日录 国图展开与有效势 Coleman-Weinberg论 Gross-Neveu模型 局域发合算管的有液势 00000000000 000000000 D000000 000000 粒子理论专题动力学对称性自发破缺 王青 清华大学 2007年10月10日-2007年11月25日 王（ 量通动力学对称性自发破的
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧ ✜➇ ➌✉➀➷ 2007❝10✛10❋-2007❝11✛25❋ ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
目录 圈图展开与有效势 Coleman-Weinbergi论 Gross-Neveu摸型 域复合疗等的有效势 0o0000o0000 000000000 00000o0 圈图展开与有效势 Coleman-Weinberg理论 Gross-Neveu模型 局域复合算符的有效势 王青( 理迪专动力学对称性自发破缺
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
日录 国图展开与有效势 Coleman-Weinberg厘i论 Gross-Neveu模型 局域复合算管的有液势 ●000000000 o00000000 0000000 o0000 圈图展开Y.Nambu,Phys.LetL.B2:6,626(1968)普通微扰论破坏规范对称性：L=-}GGr" Co=-4(a.G说-ac)月 Ci =-gCa(0nG)GG-i8CakeCaGh GGHG 在微扰论中，规范对称性的破坏与否只能准确到微扰论计算所达到的精度！ 无法准确地判断自发破缺的发生与否 构造不破坏对称性的展开方法： 按h幂次展开=半经典展开 当量子涨落效应比较小时： Zu]=etwul Doe青∫r(c+i/o 可按方的？幂次进行展开 φ=v Z]=etwul IIh Db'ef[co(')二+会c(')+vey] =e∫rcm(}哥)e5 Sfsdy h)△'e-o) △'(x-y)=0Te'(x)0'0)I0 分析以中'构造的费曼图，E条外线，/条内线，V个顶角 费曼图的h幂次：五+1-v=士坐2=方专+- 给定外线的费曼图按圈的数目展开等价于按h的幂次展开！量子涨落是以侧的数目衡量的！ 有些理论圈展开=微扰展开：入6L=兰拦=V+1一E/2有多种顶辄箕空期恤)时除外 王( 物通谁过动力学对称性自发破故
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ✗ãÐ♠Y.Nambu,Phys.Lett.B26,626(1968) ✃Ï❻✻Ø➺⑨✺❽é→✺: L=− 1 4G a µνG aµν L0 = − 1 4 (∂µG a ν−∂νG a µ) 2 Lint = −gCabc(∂µG a ν)G b µG c ν− 1 4 g 2CabcCadeG b µG c νG d µG e ν ✸❻✻Ø➙➜✺❽é→✺✛➺⑨❺➘➄❯❖✭✔❻✻Ø❖➂↕❼✔✛➦Ý➐ ➹④❖✭✴✞ä❣✉➺✧✛✉✮❺➘ ✟❊Ø➺⑨é→✺✛Ð♠➄④➭ ❯~➌❣Ð♠ = ➀➨❀Ð♠ ✟þ❢Þá✟❆✬✖✂➒: Z[J] = e i ~ W[J] = Z Dφ e i ~ R d 4 x(L+~Jφ) ➀❯~✛✔➌❣❄✶Ð♠ φ = √ ~φ 0 Z[J] = e i ~ W[J] = Π~ Z Dφ 0 e i R d 4 x[L0(φ 0 ) ✓❣➅+ 1 ~ Lint( √ ~φ 0 )+√ ~Jφ 0 ] = e i R d 4 x 1 ~ Lint( 1 i δ δJ ) e i 2 RR d 4 xd4 y ~J(x)∆0 (x−y)J(y) ∆0 (x−y) = h0|Tφ 0 (x)φ 0 (y)|0i ➞Û➧φ 0✟❊✛↕ùã, E❫✠❶,I❫❙❶,V❻➸✍ ↕ùã✛~➌❣: ~ E 2 +I−V L=I−(V−1) ======= ~ E 2 +L−1 ❽➼✠❶✛↕ùã ❯✗✛ê✽Ð♠✤❞✉❯~✛➌❣Ð♠ !þ❢Þá➫➧✗✛ê✽ïþ✛! ❦✡♥Ø ✗Ð♠=❻✻Ð♠: λφ4 L 4V=E+2I ====== V + 1 − E/2 ❦õ➠➸✍(ý➌Ï✧❾)➒Ø✠ ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
