第七章离散系统Z变换7.32线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳态性能。Z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就CURREN是离散信号的拉普拉斯变换
线性连续控制系统可采用线性微分方程来描 述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性 能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳 态性能。Z变换是研究离散系统的主要数学工 具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就 是离散信号的拉普拉斯变换。 7.3 Z变换 第七章 离散系统
第七章 离散系统Z变换的定义7.3.1已知连续信号t)的拉普拉斯变换为：F(s)= LLf(t)]= J~ f(t)e-st dt而连续信号ft)经过采样后的离散信号f*(t)为：0Of*(t)= Ef(nT)S(t -nT)n=0它的拉普拉斯变换为：8F"(s)=LF(t)=Zf(nT)e-Isn=0CURRE可见：上式含有s的超越函数e-nTs，不便于计算，故引入一个新的复变量z
它的拉普拉斯变换为： 0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e 7.3.1 Z变换的定义 第七章 离散系统 已知连续信号f(t)的拉普拉斯变换为： 0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st 而连续信号f(t)经过采样后的离散信号f * (t)为： 0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT t nT 可见：上式含有s的超越函数e -nTs ，不便于计算，故 引入一个新的复变量z
第七章离散系统Z变换（续）令z=e"或s==llnz（z是一个复变量），则有：TF(z)= F*(s)Im- -Ef(nT)z-"Im1=0如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f*(t)的z变换，记作Z\f*(t)]=F(z)。指出：F(z)是f*(t)的z变换，它只考虑了采样时刻的信号值f(nT）。但对于连续信号f(t)而言，由于在采样时刻f(t)的值就是f(nT)，所以也称F(z)是f(t)的z变换，即Ef(nT)z-"ZLf(t))= ZLf*(t)l= F(z)=n=0an
Ts 令z e z (z是一个复变量)，则有： T s ln 1 或 第七章 离散系统 Z变换（续） 0 l n 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s F z F s f nT z 如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f * (t)的z 变 换，记作Z[f * (t)]=F(z)。 指出: F(z)是f * (t)的z 变换，它只考虑了采样时刻的 信号值 f (nT) 。但对于连续信号 f (t)而言，由于在 采样时刻 f (t) 的值就是 f (nT) ，所以也称 F(z)是f(t) 的z 变换， 即 0 * [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) n n Z f t Z f t F z f nT z
第七章离散系统Z变换的求法7.3.21.级数求和法：将离散级数f*(t)展开：8f"(t)=Zf(nT)8(t-nT)n=0= f(O)S(t)+ f(T)S(t -T)+ f(2T)S(t -2T)+...+ f(nT)o(t-nT)+...则F*(s)= f(0)×1+ f(T)e-s + f(2T)e-2Ts ++ f(nT)e-n's f(nT)e-ns +或F(z)= f(0)×1+ f(T)z-I + f(2T)z-2 ++ f(nT)z-n +
7.3.2 Z变换的求法 1．级数求和法： 将离散级数 ( ) : f * t 展开 第七章 离散系统 n f nT z F z f f T z f T z ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 或 1 2 0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT t nT ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) f nT t nT f t f T t T f T t T nTs nTs Ts Ts f nT e f nT e F s f f T e f T e ( ) ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 则 * 2
第七章离散系统Z变换的求法云（续）F(z)= f(O)×1+ f(T)z-I + f(2T)z-2 +...+ f(nT)z-" +..这是离散信号f*(t)的Z变换展开形式，只要知道t)在各个采样时刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。例1：求单位阶跃1(t）的Z变换。解：1(t)在任何采样点的值均为1，:.1(nT)=1: Z[1(t)I = z° + z- + z-2 + .....·+之n公比为z-"；若满足--}<1,则有：
这是离散信号f * (t) 的Z变换展开形式，只要知道f(t) 在各个采样时刻的数值，即可求得其Z变换。这种级 数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常 写成闭合形式。 Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 F(z) f (0)1 f (T)z 1 f (2T)z 2 f (nT)z n 解：1(t)在任何采样点的值均为1， Z[1(t)] z 0 z 1 z 2 z n 1 公比为 z ；若满足 1 1 z ，则有： 1(nT) 1 例1：求单位阶跃1(t)的Z变换
