121晶体的对称元素和对称操作 晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性,只有4种 类型的对称元素和对称操作 (1)旋转轴旋转操作; (2)镜面一反映操作 (3)对称中心一反演操作; (4)反轴一旋转反映操作 晶体的点阵结构,包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作
1.2 晶体结构的对称性 1.2.1 晶体的对称元素和对称操作 晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性，只有4种 类型的对称元素和对称操作。 （1）旋转轴—旋转操作； （2）镜面—反映操作； （3）对称中心—反演操作； （4）反轴—旋转反映操作。 晶体的点阵结构，包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作
(5)点阵平移操作;(6)螺旋轴螺旋旋转操 作;(7)滑移面一反映滑移操作 晶体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区 别是晶体的点阵结构使晶体的宏观对称性受到限制 这种限制有两方面的含义: (1)晶体的空间点阵结构,任何对称轴(包括旋 转轴,螺旋轴和反轴)都必须与一组直线点阵平行, 重轴除外,任何对称轴还必须与一组平面点阵垂 直;任何对称面(包括镜面和滑移面)必须与一组 平面点阵平行,而与另一组平面点阵垂直。 (2)晶体中的对称轴,包括旋转轴、螺旋轴和反 轴的轴次n,只能为n=1,2,3,4,6几种。这一原 理称为“晶体的对称性定律”。晶体点阵结构只允 许存在1,2,3,4,6轴次证明:
（5）点阵—平移操作；（6）螺旋轴—螺旋旋转操 作；（7）滑移面—反映滑移操作 晶体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区 别是晶体的点阵结构使晶体的宏观对称性受到限制。 这种限制有两方面的含义： （1）晶体的空间点阵结构，任何对称轴（包括旋 转轴，螺旋轴和反轴）都必须与一组直线点阵平行， 一重轴除外，任何对称轴还必须与一组平面点阵垂 直；任何对称面（包括镜面和滑移面）必须与一组 平面点阵平行，而与另一组平面点阵垂直。 （2）晶体中的对称轴，包括旋转轴、螺旋轴和反 轴的轴次n,只能为n=1，2，3，4，6几种。这一原 理称为“晶体的对称性定律”。晶体点阵结构只允 许存在1，2，3，4，6轴次证明：
分子对称性与警惕宏观对称性对照表 分子对称性 晶体宏观对称性 对称轴Cn旋转C旋转轴n旋转L(a) 对称面a反映 O 反映面或镜反映M 面M 对称中心反演对称中心i倒反r 象转轴Sn旋转反映s 反轴 旋转倒反 L(a)l
分子对称性 晶体宏观对称性 对称元素及其 符号 对称操作及其 符号 对称元素及 其符号 对称操作及 其符号 对称轴Cn 旋转 旋转轴n 旋转L(a) 对称面s 反映 反映面或镜 面m 反映M 对称中心i 反演 对称中心i 倒反I 象转轴Sn 旋转反映 反轴 旋转倒反 L(a)I 分子对称性与警惕宏观对称性对照表
晶体中的宏观对称元素 对称元素 国际记号对称操作等同元素或组 合成份 对称中心 倒反Ⅰ 反映面(或镜面)m 反映M 重旋转轴 旋转L(0°) 二重旋转轴 三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 1-23464 旋转L(180°) 旋转L(120°)3+i=33+m=6 旋转L(90°) 旋转L(60°) 四重反轴 旋转倒反 L(90°
对称元素 国际记号 对称操作 等同元素或组 合成份 对称中心 i 倒反I 1 反映面（或镜面）m 反映M 2 一重旋转轴 1 旋转L(0) 二重旋转轴 2 旋转L(180) 三重旋转轴 3 旋转L(120) 3+i=3,3+m=6 四重旋转轴 4 旋转L(90) 六重旋转轴 6 旋转L(60) 四重反轴 4 旋转倒反 L(90)I 晶体中的宏观对称元素
晶体中可能存在的对称元素,螺旋轴和滑移面是 晶体微观对称性所特有的。螺旋轴对应的操作是 旋转和平移的联合对称操作。螺旋轴nn的基本操 作是绕轴旋转2mn,再沿着轴的方向平移m/n个和轴 平行的单位矢量。即 n=L(2mm)T(mamn)或n=Tma/m)·L(2mm) 右图所示的点阵具有31螺旋轴。3螺旋 轴操作使1位上的结构基元先旋转2m3b 到2’,然后平移a/3到2位。同时,2位 的结构基元旋转2m3到3,然后平移到 ●5 3位上。以此类推,整个点阵结构经31● 螺旋操作后得到等价图形。 2 2
晶体中可能存在的对称元素，螺旋轴和滑移面是 晶体微观对称性所特有的。螺旋轴对应的操作是 旋转和平移的联合对称操作。螺旋轴nm的基本操 作是绕轴旋转2p/n,再沿着轴的方向平移m/n个和轴 平行的单位矢量。即 nm =L(2p/n)T(ma/n)或nm= T(ma/n) L(2p/n) 右图所示的点阵具有31螺旋轴。 31螺旋 轴操作使1位上的结构基元先旋转2p/3 到2，然后平移a/3到2位。同时，2位 的结构基元旋转2p/3到3，然后平移到 3位上。以此类推，整个点阵结构经31 螺旋操作后得到等价图形。 1 2 3 4 5 6 7 2' 3
滑移面一滑移反映操作:由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 类轴线滑移面a(或b,C):如图虚线所示,对应的 操作为反映后,再沿a(或b,c)轴方向平移m/2(或 b2c2第二类对角A 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别4● 是位于纸面的上方和 下方,且距离相等处。 对应的操作使反映后 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b2,即13 b 反映后又平移a/2+b/2