日录 阁图展开与有效势 Coleman-Weinberg厘i论 Gross-Neveu模 局域复合算管的有液势 0●00000000 000000000 0000000 o0000 有效势 定义经典场：（三 W☑ 16Z☑ ZJ8J(x) 有效作用量：T[向三WU-xx)() T[的] 6J6) 66(x) 6)+J6)(-川=-d 对比经典的含外源的作用量所满足的场方程： S()三 d'x(C()+J 场方程： 6S(⊙) 6中(x) =0→ 6∫dyc@=-J 6p(x) Tm(1,·,xn)≡ 6"T (,…,n)=n点一粒子不可约顶角 6o()…6b(xn) (x)里v r向=∑t…xr,…,t)-…)-可 一粒子不可约派角生成泛函 王青( 物通谁通动力学对称性自发破敏
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ❦✟➩ Z[J] = e iW[J] = Z Dφ e i R d 4 x(L+Jφ) ➼➶➨❀⑤: φˆ(x) ≡ δW[J] δJ(x) = −i 1 Z[J] δZ[J] δJ(x) ❦✟❾❫þ : Γ[φˆ] ≡ W[J] − Z d 4 x J(x)φˆ(x) δΓ[φˆ] δφˆ(x) = Z d 4 y δW δJ(y) δJ(y) δφˆ(x) − Z d 4 y [ δJ(y) δφˆ(x) φˆ(y) + J(y)δ(x − y)] = −J(x) é✬➨❀✛➵✠✌✛❾❫þ↕÷✈✛⑤➄➜: SJ (φ) ≡ Z d 4 x[L(φ) + Jφ] ⑤➄➜: δSJ (φ) δφ(x) = 0 ⇒ δ R d 4 y L[φ] δφ(x) = −J(x) Γ (n) (x1, · · · , xn) ≡ δ nΓ δφˆ(x1)· · · δφˆ(xn) Γ (n) (x1, · · · , xn) ˛ ˛ ˛ ˛ J=0 = n✿➌â❢Ø➀✕➸✍ φˆ(x) J=0 === v Γ[φˆ] = X n Z d 4 x1 · · · d 4 xn 1 n! Γ (n) (x1, · · · , xn)[φˆ(x1) − v] · · · [φˆ(xn) − v] ➌â❢Ø➀✕➸✍✮↕➁➻ ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
日录 阁图展开与有效势 Coleman-Weinberg厘i论 Gross-Neveu模型 局域复合算管的有领势 00●00000000 000000000 D000000 0o0000 两线顶角： 6x-)= 6(x 2w) 6T[刷 6(x) 鹘器-∫而o阿 三线项角： 6 0=a 82w[J T创 dm)8J66(x2)ǒ0r) =厂d[)5 63W] 2T[] 8w[n 6J(x1)6J(2) 「dy T回 66y) 0y)5o(x2)5o(x)6J(x3) 8w] 8-w[J 8w[] 62w T[的 m3的a-Fd6da0gg7o576i85ag 王( 物通谁过动力学对称性自发破缺
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ü❶➸✍: δ(x − x 0 ) = δφˆ(x) δφˆ(x 0) = Z d 4 y δφˆ(x) δJ(y) δJ(y) δφˆ(x 0) = − Z d 4 y δ 2W[J] δJ(x)δJ(y) δ 2Γ[φˆ] δφˆ(y)δφˆ(x 0) ♥❶➸✍➭ 0 = δ δJ(x3) Z d 4 x2 δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x2) δΓ[φˆ] δφˆ(x2)δφˆ(x 0) = Z d 4 x2 » δ 3W[J] δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3) δ 