心号与系我 §6,2信号头量空间的基本概念 线性空间 范数 内积 柯西-施茨不等式 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始
新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §6.2 信号矢量空间的基本概念 •线性空间 •范数 •内积 •柯西－施瓦茨不等式
一.线性空间 定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数)相乘后得到此集合内的另一元素。 例： N维实数空间R N维复数空间CW 连续时间信号空间 离散时间信号空间1
X 第 2 一．线性空间 页 定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。 例: N N维实数空间 R N N维复数空间 C 连续时间信号空间 L 离散时间信号空间 l
二.范数 线性空间中元素的范数以符号引x表示，满足以下公理 (@) 正定性 x≥0，当且仅当=0时x=0: (2) 正齐性 对所有量a,有a=a: 3) 三角形不等式x+y≤☒+ 1.R与C空间的范数： 令p为实数1≤p≤四，在R与C空间元素=(k1,x,xN 的p阶范数定义为 x def 对于1≤p≤∞ max 对于卫→0 1sisN 合UD
X 第 3 二．范数 页 线性空间中元素x的范数以符号 x 表示，满足以下公理 ( ) ( ) ( ) 三角形不等式 。 正齐性 对所有数量 有 ； 正定性 当且仅当 时 ； 3 x y x y 2 , x x 1 x 0, x 0 x 0 + + = = = α α α 1.RN 与C N 空间的范数； ( ) 的 阶范数定义为 令 为实数， 在 与 空间元素 p p p x x x x N N N 1 , R C , , , = 1 2 max 1 def 1 1 1 → = x p x p x i i N N p i p i p 对 于 对 于
常用范数 x1=1+1=2 x2=V1+1=v2 lx。=max(1,1)=1 在二维或三维实数矢量空间中，二阶范数的狸意义是 矢量的长度x,也称为欧氏Euclidean)范数或欧氏距。 2.连续时间信号空间和离散时间信号空间中的范数 (1)连续时间信号空间中，元素的p阶范数，定义如下 1≤p<0 supx(t) =∞
X 第 4 常用范数 页 max(1,1) 1 1 1 2 1 1 2 2 1 = = = + = = + = x x x (Euclidean ) 矢量的长度。 2 也称为欧氏 范数或欧氏距。 在二维或三维实数矢量空间中，二阶范数的物理意义是 x 2.连续时间信号空间L和离散时间信号空间l中的范数 (1)连续时间信号空间L中，元素x的p阶范数 x p 定义如下 ( ) ( ) sup d 1 x 1 = = − x t p x t t p p p p
(②)离散时间信号空间中，元素x(的n阶范数x,的定C ,= r) 1≤p<∞ supx(n) P=0 这里su表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数 ,=C L空间 x,=∑x(m 空间 -00 可见，一阶范数表示信号作用的强度
X 第 5 页 ( ( ) ) ( ) sup 1 x p 1 = = =− x n p x n p n p p 这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (2)离散时间信号空间l中,元 素x(n)的p阶范数 x p 的定义 (3)常用的范数 x ( )d L 1 x t t 空间 − = x(n) l空 间 n x 1 =− = 可见，一阶范数表示信号作用的强度。 一阶范数
二阶范数 L空间 W-oa的 即K=x0dt 空间 即Ni=∑r 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 L空间 =sup() 空间 x=supx(n) 物理意义：对于定义闭区间上的()，x表示信号 可测得的峰值，也即，的幅度
X 第 6 页 L x ( ) d x ( ) d 2 2 2 2 1 2 2 x t t x t t − − = 空 间 = 即 x ( ) x ( ) 2 2 2 2 1 2 2 =− =− = = n n l空 间 x n 即 x n 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 二阶范数 L x = sup x(t) 空间 l x = sup x(n) 空间 ( ) , 可测得的峰值，也即信号的幅度。 物理意义：对于定义在闭区间上的x t x 表示信号
三.内积 直角坐标平面内两矢量相对位置关系 ea6-)G++ x1V1+x2y2 利用范数符号，将矢量长度分别写作 x,=(k+x9 2=2+y% 于是 xy1+x22=22c0s-) xy1+x2Jy,对应于二维矢量空间纳积（点积)运算
X 第 7 三．内积 页 ( ) 1 2 2 2 1 1 2 2 x y + x y = x y cos − x1 y1 + x2 y2 对应于二维矢量空间的内积（点积）运算 1 2 x1 2 x 1 y 2 y x y ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 cos x x y y x y x y + + + − = 直角坐标平面内两矢量相对位置关系 利用范数符号，将矢量长度分别写作 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 y x y y x x = + = + 于是
xy1+x,y2=K2X2c0s(-,) 上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即 cos(,-4,)=0,两矢量之夹角0°，标量乘积为零 cos-中2)=1，两矢量夹角为°，标量乘积取最大值 推广 三维X1y1+x2y2+x3y3 多维,y〉=∑xy N维实线性空间 X,y N维复线性空间
X 第 8 页 上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即 cos(1 − 2 ) = 0,两矢量之夹角为90 ,标量乘积为零 cos(1 − 2 ) = 1,两矢量夹角为0 ,标量乘积取最大值 ( ) 1 2 2 2 1 1 2 2 x y + x y = x y cos − 1 1 2 2 3 3 x y + x y + x y 多维 x yi N维实线性空间 N i i x,y 1 = = x yi N维复线性空间 N i i x,y 1 = = 三维 推广
信号空间，内的两连续信号的内积 (x,y)=[x()v()ar 连续时间信号 ,y〉=∑x(orm 离散时间信号 nEZ 对于L空间或空间，信号x与其自身的内积运算为 x=心xt=g 连续 x=∑xa= 离散 合UD
X 第 9 页 信号空间 x,y x(t)y(t) dt 连续时间信号 − = x,y ( ) ( ) Z 离散时间信号 = n x n y n 对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为 x,x ( ) d x 2 2 2 = = 连续 − x t t x,x ( ) x 2 2 2 = = 离 散 nZ x n L 内的两连续信号的内积
四.柯西一施瓦茨不等式 Cauchy-Schwarz不等式 y)'sxx)v.y) 证明 合UD0
X 第 10 页 x,y x,x y,y 2 四．柯西－施瓦茨不等式 Cauchy-Schwarz不等式