滑移面—滑移反映操作：由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 一类轴线滑移面a(或b,c)：如图虚线所示，对应的 操作为反映后，再沿a(或b,c)轴方向平移a/2（或 b/2,c/2)；第二类对角 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别 是位于纸面的上方和 下方，且距离相等处。 对应的操作使反映后 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b/2,即 反映后又平移a/2+b/2 1 2 3 4 5 1' A a a b B
(或m/2+c/2或b/2+c/2或a/2+b/2+c/2);第三类滑移面 d(又称金刚石滑移面):图C中在纸面上,实点 和虚点位于纸面上和下等距离处。对应的操作是 反映后再平移m/4±b/4(或a4+c4或b/4±c/4当然也 可以先平移再反映。 1.22晶胞 空间点阵是晶体结构的数学抽象,对 于实际的三维晶体,选择三个不相平 行的、能满足周期性的单位向量abc 可将晶体划分成一个个完全相同的平 行六面体,它代表晶体结构的基本重 b 复单位,叫晶胞。 C
(或a/2+c/2或b/2+c/2或a/2+b/2+c/2)；第三类滑移面 d(又称金刚石滑移面)：图C中d也在纸面上，实点 和虚点位于纸面上和下等距离处。对应的操作是 反映后再平移a/4b/4(或a/4c/4或b/4c/4).当然也 可以先平移再反映。 a b C 空间点阵是晶体结构的数学抽象，对 于实际的三维晶体，选择三个不相平 行的、能满足周期性的单位向量a,b,c， 可将晶体划分成一个个完全相同的平 行六面体，它代表晶体结构的基本重 复单位，叫晶胞。 1.2.2 晶胞
晶胞一定是平行六面体,其三条边的长度不 定相等,也不一定相互垂直。晶胞的大小和形 状由具体的晶体结构确定。晶胞不能是八面体或 六方柱体等其他形状,因为这些形状不能简单地 用平移向量Tm2= main+pc重复,因而不满足其 周期性。 整个晶体就是晶胞按其周期性在三维空间重 复排列的。这种排列必须是晶胞的并置堆砌。所 谓的并置堆砌是指平行六面体之间没有任何空隙, 同时相邻的八个平行六面体均能共顶点相连接。 比如图示中B即不能堆砌成晶体。因为,这种堆 砌方式不符合平移向量Tmn= matnbtpc的起点与 终点处原子和环境应完全相同的原则
晶胞一定是平行六面体，其三条边的长度不 一定相等，也不一定相互垂直。晶胞的大小和形 状由具体的晶体结构确定。晶胞不能是八面体或 六方柱体等其他形状，因为这些形状不能简单地 用平移向量Tmnp =ma+nb+pc重复，因而不满足其 周期性。 整个晶体就是晶胞按其周期性在三维空间重 复排列的。这种排列必须是晶胞的并置堆砌。所 谓的并置堆砌是指平行六面体之间没有任何空隙， 同时相邻的八个平行六面体均能共顶点相连接。 比如图示中B即不能堆砌成晶体。因为，这种堆 砌方式不符合平移向量Tmnp =ma+nb+pc的起点与 终点处原子和环境应完全相同的原则
对同一晶体,在划分平行六面体时,由于选择 向量的大小和方向不同,有许多划分方法,也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 类:素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素,任何晶体 均可划分为素晶胞。如图: 晶胞的基本要素:一个是晶胞的大小和形状, 可用晶胞参数(aca,By)表示;另一个是晶 胞中原子的位置,通常用分数坐标(xz)表示 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据abG选择晶体的坐标轴X,Y,Z,使它们分别 和向量abc平行。因此将ac表示的方向也叫 晶轴
对同一晶体，在划分平行六面体时，由于选择 向量的大小和方向不同，有许多划分方法，也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 二类：素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素，任何晶体 均可划分为素晶胞。如图： 晶胞的基本要素：一个是晶胞的大小和形状， 可用晶胞参数（a,b,c,a,b,g）表示；另一个是晶 胞中原子的位置，通常用分数坐标（x,y,z)表示。 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据a,b,c,选择晶体的坐标轴X,Y,Z，使它们分别 和向量a,b,c平行。因此将a,b,c表示的方向也叫 晶轴
晶胞确定了坐标轴后,该晶胞中所有原子的位 置即可以用分数坐标表示。如图。 晶胞中坐标轴的确定不仅为研究原子位置提供了 方便,也为解析晶体的晶面创造了条件。所谓晶 面是晶体中 所处的平面。并非专指晶体 的表面也不是在晶体中随意画出的一个平面。 的严格定义:晶面在三个晶轴上的倒易 截数的互质整数之比。 用晶面指标表及晶面有其一定的方便之处: (1)采用了倒易截数,避免了晶面指标(hkP) 中出现 (2)采用了互质整数比,所以一组晶面指标 (hk*代表了一组平行的晶面。 (3)晶面指标的数值反映了这组晶面之间的距离
晶胞确定了坐标轴后，该晶胞中所有原子的位 置即可以用分数坐标表示。如图。 晶胞中坐标轴的确定不仅为研究原子位置提供了 方便，也为解析晶体的晶面创造了条件。所谓晶 面是晶体中平面点阵所处的平面。并非专指晶体 的表面也不是在晶体中随意画出的一个平面。 晶面指标的严格定义：晶面在三个晶轴上的倒易 截数的互质整数之比。 用晶面指标表及晶面有其一定的方便之处： （1）采用了倒易截数，避免了晶面指标（h*k*l*） 中出现. （2）采用了互质整数比，所以一组晶面指标 (h*k*l*)代表了一组平行的晶面。 （3）晶面指标的数值反映了这组晶面之间的距离