2Γ[ψˆ] δφˆ(x2)δφˆ(x 0) + δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x2) Z d 4 y δ 3Γ[φˆ] δφˆ(y)δφˆ(x2)δφˆ(x 0) δφˆ(y) δJ(x3) – δ 3W[J] δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3) = Z d 4 x 0 1d 4 x 0 2d 4 x 0 3 δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x 0 1 ) δ 2W[J] δJ(x2)δJ(x 0 2 ) δ 2W[J] δJ(x3)δJ(x 0 3 ) δ 3Γ[ψˆ] δφˆ(x 0 1 )δφˆ(x 0 2 )δφˆ(x 0 3 ) ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
日录 阁图展开与有复势 Coleman-Weinberg厘论 Gross-Neveu模型 局域复合算管的有液势 000●0000000 000000000 D000000 0o0000 四线顶角： 8W[] 6Jx1)6Jx2)6J3)6Jx4 62WU) 8w[ 62Ww☑ 3T向间 dd6d66786a0o)a0()66(6)56) 8w( 62w 8w =∫txd%tdmo两oa元西o7 62W[U 6'r回 60()6(x)6()δp() dxidsds 63T[ 6()5()6() 3W☑ 82w(J 62W 8w[J 63w☑ w☑ 6J()iJ()6J(x4)6J(2)6J()6J(3)6J) 6Jx1)Jx)6J(x)6J()5J(x4)6J(x3)5J() 8w[ w☑ 8w 6J(x)6J(x)6J(x2)6J(2)6J(x3)6J()6J(x4) T 王行( 物通谁过动力学对称性自发破缺
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ♦❶➸✍➭ δ 4W[J] δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4) = δ δJ(x4) » Z d 4 x 0 1d 4 x 0 2d 4 x 0 3 δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x 0 1 ) δ 2W[J] δJ(x2)δJ(x 0 2 ) δ 2W[J] δJ(x3)δJ(x 0 3 ) δ 3Γ[φˆ] δφˆ(x 0 1 )δφˆ(x 0 2 )δφˆ(x 0 3 ) – = Z d 4 x 0 1d 4 x 0 2d 4 x 0 3d 4 x 0 4 δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x 0 1 ) δ 2W[J] δJ(x2)δJ(x 0 2 ) δ 2W[J] δJ(x3)δJ(x 0 3 ) δ 2W[J] δJ(x4)δJ(x 0 4 ) × δ 4Γ[φˆ] δφˆ(x 0 1 )δφˆ(x 0 2 )δφˆ(x 0 3 )δφˆ(x 0 4 ) + Z d 4 x 0 1d 4 x 0 2d 4 x 0 3 δ 3Γ[φˆ] δφˆ(x 0 1 )δφˆ(x 0 2 )δφˆ(x 0 3 ) × » δ 3W[J] δJ(x1)δJ(x 0 1 )δJ(x4) δ 2W[J] δJ(x2)δJ(x 0 2 ) δ 2W[J] δJ(x3)δJ(x 0 3 ) + δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x 0 1 ) δ 3W[J] δJ(x2)δJ(x 0 2 )δJ(x4) δ 2W[J] δJ(x3)δJ(x 0 3 ) + δ 2W[J] δJ(x1)δJ(x 0 1 ) δ 2W[J] δJ(x2)δJ(x 0 2 ) δ 3W[J] δJ(x3)δJ(x 0 3 )δJ(x4) – ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
