飞号与素空 §5,6利用希尔伯特（牙%md变换 研究系统的约束特性 •希尔伯特变换的引入 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始
新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §5.6 利用希尔伯特(Hilbert)变换 研究系统的约束特性 •希尔伯特变换的引入 •可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
由傅里叶变换到希尔伯特变换 已知正负号函数的傅里叶变换r水g小。 根据对称性得到 12 sg(ok2元jt 则 j小g-o)nlo内奇函数 πt →-jsgn(o） 元t 若系统函数为 e4o)- 0>0 90° 0<0 则冲激响应 0=r[AGo】=元
X 第 2 一．由傅里叶变换到希尔伯特变换 页 已知正负号函数的傅里叶变换 ( ) j 2 F sgn t = 根据对称性得到 ( ) jt 2 2π 1 sgn − 则 jsgn(−) π 1 t sgn()为奇函数 () jsgn 1 − t 若系统函数为 ( ) − − = − = j 90 0 j 90 0 (j ) jsgn H 则冲激响应 ( ) ( ) t h t F H π 1 j 1 = = −
系统框图： ① FQ) ① f(o) -jsgn(o） 系统的零状态响应() 0Y00-01 利用卷积定理 -ic()外 0>0 0<0 结论 具有系统函数为-jsgn(@)的网络是一个使相位滞 后 弧度的宽带相移全通网络
X 第 3 系统框图: 页 系统的零状态响应 f (t) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) t f t f t h t f t π 1 ˆ = = h(t) ( ) F() f t ˆ ˆ ( ) F() f t − jsgn() 利用卷积定理 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = = − = j 0 j 0 jsgn ˆ ˆ F F F f t F F 具有系统函数为− jsgn() 的网络是一个使相位滞 后 2 π 弧度的宽带相移全通网络
同理可得到： 若系统冲激响应为 ht) πt 其网络的系统函数为 小已， 90° 0>0 90 0<0 该系统框图为 ) ) io) ① 输出信号 jsgn@） fd)=G)*d)=)*
X 第 4 同理可得到: 页 若系统冲激响应为 ( ) t h t π 1 = − 其网络的系统函数为 ( ) ( ) − = = = j 90 0 j 90 0 ( ) jsgn H F h t 该系统框图为 h(t) ( ) F() f t ( ) F() f t ˆ ˆ jsgn() ( ) ( ) ( ) ( ) = = − t f t f t h t f t π 1 ˆ ˆ 输出信号
利用卷积定理 o-风 0>0 ⊙<0 结论 具有系统函数为jsgn(@的网络是一个使相位滞后 2弧度的宽带相移全通网络
X 第 5 页 具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络。 利用卷积定理 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = = j 0 j 0 jsgn ˆ F F F F jsgn() 2 π
希尔伯特变换 希尔伯特正变换 v-0=/@a: 创题 -∞t- 0)=f0*1 希尔波特反变换 riv-r上9a: 0-0(
X 第 6 希尔伯特变换 页 ( ) ( ) ( ) d π 1 ˆ − − = = t f H f t f t ( ) ( ) t f t f t π 1 ˆ = ( ) ( ) ( ) d π 1 1 ˆ − − − = = − t f H f t f t ( ) ( ) = − t f t f t π 1 ˆ
可实现系统的网络函数与希尔伯特变颈 可实现系统是因果系统，其冲激响应 ①)=)d)目 即：d)=0t<0 其傅里叶变换 e)o 又 H(jw)=H(jw)ci)=R(jo)+iX(jo) 则 o+jxo）=Lo+xUo小rro+a
X 第 7 二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 页 可实现系统是因果系统，其冲激响应 h(t) = h(t) u(t) 即: h(t) = 0 t 0 其傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) = + j 1 j π 2π 1 H j H ( ) ( ) (j ) j e (j ) j (j ) j 又 H = H = R + X 则 R(j)+ jX(j) ( ) ( ) ( ) = + + j 1 j j j π 2π 1 R X ( ) ( ) = + 1 π j j 2π 1 R X ( ) ( ) + − 1 π j j 2π j X R
所以o0o[bar9 根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得 R(j@)= 元 0-入 结论 因果系统系统涵数H(Gω的实部与虚部满足希尔 伯特变换约束关系。 侧题
X 第 8 页 ( ) ( ) ( ) ( ) − + = + − d j 2π 1 j 2 1 j j j X 所 以 R X R ( ) ( ) − + − − d j 2π 1 2 j j X R 根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得 ( ) d j π 1 (j ) − − = X R ( ) ( ) d j π 1 j − − = − R X 因果系统系统函数 H(j) 的实部与虚部满足希尔 伯特变换约束关系
三.常用希尔伯特变换对 r() ) C0s⊙，t sin@t sin@t cos@t eiot -je m(t)ei 说明 -jmt)eiov 创题 对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足 希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数 学工具在通信系统中得到了广泛的应用
X 第 9 三．常用希尔伯特变换对 页 f (t) f (t) ˆ t 0 cos t 0 sin t 0 sin t 0 − cos t 0 j e t 0 j je − ( ) t m t 0 j e ( ) t m t 0 j j e − 对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足 希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数 学工具在通信系统中得到了广泛的应用