第七章离散系统7.4离散系统的数学模型为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图信号流图、脉冲响应函数及频率特性等：而离散系统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代控制理论》中讲授。7.4.1线性常系数差分方程设输入序列为r(n)[r(nT)的简记]，输出序列为c(n)且记作c(n)=F[r(n)l.若上式为线性关系，则称为线性
7.4 离散系统的数学模型 为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连 续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、 信号流图、脉冲响应函数及频率特性等；而离散系 统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表 达式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代 控制理论》中讲授。 7.4.1 线性常系数差分方程 设输入序列为 r(n) [ r(nT) 的简记],输出序列为 c(n), 且记作 c(n) F[r(n)]。 若上式为线性关系,则称为线性 第七章 离散系统
第七章离散系统差分方程（续）离散系统，否则为非线性离散系统。输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统。它可以用线性定常差分方程来描述。1.差分设连续函数为y(t)，其采样函数为y(k)其一阶前向差分为 Ay(k)= y(k +l)-y(k)CURREN其二阶前向差分： y(k) = A[Ay(k)| = △[y(k + 1) - y(k)l= △y(k +1) - △y(k) = y(k + 2) - 2y(k +1) + y(k)
离散系统，否则为非线性离散系统。 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散 系统称为线性定常离散系统。它可以用线性定常 差分方程来描述。 差分方程（续） 1. 差分 设连续函数为 y(t) ，其采样函数为 y(k)， 其一阶前向差分为 y(k) y(k 1) y(k) 其二阶前向差分： ( 1) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k y k y k y k y k y k y k y k y k 第七章 离散系统
第七章离散系统差分方程（续）其一阶后向差分：Vy(k)=y(k)-y(k-1)其二阶后向差分：V"y(k) = V[y(k) - (k-1)l = Vy(k) - Vy(k -1)= y(k)-2y(k-1)+ y(k-2)2.差分方程一般地, n时刻的 c(n)不仅与 r(n)有关，且与n时刻以前的 r(n-1)r(n-2).………..有关，还与c(n-1) c(n -2)......有关。为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统
差分方程（续） 其一阶后向差分： y(k) y(k) y(k 1) 其二阶后向差分： ( ) 2 ( 1) ( 2) ( ) [ ( ) ( 1)] ( ) ( 1) 2 y k y k y k y k y k y k y k y k 2. 差分方程 一般地,n时刻的 c(n) 不仅与 r(n) 有关，且与n时 刻以前的 r(n 1)、r(n 2)、 有关，还与 c(n 1)、c(n 2)、 有关。 为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统 第七章 离散系统
第七章离散系统差分方程（续）的输入输出关系：c(k +n)+ajc(k + n -l) +...+an-ic(k + 1)+ anc(k)= bor(k +m)+b,r(k +m-1)+...+bm-μr(k +1)+bmr(k)也可用n阶后向差分方程描述c(k)+a,c(k-1)+...+an-c(k-n+1)+a,c(k-n)= b,r(k)+ b,r(k-1)+..+ bm-r(k-m+1)+bmr(k- m)例1：求如图所示系统的差分方程K
的输入输出关系： ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k m b r k m b r k b r k c k n a c k n a c k a c k m m n n ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k b r k b r k m b r k m c k a c k a c k n a c k n m m n n 也可用n阶后向差分方程描述 例1：求如图所示系统的差分方程。 r e c s 1 K c 差分方程（续） 第七章 离散系统
第七章离散系统差分方程（续）K解: : c(t) = Ke(t) = Kr(t) - Kc(t):: c(t)+ Kc(t) = Kr(t)dc(t)在t =kT时的值可用一阶前向: c(t) =dt差分来近似，即：dc(t)c(k+1)-c(k)URrc(k+1)-c(k)limc(t) =一TTdtT→0差分方程为： c(k+1)+(kT 1)c(k)= kTr(k)
解： c (t) Ke(t) Kr(t) Kc(t) c (t) Kc(t) Kr(t) dt dc t c t ( ) ( ) 在t kT 时的值可用一阶前向 差分来近似，即： dt dc t c t ( ) ( ) T c k c k T c k c k T ( 1) ( ) ( 1) ( ) lim 0 差分方程（续） 第七章 离散系统 r e c s 1 K c 差分方程为：c(k 1) (kT 1)c(k) kTr(k)