国图展开与有效势 Coleman-Weinberg厘i论 Gross-Neveu模型 局域复合算管的有液势 0000●000000 000000000 0080000 0o0000 真空态的平移不变性：(x)旦(x+d)真空期望值是与坐标无关的常数！ 研究具有平移不变性的(x)=(,…,x)≡ 6"T 只依赖-1个坐标 6(x1)…6φ(xn》 r阿=∑鼎ro6国，…，七))-时k)-小4学不8合福子 =0 rl=-v(o :包含所有有效作用量中不含场的微商的相互作用国 Oven[o] =0 0 (x)=⊙十(x,D中=D应，若略去量子涨落(x)园图的页献 Z=e"W=e-v+Ja1→wW= x-V(中)+J(x) r问=wW-dxJw6=-V向d=型a(何=v©0的E西要利gm 标准模型对真空的非微扰估计主要就是在此水平上进行的！ 另加小的图图修正 m(同=∑tro0,rn)6-r=∑ro=an=6- 量电动力学对称性自发破
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ý➌✕✛➨↔Ø❈✺: φˆ(x) J=0 === φˆ(x+a) ý➌Ï✧❾➫❺❿■➹✬✛⑦ê ! ï➘ä❦➨↔Ø❈✺✛φˆ(x) = φˆ Γ (n) (x1, · · · , xn) ≡ δ nΓ δφˆ(x1)· · · δφˆ(xn) ➄➑✻n − 1❻❿■ Γ[φˆ] = X n Z d 4 x1 · · · d 4 xn 1 n! Γ (n) (x1, · · · , xn)[φˆ(x1) − v] · · · [φˆ(xn) − v]é➨↔Ø❈φˆ➵➌✒◆R d 4 xÏ❢ Γ[φˆ] = −Veff(φˆ) Z d 4 x ➑➵↕❦❦✟❾❫þ➙Ø➵⑤✛❻û✛❷♣❾❫➅ δΓ δφˆ ˛ ˛ ˛ ˛ J=0 =0 =====⇒ ∂Veff[φˆ] ∂φˆ ˛ ˛ ˛ ˛ φˆ=v = 0 φ(x) = φˆ + φ˜(x), Dφ = Dφ˜, ❡Ñ✖þ❢Þáφ˜(x) ✗ã✛③ Z[J] = e iW[J] = e i R d 4 x[−V(φˆ)+J(x)φˆ] ⇒ W[J] = Z d 4 x[−V(φˆ) + J(x)φˆ] Γ[φˆ] = W[J] − Z d 4 x J(x)φˆ = −V(φˆ) Z d 4 x Ñ✖φ˜(x) ====⇒ Veff(φˆ) = V(φˆ) φ˜(x)✛❄✔■❻❖➂✗ã➐ ■❖✜✳éý➌✛➎❻✻✎❖❒❻Ò➫✸❞❨➨þ❄✶✛➐ ✱❭✂✛✗ã❄✔ Veff(φˆ)=− X n Z d 4 x2· · ·d 4 xn 1 n! Γ (n) (0, x2−x1,· · ·, xn−x1)(φˆ−v) n=− X n 1 n! Γ (n) (p1 =0, · · · , pn =0)(φˆ−v) n ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
日录 阁图展开与有复势 Coleman-Weinberg厘i论 Gross-Neveu模型 局域发合算管的有液势 00000●00000 p00000000 0000000 0o0000 有效势的泛函计算 R.Jackiw,Phys.Rev.D9,1686(1974) J.lliopolous,C.Itzykson,and A.Martin,Rev.Mod.Phys.47,165(1975) s=dxc s,=d'x(C+ 经典解中满足： sl则=0→ 5Soa] Soa 5oa(x) =-J) φ=中+b 5loa+可)=syoa+5∫idyd国aaa可 6S[pu】 0y)+Iima,可 oa0+3w=0D(a列=aa品可 6S[oa] S(ou+可)=S(oa)+/dxdy)iD-'(aix.y)6)+mpa,可 Z刚=M=∫Dea+间=w∫D6eaD-o0n =(a)Do(=(a)-a) 0(h) o(仿') 0(62) ☑=es0=/roaD-tdo+aa e(生了产o6)iD-1(中a)o0)】 Det-iiD-(d)=e-(a) 王青( 动力学对称性自发破
