第八节闭区间上连续 函数的性质 一、 最大值最小值定理与有界性 二、 零点定理与介值定理 三、小结 思考题 经济数学 微积分
一、最大值最小值定理与有界性 二、零点定理与介值定理 三、小结 思考题 第八节 闭区间上连续 函数的性质
一、最大值和最小值定理与有界性 定义：对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x,∈I,使得对于任一x∈I都有 f(x)≤f(x,) (f(x)≥f(x,) 则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大（小）值. 例如，y=1+sin七，在0,2元上，ymx=2,ym=0; y=SgnX,在(-o0,+oo)上，Jymx=1,ym=-1; 在(0，十oo)上，yx=ymm=1. 经济数学 微积分
一、最大值和最小值定理与有界性 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = sgn x,在(−,+)上, 2, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin = y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 0; ymin = 1, ymax =
定理1（有界性和最大值和最小值定理）在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值 若f(x)∈CIa,b], 则351,52∈a,b], y=f(x) 使得x∈[a,b], 有f(5)≥f(x), f(52)≤f(x): 注意：1若区间是开区间，定理不一定成立； 2.若区间内有间断点，定理不一定成立. 经济数学 微积分
定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. a b 2 1 x y o y = f (x) ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
P y=f(x) y=f(x) 1 -x x 0 2 2 经济数学 微积分
x y o y = f (x) 1 2 1 x y o 2 y = f (x)
二、零点定理与介值定理 定义：如果x使f(x)=0,则x。称为函数 f(x)的零点. 定理2（零点定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上 连续，且f(a)与f(b)异号（即f()·f(b)<0),那末 在开区间(4，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至 少有一点ξ(a<ξ<b),使f(传)=0. 即方程f(x)=0在(，b)内至少存在一个实根. 经济数学 微积分
二、零点定理与介值定理 定 理 2(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上 连续，且 f (a)与 f (b)异 号(即 f (a) f (b) 0) ,那 末 在开区间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点,即 至 少有一点(a b)， 使 f () = 0. 定义: ( ) . ( ) 0 , 0 0 0 的零点 如果 使 则 称为函数 f x x f x = x 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根
几何解释： y 连续曲线弧y=f(x)的两个 y=f(x) a:o 153 b x 端点位于x轴的不同侧，则曲 线弧与x轴至少有一个交点 定理4（介值定理） 设函数f(x)在闭区间[4，b] 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B, 那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间 (a,b)内至少有一点飞，使得f(5)=C(M<飞<b). 经济数学 微积分
a 3 b 2 1 几何解释: . , ( ) 线弧与 轴至少有一个交点 端点位于 轴的不同侧 则曲 连续曲线弧 的两个 x x y = f x 定 理 4 (介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B, 那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间 (a,b)内至少有一点，使得 f ( ) = C (a b). x y o y = f (x)
证设p(x)=f(x)-C, y M 则p(x)在，b]上连续， BP一 且p()=f(a)-C a =A-C, x 5152ξ3x2b x (b)=f(b)-C=B-C,m p()·p(b)<0,由零点定理，35∈(a,b),使 p(5)=0,即p(5)=f(5)-C=0,∴.f(5)=C. 几何解释：连续曲线弧y=f(x)与水平 直线y=C至少有一个交点. 经济数学 微积分
几何解释: M B C A m a x1 1 2 3 x2 b x y o y = f (x) 证 设(x) = f (x) − C, 则(x)在[a,b]上连续, 且(a) = f (a) − C = A − C, (b) = f (b) − C= B − C, (a)(b) 0, 由零点定理, (a,b),使 ( ) = 0, 即( ) = f ( ) − C = 0, f ( ) = C. . ( ) 直线 至少有一个交点 连续曲线弧 与水平 y C y f x = =
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值M与最小值m之间的任何值. 例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根 证令f(x)=x3-4x2+1,则f(x)在0,1上连续， 又f0)=1>0,f1)=-2<0, 由零点定理， 35∈(a,b),使f(5)=0,即53-452+1=0， .方程x3-4x2+1=0在(0,1)内至少有一根5. 经济数学 微积分
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例1 . 4 1 0 (0,1) 3 2 至少有一根 证明方程 x − x + = 在区间 内 证 ( ) 4 1, 3 2 令 f x = x − x + 则f (x)在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 0, f (1) = −2 0, 由零点定理, (a,b), 使 f ( ) = 0, 4 1 0, 3 2 即 − + = 4 1 0 (0,1) . 3 2 方程x − x + = 在 内至少有一根 M m
例2设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)b.证明35∈(a,b),使得f(5)=5. 证令F(x)=f(x)-x,则F(x)在a,b]上连续， 而F(a)=f(a)-a0, 由零点定理， 35∈(a,b),使F(5)=f(5)-5=0, 即f(5)=5. 经济数学 微积分
例2 ( ) . ( , ), ( ) . ( ) [ , ] , ( ) , = f b b a b f f x a b f a a 证 明 使 得 设函数 在区间 上连续 且 证 令 F(x) = f (x) − x, 则F(x)在[a,b]上连续, 而 F(a) = f (a) − a 0, 由零点定理, (a,b), 使 F( ) = f ( ) − = 0, F(b) = f (b) − b 0, 即 f ( ) =
三、小结思考题 三个定理 有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理， 注意条件1.闭区间；2.连续函数. 这两点不满足上述定理不一定成立. 解题思路 1.直接法：先利用最值定理，再利用介值定理： 2.辅助函数法：先作辅助函数Fx),再利用零点定理； 经济数学 微积分
三、小结 思考题 三个定理 有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理. 注意条件 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;