第七章离散系统3.差分方程的求解1）送代法：由前向n阶差分方程可得输出序列的递推关系：mc(k+n)=-ZZa,c(k+n-i)+b,r(k+m-j)i=1j=0m寻 c(k)=-EcZa,c(k-i)+b,r(k-j)由后向n阶得lj=0当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系可以逐步求出系统在给定输入序列作用下的输出序列（用计算机最为方便）
3. 差分方程的求解 1）迭代法： m j j n i i c k n a c k n i b r k m j 1 0 ( ) ( ) ( ) 由后向n阶得 m j j n i i c k a c k i b r k j 1 0 ( ) ( ) ( ) 当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系， 可以逐步求出系统在给定输入序列作用下的输出 序列（用计算机最为方便） 。 由前向n阶差分方程可得输出序列的递推关系： 第七章 离散系统
第七章离散系统差分方程（续）例2：已知差分方程为c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)输入序列r(k)=1，初始条件为 c(0)=0,c(1)=1试用选代法求输出序列c(k)：k=0,1,2,,10。解：根据初始条件及递推关系得：c(0) = 0, c(1) =1, c(2) = r(2)+5c(1) - 6c(0) = 6c(3) = r(3) + 5c(2)- 6c(1) = 25c(4) = r(4) + 5c(3) - 6c(2) = 90JRREc(5) = r(5) +5c(4)-6c(3) = 301c(6) = r(6) + 5c(5) - 6c(4) = 966c(7) = r(7) +5c(6) -6c(5) = 3025
例2：已知差分方程为 c(k) r(k) 5c(k 1) 6c(k 2) 输入序列r(k)=1，初始条件为 c(0) 0,c(1) 1 试用迭代法求 输出序列 c(k) : k 0,1,2, ,10。 解： 根据初始条件及递推关系得： c(0) 0，c(1) 1，c(2) r(2) 5c(1) 6c(0) 6 (4) (4) 5 (3) 6 (2) 90 (3) (3) 5 (2) 6 (1) 25 c r c c c r c c (6) (6) 5 (5) 6 (4) 966 (5) (5) 5 (4) 6 (3) 301 c r c c c r c c c(7) r(7) 5c(6) 6c(5) 3025 差分方程（续） 第七章 离散系统
第七章离散系统差分方程（续）c(8) = r(8) +5c(7) -6c(6) = 9330.c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=28501c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=865262）z变换法：与连续系统用拉氏变换解微分方程一样，用变换解差分方程。先对差分方程两边求z变换，使差分方程变为以z为变量的代数方程，得到C(z)再求反变换可求得输出序列c(k）。CURREN例3: c* (t + 2T)+ 3c*(t + T) + 2c* (t) = 0,c(0) = 0,c(1) = 1.解：差分方程为：c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0
c(8) r(8) 5c(7) 6c(6) 9330, c(9) r(9) 5c(8) 6c(7) 28501 2）z变换法： 与连续系统用拉氏变换解微分方程一样，用z变换 解差分方程。先对差分方程两边求z变换，使差分 方程变为以z为变量的代数方程，得到C(z)再求反 变换可求得输出序列c(k) 。 例3： ( 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 0, (0) 0, (1) 1. * * * c t T c t T c t c c 解：差分方程为：c(k 2) 3c(k 1) 2c(k) 0 差分方程（续） 第七章 离散系统 c(10) r(10) 5c(9) 6c(8) 86526
第七章离散系统差分方程（续）差分方程为：c(k+2)+3c(k+1)+2c(k）=0两边求变换，用超前定理：zC(z) - z°C(0) - zC(1) + 3zC(z) - 3zC(0) + 2C(z) = 0z°C(z) +3zC(z) + 2C(z) = z: C(2)= 2 +3z+2Z+2z+1(z+1)(z+2):. c(k) =(-1)* -(-2)CURRENO或 c(t) = E[(-1)" -(-2)"J8(t -nT).n=0
z C(z) 3zC(z) 2C(z) z 2 3 2 ( 1)( 2) 1 2 ( ) 2 z z z z z z z z z z C z k k c(k) (1) (2) 或 0 * ( ) [( 1) ( 2) ] ( ). n n n c t t nT ( ) (0) (1) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) 0 2 2 z C z z C zC zC z zC C z 差分方程（续） 差分方程为： c(k 2) 3c(k 1) 2c(k) 0 两边求z变换，用超前定理： 第七章 离散系统
第七章离散系统7.4.2脉冲传递函数线性连续系统理论中，将初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比定义为传递函数。对于线性离散系统，可类似定义一种脉冲传递函数1.定义：STTGz在线性离散系统中，把初始条件为零时，系统输出信号的变换与输入信号的变换之比，定义为脉冲传递函数，或称Z传递函数，用G(z）表示：
在线性离散系统中,把初始条件为零时，系统输出 信号的z变换与输入信号的z变换之比，定义为脉冲 传递函数，或称Z传递函数，用G(z)表示： 7.4.2 脉冲传递函数 线性连续系统理论中，将初始条件为零时，系统输 出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比定义 为传递函数。对于线性离散系统，可类似定义一种 脉冲传递函数。 1.定义: 第七章 离散系统