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ ❦✟➩✛➁➻❖➂ I R.Jackiw, Phys.Rev.D9,1686(1974) I J.Iliopolous, C.Itzykson, and A.Martin, Rev. Mod. Phys.47, 165(1975) S = Z d 4 x L SJ = Z d 4 x (L + Jφ) ➨❀✮φcl÷✈➭ δSJ [φcl] δφcl = 0 ⇒ δS[φcl] δφcl(x) = −J(x) φ = φcl + φ˜ SJ (φcl + φ˜) = SJ (φcl) + 1 2 Z d 4 xd4 yφ˜(x) δS[φcl] δφcl(x)δφcl(y) φ˜(y) + Iint[φcl, φ˜] J(x)φ˜(x) + δS(φcl) δφcl(x) φ˜(x) = 0 iD −1 (φcl; x, y) ≡ δS[φcl] δφcl(x)δφcl(y) SJ (φcl + φ˜) = SJ (φcl) + 1 2 Z d 4 xd4 y φ˜(x)iD −1 (φcl; x, y)φ˜(y) + Iint[φcl, φ˜] Z[J] = e iW[J] = Z Dφ e iSJ [φcl+φ˜] = e iSJ (φcl) Z Dφ e i{ 1 2 R d 4 xd4 yφ˜(x)iD−1 (φcl;x,y)φ˜(y)+Iint[φcl,φ˜]} = e iSJ (φcl) Z Dφ e i{ 1 2 R d 4 xd4 yφ˜(x)iD−1 (φcl;x,y)φ˜(y)} Z2[J] = e iSJ (φcl)− 1 2 Tr ln D−1 (φcl)+iW2 [J] O(~ 0 ) O(~ 1 ) O(~ 2 ) Z2[J] = e iW2 [J] = e i{ 1 2 R d 4 xd4 yφ˜(x)iD−1 (φcl;x,y)φ˜(y)+Iint[φcl,φ˜]} e i{ 1 2 R d 4xd4yφ˜(x)iD−1(φcl;x,y)φ˜(y)} Det− 1 2 iD −1 (φcl) = e − 1 2 Tr ln iD−1 (φcl) ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
阁图展开与有效势 Coleman-Weinberg厘论 Gross-Neveu模型 局域复合算管的有领势 000000●0000 00000000 0000000 o0000 W[J]Wo(J]+Wi[J]+W2[J] Wo[]=S(oa)=S(oa)+ d'x Joa W=TrIn iD-《a 6W 6W% 6S[oa]5oa(y) 5J(x) +86+a6tr-=a8 中=+p1 6WL WL=W1+W =WU-/dxJ=Slod]+/'xJeal(@a-)+W:loaj-sl3-0iJ+/dxJo.+Wl3-@] -明-器a+盟oa60-h +w[ -+o 66x) [器+-器 ∫0+a r肉=调-/y6oo0+的-/器国+o的 =T向+T向+T向+O(h) 王 动力学对称性自发破缺
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ W[J] = W0[J]+W1[J]+W2[J] W0[J] = SJ (φcl) = S(φcl)+Z d 4 x Jφcl W1[J]= i 2 Tr ln iD −1 (φcl) φˆ = δW δJ δW0 δJ(x) = Z d 4 y δS[φcl] δφcl(y) δφcl(y) δJ(x) + Z d 4 y [ δφcl(y) δJ(x) J(y) + φcl(y)δ(x − y)] = φcl(x) φˆ = φcl + φ1 φ1 = δWL δJ(x) WL = W1 + W2 Γ[φˆ]=W[J]− Z d 4 xJφˆ=S[φcl]+Z d 4 x J[φcl](φcl−φˆ)+WL[φcl] = S[φˆ−φ1]+Z d 4 x