试卷代号： 座位号 中央广推电视大半 半年度算半期期末考试 在等数学(B)(1)试题D谷 年月 愿号 三 四 五 总分 分数 一“、名词解释（年是4分，共20分】 1.资函数 2.反函射 1.定积分中值定理几何意义 4.微积分基本定理 5.复合函激的一阶徽分形式的不变性 二、填空题（每空格2分，共0分） 1。微分有双重意义，一是表示 一是表示 2.楼数概念最早是由 引进的，有了函数概念，人们就可以从 一上确切堆枯述运动。 3.单调增加函数的图像特点是 4.公元3世纪中国数学家 的割圆术，就月园内接正多边形周长去通近 这一极限思想米近似地计算 的。 5.去心邻城是指 的全休，用数轴表示 即为 6.无穷大的记号 7.雨数y=V-x2的定义城为 8,定积分 2-1+4灿的值为 r s.极限n 的伯为 x0sn 2x
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 高等数学（B）（1）试题 D 卷 年 月 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 一、名词解释（每题 4 分，共 20 分） 1．奇函数 2．反函数 3．定积分中值定理几何意义 4．微积分基本定理 5．复合函数的一阶微分形式的不变性 二、填空题（每空格 2 分，共 30 分） 1 ． 微 分 有 双 重 意 义 ， 一 是 表 示 --------------------- ， 一 是 表 示 ---------------------------。 2．函数概念最早是由-----------------------引进的，有了函数概念，人们就可以从 --------------------上确切地描述运动。 3．单调增加函数的图像特点是--------------------------------------。 4．公元 3 世纪中国数学家----------------的割圆术，就用园内接正多边形周长去逼近 --------------这一极限思想来近似地计算 -------------------的。 5．去心邻域是指----------------------------------------------的全体，用数轴表示 即为----------------------。 6．无穷大的记号---------------------。 7．函数 2 y = 1− x 的定义域为----------------------。 8．定积分 t t dt − + 2 0 2 ( 4) 的值为-------------------。 9．极限 x x x sin 2 2 lim →0 的值为-----------------
10.数f（x)=时1+x2)的一阶导数为 三、判断恩（在年题的括号内填上是成否，每题3分，共9分） 1.若数列{an}单调培加，则数列a.}存在极限 2.函整f(x)在区问有定义，则它在()上的根大伯必大于它在离区向上的极小h() 3,反函数的图像对称于直角坐标系的y轴。 四、计算恩（每恩5分，共25分） l,求y=(x2+e)的二阶学数。 2.求函数y=V2+1的反褐数 a.计算(mnx+e2h 4.求曲线y=x2,y=2,x≥0圈成区域绕y钥的发转体休积。 5,利用学数定义求函数气)=x己的导数。 五、应用恩（每想8分，共16分） 1,某物体作垂直上抛运动。它的觉置与时间的关系为y■52+101+27，试求 L=m2+)-2 +0 2.某工厂生产一种玩具的成本为10元，若以x元价格出售，每天可以卖排0-x只，该 厂应如何定价才能获得最大利洞？
10．函数 ( ) ln(1 ) 2 f x = + x 的一阶导数为-----------------------------------。 三、判断题（在每题的括号内填上是或否，每题 3 分，共 9 分） 1．若数列 an 单调增加，则数列 an 存在极限。 （ ） 2．函数 f (x) 在区间有定义，则它在 (a,b) 上的极大值必大于它在该区间上的极小值。（ ） 3．反函数的图像对称于直角坐标系的 y 轴。 （ ） 四、计算题（每题 5 分，共 25 分） 1．求 ( ) 2 x y = x + e 的二阶导数。 2．求函数 1 2 y = x + 的反函数。 3．计算 x e dx x − + 0 2 (sin ) 4．求曲线 , 2, 0 2 y = x y = x 围成区域绕 y 轴的旋转体体积。 5．利用导数定义求函数 2 f (x) = x 的导数。 五、应用题（每题 8 分，共 16 分） 1．某物体作垂直上抛运动，它的位置与时间的关系为 5 10 27 2 y = t + t + ，试求 t y t y L t + − = → (2 ) (2) lim 0 2．某工厂生产一种玩具的成本为 10 元，若以 x 元价格出售，每天可以卖掉 50 − x 只，该 厂应如何定价才能获得最大利润？