第七章离散系统(续）Z变换的求法一(z>1)z[1(t)] :1-77-1例2:求f(t)=e-(a>0)的z变换。解: f*(t)= f(nT) =e-anTF(z)=1+e-aTz-1公比为(e"Tz)-若le"Tz>1,则有F(z)=1-(e z)-ar如已知：a=1,T=0.5,则 F(z)=-0.5z - 0.606
解： anT f t f nT e ( ) ( ) * F(z) 1 e aT z 1 e 2aT z 2 ( 1) 1 1 1 [1( )] 1 z z z z Z t 例2： ( ) ( 0) f t e a 求 at 的Z变换。 Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 公比为 1 ( ) e z aT 若| e aT z| 1,则有： ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 a T a T a T z e z e z e z F z 如已知：a=1,T=0.5,则 0.606 ( ) 0.5 z z z e z F z
第七章离散系统Z变换的求法（续）2.部分分式法：M(s)若F(s)=则展开为部分分式和的形式为：N(s)2A,而对应A,e'tF(s)=S-SS-Si=lA,zA:7V且A,e对应z-esT:.. F(2) =)i-iz-esS例3：求具有F(s)=的f(t)的Z变换 F(z)。s(s+a)1则f(t) =1-e-at解: F(s)=s(s+a)Ss+a
2. 部分分式法： ( ) ( ) ( ) N s M s 若F s ，则展开为部分分式和的形式为： ( ) , 1 k i i i s s A F s s t i i i i Ae s s A 对应 而 Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 k i s T i s T s t i i i i i z e A z F z z e A z A e 1 且 对 应 ； ( ) 例3：求具有 ( ) ( ) s s a s F s 的f(t)的Z变换 F(z)。 解： , 1 1 ( ) ( ) s s a s s a s F s at f t e 则 ( ) 1
第七章 离散系统(续）Z变换的求法f(t)=1-e-atz(1-e-aT):. F(z)e-aTz? -(l+e-aT)z+e-arz-1例4：求f(t)= sinat的F(z)Q解: F(s)=2js+j2js-joaF(z)2jz-e-joTejoT2iCURRENz(ejop-jolzsinoT2jlz2 -(ejoT +e-joT )z+1)z~-(2cos@T)z+1
a T a T a T a T z e z e z e z e z z z F z (1 ) (1 ) 1 ( ) 2 例4： 求f (t) sint的F(z) 解： s j s j j s j F s 1 2 1 1 2 1 ( ) 2 2 at f t e ( ) 1 (2cos ) 1 sin 2 [ ( ) 1] ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 2 z T z z T j z e e z z e e z e z z e j z j F z j T j T j T j T j T j T Z变换的求法（续） 第七章 离散系统
第七章 离散系统Z变换的求法（续）3.留数计算法：若已知f(t)的拉氏变换为F(s)及其全部极点s:，则可用留数法求得F（z）：kTARRes[F(s,)F(z)= ZLf*(t)l=1=esT台i=1Z其中Res[F(s))为F(s在s = s,时的STz-esTz-e留数。CURRE当F(s)具有一阶极点S=s,时，其留数R为R, = lim(s-s,)[F(s)57S-→Si7-
若已知f(t)的拉氏变换为F(s)及其全部极点si ,则可 用留数法求得F(z) ： 3. 留数计算法： k i i k i i s T R z e z F z Z f t F s i 1 1 * ( ) [ ( )] Res[ ( ) ] Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 其 中Res[ ( i ) s T ]为 i z e z F s s T z e z F s ( ) i 在s s 时的 留数。 当F(s)具有一阶极点 i s s 时，其留数Ri为 lim( )[ ( ) ] i s T s s i z e z R s s F s i
第七章离散系统（续）Z变换的求法二若F(s)具有g阶重极点（s=s,为重根）,则：dg-1limR(q-1)m ds- [(s-s,)"F(s)057S+3例5:求F(s)=的f(t)的F(z)(s +1)(s + 2)nA解: F(z)=Res[F(s,)OST一i=1S+32S=-2大S+2zlz + e-T -2e-2T12z-37oz+e
lim [( ) ( ) ] ( 1)! 1 1 1 s T q q i q s s i z e z s s F s ds d q R i 若F(s)具有q阶重极点 (s si为重根),则： Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 例5： ( 1)( 2) 3 ( ) s s s 求F s 的f (t)的F(z) 解： ( ) Re [ ( ) ] 1 s T n i i i z e z F z s F s T T Ts s Ts s z e z z e z z e z s s z e z s s 2 1 2 2 1 3 2 3 T T T T T z e e z e z z e e 2 2 3 2 ( ) [ 2 ]