第二章数学模型 2.3 传递函数 用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰，简单实 用，但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之 改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就 必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大， 故引入另一种数模一传递函数。它是控制理论中的 重要概念和工具，也是经典理论中两大分支一根轨 迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微分 方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用 下的动态过程
2.3 传 递 函 数 用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实 用,但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之 改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就 必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大， 故引入另一种数模—传递函数。它是控制理论中的 重要概念和工具，也是经典理论中两大分支—根轨 迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微分 方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用 下的动态过程。 第二章 数学模型
第二章数学模型 2.3 传递函数 2.3.1传递函数与脉冲响应函数 2.3.2典型环节及其传递函数
2.3 传 递 函 数 第二章 数学模型 2.3.1 传递函数与脉冲响应函数 2.3.2 典型环节及其传递函数
第二章数学模型 2.3.1传递函数与脉冲响应函数 1、传递函数的定义：以RC网络为例。 R RC +，=ag 设4.(0)=0 dt 则有RCsU.(s)+U,(s)=U,(s 即(RCs+1)U.(s)=U,(s) .U(s)= U,(s) RCs+1 其中U,(s)随u,(t)形式而变， 1 而 RCs+1 完全由网络的结构及参数确定。 令G(s)= U.(s) U,(s) RCs+1 则有U(s)=G(s)U,(s)
2.3.1 传递函数与脉冲响应函数 ur uc R C i c r c u u d t d u R C + = ，设 ( 0 ) = 0 c u 则有 R C s U ( s ) U ( s ) U ( s ) c c r + = ( ) U (s) R C s U s c r 1 1 + = U (s) r u (t ) 其中 随 r 形式而变， 而 1 完全由网络的结构及参数确定。 1 RCs + 1 1 + = = U s RCs U s G s r c ( ) ( ) ( ) U ( s ) G ( s )U ( s ) . c r 令 ,则有 = 以 R C 网络为例。 第二章 数学模型 ( RCs 1 )U ( s ) U ( s ) c r 即 + = 1、传递函数的定义：
第二章数学模型 传递函数（续） 若U,(s不变，则U(s)的特性完全由G(s)的形式与 数值来决定，且G(s)将U,(s)传到了U.(s): .G(s)反映了系统自身的动态本质，表达了传递信 号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。 定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时， 输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比叫做 系统的传递函数 C(s) G(S)= R(s) C(s) R(s) G(s)
定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时， 输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比叫做 系统的传递函数 。 ( ) ( ) ( ) C s G s R s = 反映了系统自身的动态本质，表达了传递信 号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。 数值来决定，且 U (s) r U (s) c G (s) G (s) U (s) r G ( s ) 若 不变，则 的特性完全由 将 传到了 的形式与 U (s). c 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型 R s( ) C s( ) G s( )
第二章数学模型 传递函数（续） 设线性定常系统的微分方程一般形式为： d"c d"c(t) de( dt"-1 +.+m- -a,c(t) dt =b 0+b d"'r(t) +.+b dt" dtm-1 m-] dr(t)+br(t) dt d 当初始条件为零时有： S← dt [as”+a,s"-+.+an-S+an]JC(s) =[bos"+bs"++bms+bmJR(S)
设线性定常系统的微分方程一般形式为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 a c t d t d c t a d t d c t a d t d c t a n n n n n n + + + + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 b r t d t d r t b d t d r t b d t d r t b m m m m m m = + + + + − − − 当初始条件为零时有： 1 0 1 1 1 0 1 1 [ ] ( ) [ ] ( ) n n n n m m m m a s a s a s a C s b s b s b s b R s − − − − + + + + = + + + + 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型 d s dt
第二章数学模型 传递函数（续） 则G(s)= C(s)bos"+bis"++bmis+bm R(s) ans”+a1Sn-1+.+am-1S+0n :S=o+j0为复数，.G(s)是复变量s的函数， 故称为复放大系数。 可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c()有关的项为分母，与r0有关的项为分子。 例1.RC网络：微分方程 dt 则传递函数 G(s)= Ts+1
是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。 s = + j 为复数， G ( s ) n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 则 可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c(t) 有关的项为分母，与r(t) 有关的项为分子。 c r c u u d t d u 例1. RC网络：微分方程 T + = 则传递函数 1 1 ( ) + = T s G s 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 例2.RLC网络： 微分方程：LCg+RC duc ue ur dt 传递函数：G(s)= 一1， LCs2+RCs+1 例3.弹簧-质量-阻尼系统。一一一一一一一 微分方程：Tx +257 dx +x=KF(t） dt 传递函数： 1G(s)= T2s2+25Ts+1 不同系统可以具有相同的传函
例3．弹簧-质量-阻尼系统。 c r c c u u d t d u R C d t d u L C + + = 2 2 例2.RLC网络：微分方程： 1 1 ( ) 2 + + = LC s R C s 传递函数： G s 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型 2 2 2 2 ( ) d x dx T T x KF t d t d t 微分方程： + + = 2 2 ( ) 2 1 K G s T s Ts = + + 传递函数： 不同系统可以具有相同的传函
第二章数学模型 例4.闭环调速系统。 G 系统微分方程： TTm d2o Tm+Kotdo -+ 1+。dt2 1+K。 dt K du K K dt 1+K dM+M.) dt
+ + + + + d t d K T K d t d K Ta Tm m 0 0 2 2 0 1 1 ( ) 1 ( ) 1 0 0 c c a m g g M d t d M T K K u d t d u K K + + + − + = 第二章 数学模型 系统微分方程： 例4．闭环调速系统
第二章数学模型 TTn d'o,Tm+K。tdo 1+K。d2 1+K。di K du 8+u2 Km(T .) 系统传递函数： 1+Ko 1+K dt K 1+K0 (+1) 2(s M。=0-→Φ(S)= U(s) (Ts+1)分母相同 2(s 1+K u。=0→Φ(S)= 7T1 特征多项式 M.(s) 线性 s+1 1+Ko 系统 1+K- 迭加原理有：2(s)=Φ，(s)U(s)+Φw(s)M(S)
+ + + + + + + − = = → = + + + + + + + = = → = 1 1 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 1 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 s K T K s K T T T s K K M s s u s s K T K s K T T s K K U s s M s a m m a m c g M g a m m c u 系统传递函数： 第二章 数学模型 分母相同 迭加原理有： g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u M c = + s s U s s M s 2 0 2 0 0 1 1 T T T K a m m d d K K dt d t + + + + + 0 0 ( ) ( ) 1 1 g m c g a c K d u K dM u T M K dt K dt = + − + + + 特征多项式 线性 系统
第二章数学模型 2.性质与说明 (1)传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变 函数的所有性质，对于实际的物理系统，通 常m至n,且所有系数均为实数。 (2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入 量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件 的结构和参数，而与①的形式无关，也不反 映系统内部的任何信息。 (3)传递函数是描述线性系统动态特性的一种数学 模型，而形式上和系统的动态微分方程一一对 应，但只适用于线性系统且零初始条件的情况
2．性质与说明 （1）传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变 函数的所有性质，对于实际的物理系统，通 常m≦n ，且所有系数均为实数。 第二章 数学模型 （2）传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入 量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件 的结构和参数，而与 r(t) 的形式无关，也不反 映系统内部的任何信息。 （3）传递函数是描述线性系统动态特性的一种数学 模型，而形式上和系统的动态微分方程一 一对 应，但只适用于线性系统且零初始条件的情况