考答案 一、名词解释（每题4分，共20分〉 1.奇爵数一设硒数y一x)在关干原点对称的集合D上有定义，如果对任意的x∈D 恒有/-)=-了)，则称函数y=)为☆函数。 2.反数一设y=)是x的函效，其值域为G,如果对于G中的每一个y值，都有 一个确定的且满足y=)的x值与它对应，则得到一个定义在G上的以y为自变量，x为 变量新函数，称它为y=f(x)的反函数，记为x=「-()。 .定积分中值定型几每意文一以区可血，为底边，以情线y=f八x)为边的曲边梯形。 它的面积等于与曲边梯彩同底而高为八)的一个矩形的面积。 4.靠积分基本定理一一如果y=「(x)是连续函数，并且F(x)是fx)的一个原函数，即！ f)-F,那么∫fxh=F-F)成. 五.复合函数的一险微分形式的不变性一对于复合函数y一f八以M=风x),若私一 在点x可微，y=f)在点u可微，则复合函数y=八倒x训在点x可微，且少=fd:, 其中d拉=四(x)本。我们将办=广(udu称为一阶意分形式的不变性 二、填空题每空格2分，共30分) 莱布 一科与求子数密切相关的运 ,沿正向海上升的 4.刘，因网长，网本 5,满足不等式的实数x的全休，x一<6且x≠ 6.m 7.-1sx<1 明 9.4
参考答案 一、名词解释（每题 4 分，共 20 分） 1．奇函数——设函数 y = f (x) 在关于原点对称的集合 D 上有定义，如果对任意的 xD， 恒有 f (−x) = − f (x) ，则称函数 y = f (x) 为奇函数。 2．反函数——设 y = f (x) 是 x 的函数，其值域为 G ，如果对于 G 中的每一个 y 值，都有 一个确定的且满足 y = f (x) 的 x 值与它对应，则得到一个定义在 G 上的以 y 为自变量， x 为因 变量新函数，称它为 y = f (x) 的反函数，记为 ( ) 1 x f y − = 。 3．定积分中值定理几何意义——以区间 a,b 为底边，以曲线 y = f (x) 为曲边的曲边梯形， 它的面积等于与曲边梯形同底而高为 f ( ) 的一个矩形的面积。 4．微积分基本定理——如果 y = f (x) 是连续函数，并且 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，即 f (x) = F'(x) ，那么 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 成立。 5．复合函数的一阶微分形式的不变性——对于复合函数 y = f (u),u = (x) ，若 u = (x) 在点 x 可微， y = f (u) 在点 u 可微，则复合函数 y = f [(x)] 在点 x 可微，且 dy = f '(u)du ， 其中 du = '(x)dx 。我们将 dy = f '(u)du 称为一阶微分形式的不变性 二、填空题（每空格 2 分，共 30 分） 1．一个微小的量，一种与求导数密切相关的运算 2．莱布尼兹，数量上 3．沿 x 轴正向逐渐上升的 4．刘徽，圆周长，圆周率 5．满足不等式的实数 x 的全体， x − a 且 x a 6． 7． −1 x 1 8． 3 2 8 9． 4 1
三、判题（每题3分，共9分） 1,第1V=2x+ex 0分 "=2+ 2分 2.解：y=2+i y2-x2+1 1分 x2=y2-1 1分 =±P-1 1分 y=22) 五第限武(om*-2 分 -22m 4.解：V= 是+ 1分
10． 2 1 2 x x + 三、判断题（每题 3 分，共 9 分） 1．否 2．否 3．否 四、计算题（每题 5 分，共 25 分） 1．解： x y' = 2x + e 3 分 x y'' = 2 + e 2 分 2．解： 1 2 y = x + 1 2 2 y = x + 1 分 1 2 2 x = y − 1 分 1 2 x = y − 1 分 1 2 y = x − ( x 1 ) 2 分 3．解：原式= 0 2 2 1 cos − − − x x e 2 分 = 2 2 1 2 1 2 − − e 3 分 4．解： = 2 0 V ydy 3 分 2 0 2 2 y = 1 分 = 2 1 分 5．解：根据导数定义有 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 1 分
现在有y=x=x2,则 /-是-+2-子 2分 1分 ■2x 1分 五、应用题（每题8分，共16分） 1.解：将y=52+10+27代入 1=2+0-2 -。24424047-5x2-02-2 - 3分 =30 1分 2.解：设利钢y与价格x的函数关系为y=(x-1050-x小，化简得 2分 y=-x2+60x-500 分 对y求导得y=-2x+60 北为，X=30 1分 所以。当=30时，利润最大 1分
现在有 2 y = f (x) = x ，则 x x x x x y y f x x x + − = = = → → 2 2 0 0 ( ) ' '( ) lim lim 2 分 ( ) x x x x x + = → 2 0 2 lim 1 分 = 2x 1 分 五、应用题（每题 8 分，共 16 分） 1．解：将 5 10 27 2 y = t + t + 代入 t y t y L t + − = → (2 ) (2) lim 0 t t t t + + + + − − − = → [5(2 ) 10(2 ) 27 5 2 10 2 27 lim 2 2 0 4 分 ( ) t t t t + = → 2 0 30 5 lim 3 分 = 30 1 分 2．解：设利润 y 与价格 x 的函数关系为 y = (x −10)(50 − x) ，化简得 2 分 60 500 2 y = −x + x − 2 分 对 y 求导得 y' = −2x + 60 2 分 令其为零，得 x = 30 1 分 所以，当 x = 30 时，利润最大。 1 分