数学方法的优美
数学方法的优美
观点和方法是数学的两个方 面:既紧密联系,又有所区别。 但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美
观点和方法是数学的两个方 面：既紧密联系，又有所区别。 但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美
41反证法 “不能不” 反证 法 通常的证明方法: 对” 冬 结论成立 矛盾 新结论反证法“不对外条件
“不能不” 反证 法 通常的证明方法： “对” “不对” 矛盾
例1√2是无理数 反证法:假设√2是有理数那么存在不可约 的正整数p,4q,使得 √2=9→2n2=q2→q为偶数 设q=2m,则p2=2m2,于是p为偶数矛盾 是有理数至多7步 依据是排中律 就可以找到规律
例1 2 . 是无理数 反证法： 2 , p q, , 假设 是有理数 那么存在不 的正整数 可约 使得 2 2 2 2 . q p q q p = = 为偶数 2 2 设 则 于是 为偶数 q m p m p = = 2 , 2 , . . 也 矛盾 1 7 7 . 是有理数至多 步 就可以找到规律
例2(抽屉原理) 3个苹果放进2个抽屉中,至少有1个 抽屉中有两个苹果 (反证法易得) 10本书,共3类(抽屉),文学类 (A)、史学类(B)和数学类 (C),证明至少有一类有4本或4 本以上
例2（抽屉原理） 3个苹果放进2个抽屉中，至少有1个 抽屉中有两个苹果。 （反证法易得） 10本书，共3类（抽屉），文学类 （A）、史学类（B）和数学类 （C），证明至少有一类有4本或4 本以上
10本书,共3类(抽屉),文学类 (x)、史学类(y)和数学类(z), 证明X,yz至少有一个大于或等于4 抽象为一个纯数学问题: 假设x,y,z是非负整数,且x+y+z=10, 则或x≥4,或y≥4,或z≥4此即为不定方 程的非负解的下界估计问题
10本书，共3类（抽屉），文学类 （x）、史学类（y）和数学类（z）， 证明x,y,z至少有一个大于或等于4。 抽象为一个纯数学问题： , , 10, 4, 4, 4. x y z x y z x y z + + = 假设 是非负整数,且 则或 或 或 此即为不定方 程的非负解的下界估计问题
假人裘的头发最多为200D根,那 么春介至小有2人的头发根数一样 多。(春市人超过2007) 作业:在任意6人中,一定可以找到 3个相互认识,或3个相互不认识的 人 以上例子表明:反证法能够说明许多有趣的现象。 给我们带来了美的享受:精美和优美
假设人类的头发最多为200万根，那 么长春市至少有2人的头发根数一样 多。（长春市人口超过200万） 作业：在任意6人中，一定可以找到 3个相互认识，或3个相互不认识的 人
42RM方法 RMI: R-relation, M-mapping Inversion.即关系、映射和取逆。它 属于形式逻辑范畴。如“三段式”给 人以逻辑美。RM方法体现了辨证思 想的方法
RMI：R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它 属于形式逻辑范畴。如“三段式”给 人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思 想的方法
例121=2×20=2×1024=2048 2=23×24×24=8×16×16=8×256=2048 显得容易 例22等于多少 很难,但是lg21 0.3010 1/≈00273 从反对数表得到y2≈1.065 运算 x>1gx->102 数值
例1 11 10 11 3 4 4 2 2 2 2 1024 2048 2 2 2 2 8 16 16 8 256 2048 = = = = = = = 显得容易。 例2 1 11 2 ? 等于多少 1 11 1 0.3010 , lg 2 lg 2 0.0273 11 11 很难 但是 = 11 从反对数表得到: 2 1.065. lg lg 10 x x → → → x x 运算 数值
曲折:化难为夢 曲折:创、发明 曲折:实现的根据是对数 Galileo:给我空间、时间和对数, 我即可创造一个宇宙。 1/11 RM的体现:R:2 M: gx :10 gx
曲折：化难为易 曲折：创造、发明 曲折：实现的根据是对数 Galileo：给我空间、时间和对数， 我即可创造一个宇宙。 RMI的体现：R：2 1/11 ，M：lgx , I:10lgx