Jφ1+WL[φˆ−φ1] = S[φˆ] − Z d 4 x δS[φˆ] δφˆ(x) φ1(x) + 1 2 Z d 4 xd4 y φ1(x) δS[φˆ] δφˆ(x)δφˆ(y) φ1(y) − Z d 4 x J[φcl]φ1 +WL[φˆ] − Z d 4 x δWL[φˆ] δφˆ(x) φ1(x) + O(~ 3 ) Z d 4 x " δS[φˆ] δφˆ(x) + J[φcl] # φ1(x) = Z d 4 x » δS[φcl] δφcl(x) + Z d 4 y δ 2 S[φcl] δφcl(x)δφcl(y) φ1(y) + J[φcl] – φ1(x) Γ[φˆ] = S[φˆ] − 1 2 Z d 4 xd4 y φ1(x) δS[φˆ] δφˆ(x)δφˆ(y) φ1(y) + WL[φˆ] − Z d 4 x δWL[φˆ] δφˆ(x) φ1(x) + O(~ 3 ) = Γ0[φˆ] + Γ1[φˆ] + Γ2[φˆ] + O(~ 3 ) ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
日录 阁图展开与有复势 Coleman-Weinberg厘论 Gross-Neveu模型 局域复合算管的有领势 0000000●000 000000000 0000000 0o0000 T[响=o©+T向+「z+O(h) Ta阿=S响 T[向=w向=TrnD(⊙) 胸=-∫dd因盟oo)+购的-∫ng国 6S间 6() 生型三以D-'(;x,)为传播子，m⊙，可为相面作用顶角的所有一粒子论可约两圈图 r肉=s胸+nD'网+-∑r.肉（○（● Tn[可=以D(;x,y)为传播子，I[中，可为相互作用顶角的所有一粒子论可约n圈图 =W-6=D-》=D+6 T1+T2=T-To=-iln D6e+1-+/=-in Doef+(. =-D0+D+D= OD-1 D-iD4 oe D-+D--D--G+DID- 血+ΠD加+…】连接侧→是一粒子论可约的 量逾避动力学对称性自发破故
✽➵ ✗ãÐ♠❺❦✟➩ Coleman-Weinberg♥Ø Gross-Neveu✜✳ Û➁❊Ü➂❰✛❦✟➩ Γ[φˆ] = Γ0[φˆ] + Γ1[φˆ] + Γ2[φˆ] + O(~ 3 ) Γ0[φˆ] = S[φˆ] Γ1[φˆ] = W1[φˆ] = i 2 Tr ln iD −1 (φˆ) Γ2[φˆ] = − 1 2 Z d 4 xd4 y φ1(x) δS[φˆ] δφˆ(x)δφˆ(y) φ1(y) + W2[φˆ] − Z d 4 x δW2[φˆ] δφˆ(x) φ1(x) ➣❙⑦❢ ==== ➧D −1 (φcl; x, y)➃❉➶❢, Iint[φ, ˆ φ˜]➃❷♣❾❫➸✍✛↕❦➌â❢Ø➀✕ü✗ã Γ[φˆ] = S[φˆ] + i 2 Tr ln iD −1 (φˆ) + Γ2 Γ2 = X∞ n=2 Γn[φˆ] Γn[φˆ] = ➧D(φcl; x, y)➃❉➶❢, Iint[φ, ˆ φ˜]➃❷♣❾❫➸✍✛↕❦➌â❢Ø➀✕n✗ã e iΓ[φˆ] = e iW[J]−i R d 4 x Jφˆ = Z Dφ e iS[φ]+i R d 4 x J(φ−φˆ) = Z Dφ˜ e iS[φˆ+φ˜]+i R d 4 x Jφ˜ Γ1 + Γ2 = Γ − Γ0 = −i ln Z Dφ˜ e i{S[φˆ+φ˜]−S[φˆ]+Jφ˜} = −i ln Z Dφ˜ e i R d 4 x [ 1 2 φ˜iD−1φ˜+Lint(φ, ˆ φ˜)] ∂Γ2 ∂D = −D−1∂(Γ1 + Γ2) ∂D−1 D −1+ i 2 D −1 = i 2 D −1 R Dφ˜ φ˜φ˜ e i··· R Dφ˜ e i··· D −1+ i 2 D −1 = i 2 D −1 [−G+D]D −1 G = D + DΠD + DΠDΠD + · · · =============== − i 2 [Π + ΠDΠ + · · · ] ë✚ã ⇒ Γ2➫➌â❢Ø➀✕✛ ✜➇ (➌✉➀➷) â❢♥Ø❀❑ ➘ å ➷ é → ✺ ❣ ✉ ➺ ✧
