1000 1000 则有 l1ogL(0）=∑(n,logy,-y) 04 0608 02040.60.B i=l x102 最大似然法的估计量为 n u 2000 =n→ǜ=R(m-B) 5000 若R的非对角元太大，即区间 1000 5000 宽度比分辨率要小时，会导致 上式有很大的方差，以及在相 -10000 0. 0.4 0 0.8 0 02 040.6 0.B 邻区间产生很强的负关联。 9
9 反应矩阵的逆 假设 的逆存在: 若数据是泊松分布 μ β 最大似然法的估计量为 ν G G G = R + ( ) 1 μ ν β G G G = − − R i i e n P n i n i i i ν ν ν − = ! ( ; ) ∑= = − N i i i i L n 1 log ( μ) ( log ν ν ) G ( ) ˆ ˆ 1 ν μ β G G G G G = = − − n R n 则有 μ ν n μˆ 若Ｒ的非对角元太大，即区间 宽度比分辨率要小时，会导致 上式有很大的方差，以及在相 邻区间产生很强的负关联。 若Ｒ的非对角元太大，即区间 宽度比分辨率要小时，会导致 上式有很大的方差，以及在相 邻区间产生很强的负关联。 ？
错误的原因 假设山真的有精细结构 00 的0 50 40D 应用R给出观测期待值 10 时，虽然一些结构还能 20D 00 留下，但大部分的精细 结构都被抹平了。 0.25 05 0.75 200 V=R五 0.25 5 0.▣ 应用R1到V恢复精细结构：i=R 但我们没有v只有 采用观测值时，由于统计涨落的缘故，有不少非物理因素造成的突起。 ◆R1"认为"这是与原来的精细结构有关，导致立=Rn有振荡效应。 10
10 错误的原因 假设 真的有精细结构 应用 R给出观测期待值 时，虽然一些结构还能 留下，但大部分的精细 结构都被抹平了。 应用 R-1 到 恢复精细结构： 采用观测值时，由于统计涨落的缘故， 有不少非物理因素造成的突起。 μ G μ G ν μ G G = R ν G μ ν G G −1 = R 但我们没有 ν 只有 G n G n G R-1 “认为 ”这是与原来的精细结构有关，导致 μ ˆ = R −1 n 有振荡效应。 G G
