《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）第二章 控制系统的数学模型 2. 2 微分方程

第二章数学模型2. 2 行微分方程2.2.1线性系统微分方程的建立2.2.3微分方程的求解CURP

2. 2 微 分 方 程 第二章 数学模型 2.2.1 线性系统微分方程的建立 2.2.3 微分方程的求解

第二章数学模型2.2.1线性系统微分方程的建立（1）确定系统各元件的输入、输出变量。并根据需要引入中间变量。(2)）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据物理、化学基本定律写出系统各元件的动态方程程式。一般为微分方程组，(3)消去中间变量，写出只含系统或元件输入、输出变量的微分方程(4)标准化一一将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，各阶导数按降幕幂排列

（1）确定系统各元件的输入、输出变量。并根据需要 引入中间变量。 （2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据物理、 化学基本定律写出系统各元件的动态方程程式。一般 为微分方程组。 （3）消去中间变量，写出只含系统或元件输入、输出 变量的微分方程。 （4）标准化——将与输入有关的各项放在等号右边,与 输出有关的各项放在等号左边，各阶导数按降幂排列。 第二章 数学模型 2.2.1 线性系统微分方程的建立

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）例1.RC网络，u,为输入，u.为输出，列微分方程。解:Ri+u.=uRJidtduC=dtduRCtu.....()=udtCURRE则有TRC为时间常数，！VduT+u.=ur（一阶微分方程）dt

例1. RC 网络， 为输入， 为输出，列微分方程。 r u c u R C i ur uc R i  uc  ur   idt C uc 1 dt du i C c  线性系统微分方程的建立(续) 解： 令T=RC为时间常数，则有 c r c u u dt du T   （一阶微分方程） .(1) 第二章 数学模型 c r c u u dt du RC  

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）例2.R-L-C电路，u.为输入，u.为输出，列微分方程解：L兴++Ri+u.=udtduidt-→i=CdtdidtdtdudU故LC+RC（二阶微分方程）=udt2dtLT,=RC均为时间常数令T,?R

例2．R-L-C 电路， ur 为输入， uc 为输出, 列微分方程。 R i uc ur dt di L        dt du idt i C C u c c 1 2 2 dt d u C dt di c   R L i r u c u 解： c r c c u u d t d u R C d t d u L C    2 2 故 （二阶微分方程） T R C R L 令T1  ， 2  均为时间常数 第二章 数学模型 线性系统微分方程的建立(续)

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）d'udu则有T,T,u.=u,...... (2)dtdt例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统当外力F)作用时，系统将产生运F(t)动x()一位移。m解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻+x(t)尼器阻力之和与之不平衡，则质量m将有加速度，并使速度和位移改变。根据牛顿第二定律有

(2) 2 2 2 1 2 c c uc ur  d t d u T d t d u 则 有T T    例3. 弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。 当外力F(t)作用时，系统将产生运 动x(t) —位移。 解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻 尼器阻力之和与之不平衡，则质 量 m将有加速度，并使速度和位 移改变。根据牛顿第二定律有： 第二章 数学模型 线性系统微分方程的建立(续)

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）F(t)-F(t)-F(t)=mdtF(t)→弹簧恢复力FmF2(t)→阻尼器阻力+x(t)假设弹簧是线性的，则F(t)=kx假设阻尼器阻力与速度成正比，则dxF2(t) =CURRENdtmd'xIfdxF(t)（二阶微分方程）FX=k dt?kk dt

假设弹簧是线性的，则         (t) 阻尼器阻力 弹簧恢复力 2 1 2 2 1 2 F F t dt d x F t F t F t m ( ) ( ) ( ) ( ) F (t)  kx 1 假设阻尼器阻力与速度成正比，则 dt dx F (t)  f 2 第二章 数学模型 ( ) （二阶微分方程） 1 2 2 F t k x d t d x k f d t d x k m     线性系统微分方程的建立(续)

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）1今TVmkdxdX+X = KF(t).....(3).则T22STdt2dtduTT,u=u.......2dtdt比较（2）、（3）式可以发现：当两方程的系数相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究

, 1 , 2 , k K mk f k m 令T     比较(2)、(3)式可以发现： 当两方程的系数相同时，从动态性能的角度看，两系统 是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研 究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行 普遍意义的分析研究。 2 ( ) 2 2 2 x K F t dt dx T dt d x 则T     .(3) 第二章 数学模型 (2) 2 2 2 1 2 c c uc ur  d t d u T d t d u T T    线性系统微分方程的建立(续)

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）例4、试列写闭环调速控制系统的微分方程先建立各元件的微分方程，再合并，消去中间变量R2R5体滋大十复线1oL1MTG

例4、试列写闭环调速控制系统的微分方程。 先建立各元件的微分方程，再合并，消去中间变量。 第二章 数学模型 线性系统微分方程的建立(续)

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）R2A为虚地点1、运放1：R1gug-uf-uioLf。RRRR2R2(ug-uru,=RCURREN= K,(ug -uf)

1、运放Ⅰ： 2 1 1 1 R u R u R ug f   第二章 数学模型 ( ) ( ) 1 1 2 1 g f g f K u u u u R R u     线性系统微分方程的建立(续)

第二章数学模型线性系统微分方程的建立（续）R1、运放1：R(ug-u,)=K,(ug-uf)ui2、功放：K,uuaL3、电机：（例题2.3结果）d2dMdoQT.T7+M.+0=KU.-K(T+mm2dt?dtdt4、测速机：u.=K.·の0CURSTG十最后合并上述方程有：

第二章 数学模型 2、功放： 3、电机：（例题2.3结果） ( ) 2 2 c c a m m u a m a M d t d M K U K T d t d T d t d T T         4、测速机： u f  K f  最后合并上述方程有： 1、运放Ⅰ： ( ) ( ) 1 1 2 1 ug u f K ug u f R R u     线性系统微分方程的建立(续)