第一节 空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 二、 空间两点间的距离 三、n维空间 四、小结思考题 经济数学 微积分
第一节 空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离 四、小结 思考题 三、n维空间
一、空间点的直角坐标 三条坐标轴的正方向 ↑z竖轴 (vertical axis) 符合右手法则. 即以右手握住z 轴，当右手的四个 原点0 (origin y纵轴 手指从x轴正向以 2 (ordinate axis) 角度转向正向y轴 横轴x(abscissa axis) 时，大拇指的指向 空间直角坐标系 就是z轴的正向. space rectangular coordinates system 经济数学 微积分
横轴 x y 纵轴 z 竖轴 原点 o • 空间直角坐标系 三条坐标轴的正方向 符合右手法则. 即以右手握住 z 轴，当右手的四个 手指从x轴正向以 2 角度转向正向 y轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 一、空间点的直角坐标 ( space rectangular coordinates system ) (abscissa axis) (ordinate axis) (origin) (vertical axis)
Ⅲ z0x面 JyO面 V I xO面 I X I Ⅶ 空间被分为八个卦限 经济数学 微积分
Ⅶ x o y z xOy 面 yOz 面 zOx 面 空间被分为八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
空间的点←一对应 →有序数组(x,y,) 特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R, 坐标面上的点A,B,C,坐标原点O(0,0,0) R(0,0,z) B(0,y,z) C(x,0,z) M(x,y,z) 0d,岁0) xP(x,0,0) A(x,y,0) 经济数学 微积分
空间的点 ⎯ ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 一一对应 特殊点的表示: 坐标原点O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z O P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,0,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C
八个卦限中点的坐标 卧限 点的坐标(x,y,z) 卧限 点的坐标(x,y,z) x>0,Jy>0,z>0 x>0,Jy>0,z0,z>0 I 0,z0 Ⅶ x0,Jy0,z>0 Ⅷ x>0,y0,z<0 经济数学 微积分
x>0,y>0,z>0 x0,z>0 x0 x>0,y>0,z0,z0,y0 x>0,y<0,z<0 卦限 点的坐标(x, y,z) 卦限 点的坐标(x, y,z) 八个卦限中点的坐标 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,)八、M2(X2,y2,z2)为空间两点， R d=MM,=? 在直角△M,NM, 及直角△M,PN 中，使用勾股定 理知 d2=M1P2+PN2+|NM22, 经济数学 微积分
设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点， x y z O • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 2 d = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离
MP=x2-x1, PN=y2-y, NM,=22-1, ..d=M P+PN'+NM, M1M2=V(x2-x+(y2-+(z2-z2. 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为M(x,y,),O(0,0,0) 则d=OM=Vx2+y2+z2. 经济数学 微积分
, M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) 则 d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z O • M1 P N Q R •M2
例1求证以M(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解M1M22=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14, M2M32=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6, M3M12=(4-5)2+(3-2)2+(1-32=6, .M2M3=M3M1 原结论成立. 经济数学 微积分
例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − = M2M3 , = M3M1 原结论成立
例2设P在x轴上，它到点P(0,V2,3)的距离 为到点P(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标 解 因为P在x轴上，设P点坐标为(x,0,0), PP=Vx2+（2}+32=N2+I1, PP,=Vx2+(-12+12=Vx2+2, PP=2PP,.Vx2+11=2Nx2+2 →X=士1， 所求点为(1,0,0)，（-1,0,0)， 经济数学 微积分
例 2 设P在x轴上，它到点 (0, 2,3) P1 的距离 为到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求点P的坐标. 解 因为P在x轴上， 设P点坐标为 (x,0,0), PP1 = ( ) 2 2 2 x + 2 + 3 11, 2 = x + PP2 = ( ) 2 2 2 x + − 1 + 1 2, 2 = x + PP1 =2 , PP2 11 2 x + 2 2 2 = x + x = 1, 所求点为 (1,0,0), (−1,0,0)
三、n维空间 n维空间：一般地，设n为一个取定的自然数，n元 有序实数组（化1，X2,…,Xm)的全体构成 的集合. 表示为： R”=《x1,2,,xn)x,∈R,i=1,2,,n} 经济数学 微积分
三、n维空间 n维空间： R (x x xn ) xi R i n n , , , , 1,2, , = 1 2 = 表示为： 一 般地，设n为一个取定的自然数，n元 有序实数组 的全体构成 的集合. ( , , , ) 1 2 n x x x