第六节 多元函数的极值 及其求法 一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结思考题 经济数学 微积分
一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值 拉格朗日乘数法 四、小结 思考题 第六节 多元函数的极值 及其求法
问题的提出 某商店卖两种品子的果汁，本地品牌 每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元， 店主估计，如果本地品牌的每瓶卖心元， 外地品牌的每瓶卖V元，则每天可卖出 本地品牌的果汁70-5x+4y瓶，外地品 牌的果汁80+6x一7y瓶， 问：店主每天以什么价格卖两种品 牌的果汁可取得最大收益？ 经济数学 微积分
某商店卖两种品子的果汁，本地品牌 每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元， 店主估计，如果本地品牌的每瓶卖 元， 外地品牌的每瓶卖 元，则每天可卖出 本地品牌的果汁 瓶，外地品 牌的果汁 瓶. x y 70 − 5x + 4y 80 + 6x − 7 y 问题的提出 问：店主每天以什么价格卖两种品 牌的果汁可取得最大收益？
问题的分析 每天的收益为 f(x,y)= (x-1)(70-5x+4y)+(y-1.2)(80+6x-7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 本节我们讨论与多元函数的最值有关的 最简单的优化问题. 经济数学 微积分
每天的收益为 f (x, y) = 求最大收益即为求二元函数的最大值. (x −1)(70 − 5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7 y) 问题的分析 本节我们讨论与多元函数的最值有关的 最简单的优化问题
一、二元函数的极值 观察二元函数x=一 xy 的图形 播放 经济数学 微积分
一、二元函数的极值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放
1.二元函数极值(extreme value)定义 设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于(x,y)的点 (,y):若满足不等式f(x,y)f(K,y),则称函数在(xy) 有极小值 极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。 经济数学 微积分
1.二元函数极值(extreme value)定义 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的 点 (x, y)：若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则 称函数在( , ) 0 0 x y 有 ；若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ， 则 称 函 数 在 ( , ) 0 0 x y 有 ； 极大值 极小值 极大值、极小值统称为 。 使函数取得极值的点称为 。 极值 极值点 极大值、极小值统称为 。 使函数取得极值的点称为
例1函数z=3x2+4y2 在(0,0)处有极小值. (1) 例2函数z=-x2+y1 (2) 在(0,0)处有极大值. 例3 函数乙=y (3) 在(0,0)处无极值. 经济数学 微积分
(1) (2) (3) 例 1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy
2.二元函数取得极值的条件 定理1（必要条件） 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且 在点(Ko,y)处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零：f(xo,y)=0, f(xo,y)=0. 证不妨设z=f(x,y)在点(x,y)处有极大值， 则对于(x,y,)的某邻域内任意 (x,y)≠(x,Jyo)都有f(x,y)<f(x0,y0), 经济数学 微积分
定理 1（必要条件） 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在 点( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x (x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 f y x0 y0 = . 2.二元函数取得极值的条件 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 证
故当y=yo,x≠时，有f(x,yo)<f(xo,y0), 说明一元函数f(,y0)在x=x处有极大值， 必有 f(xo2yo)=0; 类似地可证f,(x,y0)=0. 推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(X,y,) 具有偏导数，则它在P(x,,0)有极值的必要条 件为 f(x0,y0,z0)=0, f(x0,yo,0)=0, f2(x0,y0,zo)=0: 经济数学 微积分
故当 0 y = y ，x x0时，有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点 注意：驻点 极值点 例如，点(0,0)是函数z=y的驻点，但不是极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理2（充分条件) 设函数z=f(x,y)在点（飞o,y0)的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 经济数学 微积分
例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点，但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 注意：
f(xo2yo)=0,f(xo2yo)=0, f(xo,o)=A,fx(xo,yo)=B, f(xo:Yo)=C, 则f(x,y)在点(x,y)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0时具有极值， 当A0时有极小值； (2)AC-B<0时没有极值； (3)AC一B2=0时可能有极值，也可能没有极值， 还需另作讨论. 经济数学 微积分
又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0， 令 f x x ( x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B， f yy (x0 , y0 ) = C， 则 f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当A 0时有极大值， 当A 0时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．