§2.2导数的运算法则与基本公式 一、导数的和、差、积、商运算法则 如果函数(x)、(x)在x处都可导，则它们 的和、差、积、商在x处也可导； (1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x); (2) [(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x); (3) u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0)； [v(x)] back next exit
§2.2 导数的运算法则与基本公式 一、导数的和、差、积、商运算法则 如果函数 u x( )、 v x( )在x处都可导，则它们 的和、差、积、商在x处也可导； (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ) u x v x u x v x = ； (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x = + ； (3) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] u x u x v x u x v x v x v x − = ( ( ) 0) v x ；
推广到多个函数情形： 设有n个函数4(x)、4,(x)、…、u,(x)都可导，则： (1)[4,(x)±42(x)±…±4n(x)'=4'(x)±42'(x)±…±4n'(x) (2) [4(x)u2(x)…un（x)] =4'(x)42(x)…un(x)+4,(x)42'(x)…u(x)+…+4(x)u2(x)…un(x) (3)[k(x)'=u(x)(k为常数) back next exit
推广到多个函数情形： 设有n个函数 1 u x( )、 2 u x( )、…、 ( ) n u x 都可导，则： (1) 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) n n u x u x u x u x u x u x = (2) 1 2 1 2 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x = + + + (3)[ ( )] ( ) ku x ku x = （k为常数）
定理2.3设函数x=f(y)在某个开区间 内单调可导，且[f(y)]'≠0，则反函数y=f(x) 在对应区间内可导，且f'(x)= 1 [( 证明： 1 f(x)=lim lim Ax-→0 △x △x→0 △x △x lim y Ax→0 △y 1 1 二 lim △X [f- Ay-→0 △y back next ◆ex
定 理 2.3 设函数 1 x f y( ) − = 在某个开区间 内单调可导，且 1 [ ( )] 0 f y − ，则反函数y f x = ( ) 在对应区间内可导，且 1 1 ( ) [ ( )] f x f y − = . 证明： 0 0 0 1 0 1 1 ( ) lim lim lim 1 1 [ ( )] lim x x x y y f x x x x y y x f y y → → → − → = = = = =
二、基本初等函数的求导公式 1.常数的导数： c)'=O (c为常数) 证明：f(x)=c f(x)=lim f(x+△x)-f(x) Ax-→0 △x lim c-C=0 △x→0 △x next ◆exit
二、基本初等函数的求导公式 1.常数的导数： ( ) 0 c = （c为常数） 证明： f x c ( ) = 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x x f x x f x f x x c c x → → + − = − = =
2.幂函数的导数： (x")y=nx"- (n为常数) 证明：f(x)=x”,f'(x)=lim (x+△x)”-x” △x>0 △x C9x”+Cx-△x+…+C(△x)”-x" △x>0 △x =lim[Cx-+Cx”-2△xr+…+C%(△x)”-]=x1 back ●next exit
2.幂函数的导数：1 ( )n n x nx − = （n为常数） 证明： ( ) n f x x = ， 0 ( ) ( ) lim n n x x x x f x → x + − = 0 1 1 0 ( ) lim n n n n n n n n x C x C x x C x x x − → + + + − = 1 1 2 2 1 0 lim[ ( ) ] n n n n n n n x C x C x x C x − − − → = + + + n 1 nx − =
例1求y=x4+sinx的导数. 解：y'=(x4+sinx)y =(x)+(sinx) -4x3 +cosx 例2求y=x5cosx的导数. 解：y=(x3cosx)y =(x)'cosx+x(cosx) 5x cosx-x'sinx back next exi
例 1 求 4 y x x = + sin 的导数. 解： 4 y x x = + ( sin ) 4 = + ( ) (sin ) x x . 3 = + 4 cos x x. 例 2 求 5 y x x = cos 的导数. 解： 5 y x x = ( cos ) 5 5 = + ( ) cos (cos ) x x x x . 4 5 = − 5 cos sin x x x x
例3求y 的导数. 解：y=欢) (sinx)'x2-sinx(x2)' (x2)2 x2cosx-2xsinx x4 x cosx-2sin x x3 next 年exit
例 3 求 2 sin x y x = 的导数. 解： 2 sin ( ) x y x = 2 2 2 2 (sin ) sin ( ) ( ) x x x x x − = . 2 4 x x x x cos 2 sin x − = . 3 x x x cos 2sin x − =
例4求)-怀-3的导数 解：y=x3-x-3 y=(x3-x-3)y =(x5)y-(x)y-(3) =-3x-2x 3 next ◆exin
例 4 求 3 2 3 1 y x 3 x = − − 的导数. 解： 2 3 3 y x x 3 − = − − 2 3 3 y x x ( 3) − = − − . 2 3 3 ( ) ( ) (3) x x − = − − . 1 4 3 2 3 3 x x − − = − −
例5求y 3x2的导数 32-2 解：y= 3.x2-2x号 y'=(3x2-2x) =(3x2)y-(2x)y =3(x2)y-2(x)y 2 ●next 年exit
例 5 求 2 3 2 x y x − = 的导数. 解： 3 1 2 2 2 3 2 3 2 x y x x x − − = = − 3 1 2 2 y x x (3 2 ) − = − . 3 1 2 2 (3 ) (2 ) x x − = − . 3 1 2 2 3( ) 2( ) x x − = − . 1 3 2 2 9 2 x x − = +
例6求y中的导数 解：V=（14) (x)'(1+x2)-x(1+x2)y (1+x2)2 1+x2-x·2x (1+x2)2 1-x2 二 (1+x2)2 ●next 。exit
例 6 求 2 1 x y x = + 的导数. 解： 2 ( ) 1 x y x = + 2 2 2 2 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x + − + = + . 2 2 2 1 2 (1 ) x x x x + − = + . 2 2 2 1 (1 ) x x − = +