第七节 第十章 斯托克斯公式 环流量与旋及 斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 *四、向量微分算子 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章
一、 斯托克斯(Stokes)公式 定理1.设光滑曲面Σ的边界「是分段光滑曲线，Σ的 侧与工的正向符合右手法则，P,Q,R在包含Σ在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 OP OR b-8* OP dxdy 0z =Pdx+Qdy+Rd= (斯托克斯公式) 证：情形1Σ与平行z轴的直线只交于 一点，设其方程为 ∑：z=f(x,y), (x,y)∈Dxy 为确定起见，不妨设Σ取上侧（如图） HIGH EDUCATION PRESS 简介目录上页下页返回结束
y o z x 一 、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, 的 侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 Dx y : z = f (x, y), (x, y) n 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). Dx y C 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束
则手Pdx=fePa,y(xydx ew P(x.y=(x,y))dxdy (利用格林公式 -号 OP 0= ldxdy -I8+器小a7ds 一fy = cos B cos y HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
则 Pd x = C P(x, y,z(x, y))d x P x y z x y x y (利用格林公式) Dx y y ( , , ( , ))d d = − x y y z z P y P Dx y d d + = − f S z P y P y cos d + = − cos , 2 2 1 1 x y + f + f = cos , 2 2 1 x y y f f f + + − = cos cos f y = − y o z x n Dx y C 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此kPa-号-8 P cos B ]cosydS 0z cosy -w- cosy ]dS -e器a aPaxdy oy 同理可证 5,0y-器dd yd= 0z 儿84时： OR zdx 三式相加，即得斯托克斯公式； HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
因此 S z P y P P x cos d cos cos d − = − S y P z P cos cos d − = x y y P z x z P d d d d − = 同理可证 Qd y y z z Q x y x Q d d d d − = Rd x z x x R y z y R d d d d − = 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面Σ与平行z轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助线面把Σ分成与z轴只交于一点的几部分】 在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相加，由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消，所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立： 证毕 注意：如果Σ是xoy面上的一块平面区域，则斯托克斯 公式就是格林公式，故格林公式是斯托克斯公式的特例 HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆，斯托克斯公式还可写作 dydz dzdx dxdy a a Ox 手Pdx+Qdy+Rd R 或用第一类曲面积分表示： cosa cos B cosλ a a a P ds =Pdx+Qdy+Rdz R HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: P Q R x y z d y d z d z d x d x d y = Pd x + Qd y + Rd z 或用第一类曲面积分表示: S P Q R x y z d cos cos cos = Pd x + Qd y + Rd z 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例.利用斯托克斯公式计算积分人zdx+xdy+ydz 其中T为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个 边界，方向如图所示 解：记三角形域为Σ，取上侧，则 zdx+xdy+ydz dydz dzdx dxdy -J a Ox ∂y 0z X y 八ya=*d=dx+dxd=3∬ 3 dxdy= 利用对称性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x y y z z x x y x y z = d d d d d d z x y 1 1 1 o 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. = d y d z + d z d x + d xd y 利用对称性 = Dx y 3 d xd y 2 3 = Dxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.T为柱面x2+y2=2y与平面y=z的交线从z 轴正向看为顺时针，计算7=手y2dx+ydy+zdz。 解：设Σ为平面z=y上被T所围椭圆域，且取下侧， 则其法线方向余弦 cosa=0,cosB-cos=- √2 利用斯托克斯公式得 cos a cos阝cosY I= ds=2∬0-)as=0 X☑ HIGH EDUCATION PRESS 公式目录上页下页返回结束
例2. 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 o z 2 y x 解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 I d S = = 0 则其法线方向余弦 cos cos cos x y z y xy xz 2 公式 目录 上页 下页 返回 结束
*二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2.设G是空间一维单连通域，函数P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数，则下列四个条件相互等价 (1)对G内任一分段光滑闭曲线厂，有 fPdx+Qdy+Rdz=0 (2) 对G内任一分段光滑曲线T,∫rPdx+Qdy+Rde 与路径无关 (3)在G内存在某一函数u,使du=Pdx+Qdy+Rdz (4)在G内处处有 ∂P 60 OR OR = ap 8x Ex z HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
du = Pd x + Qd y + Rd z *二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 d + d + d = 0 P x Q y R z (2) 对G内任一分段光滑曲线 , Pd x + Qd y + Rd z 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 z P x R y R z Q x Q y P = , = , = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证：(4)→（①） 由斯托克斯公式可知结论成立： (1)→(2)（自证） (2)→(3) 设函数 u(x,y,2)= Pdx+0dy+Rdz 则 Bu lim (x+△x,y,z)-u(x,y,z〉 8x △x->0 △x axdy kda lim =1im1+aPdx=lim p(x+△x,y,） △x>0△xx △x->0 =P(x,y,2) HIGH EDUCATION PRESS 定理2目录上页下页返回结束
= + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) d d d x y z x y z u x y z P x Q y R z 证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1) (2) (自证) (2) (3) 设函数 则 x u + → + + = ( , , ) ( , , ) 0 d d d 1 lim x x y z x y z x P x Q y R z x 0 lim → = x x u x x y z u x y z ( + , , )− ( , , ) + → = x x x x P x x d 1 lim 0 lim ( , , ) 0 p x x y z x = + → = P(x, y,z) 定理2 目录 上页 下页 返回 结束