嘉兴学院 课件 偏导数及其在经济分析中的应用_高等数学第八章（2）

第二节 偏导数及其 在经济分析中的应用 一、 偏导数的定义及其计算方法 二、 偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系 三、高阶偏导数 四、偏导数在经济分析中的应用 交叉弹性 五、小结思考题 经济数学 微积分

一、偏导数的定义及其计算方法 二、偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系 三、高阶偏导数 第二节 偏导数及其 在经济分析中的应用 五、小结 思考题 四、偏导数在经济分析中的应用 交叉弹性

一、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数z=f(x,y)在点(xo,y)的某一邻 域内有定义，当y固定在y而x在x处有增量 △时，相应地函数有增量 f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo), 如果im f(x+△x,)-f(xa)存在，则称 △x→0 △x 此极限为函数z=f(x,y)在点(K,y)处对x的 偏导数(partial derivative),记为 经济数学 微积分

定义 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的 偏导数(partial derivative)，记为 一、偏导数的定义及其计算法

Ox af Ox x=X0 Ox x=0 ✉或f(x, y=Yo y=Yo 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y 的偏导数，为 lim f(xo,y+△y)-f(xo,yo) △y-→0 △y 记为 Ox af y ，乙y=或f(o,). x=x0 x=X y=yo y=Yo y=Yo 经济数学 微积分

同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x

如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对 自变量x的偏导数， 记作 其政以 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导 数江合政 经济数学 微积分

如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,)在(x,y,)处 f(x,y,z)=lim f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) △x0 △x (x,y,z)=lim f(x,y+Ay,z)-f(x,y,z) △y→0 △y (x,y,z)=lim f(x,y,+△z)-f(x,y,z) △z→0 △z 经济数学 微积分

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  →

注意： 实际求z=f(x,y)的偏导数时，因为始终只 有一个自变量在变动，另一个自变量可看作 常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解。 求解 of Ox 把y暂时看作常量而对求导数 把x暂时看作常量而对求导数 经济数学 微积分

注意： 实际求 的偏导数时，因为始终只 有一个自变量在变动，另一个自变量可看作 常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解. z = f (x, y) 求解 x f   把y暂时看作常量而对x求导数 y f   把x暂时看作常量而对y求导数

例1求z=2+3y+y2在点1,2)处的偏导数. 解 Oz 2x+3y; D4 3x+2y. Oz Ox 周 =2×1+3×2=8, Oz Qy 漫 =3×1+2×2=7. 经济数学 微积分

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例2 设z=x'(x>0,x≠1)， 求证 y8+18=2z. yax Inxay 证 Ox Oz Bx 三 oy =xInx, x Oz 1 Oz X x1+ yax Inxay Inx =xy+x’=2z. 原结论成立. 经济数学 微积分

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

例3 设z=arcsin 解 Ox 1 x2 (y2=yD) y x2+y2 经济数学 微积分

例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

1 a Gi x2 12+y x2+y少2 (-y) [y 1V(x2+y2)3 X 1 (y≠0) Ox 不存在. oy x≠0 y=0 经济数学 微积分

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．