§1.5函数的连续性 一、函数的连续性 图象演示 1.改变量（增量）： 定义1.9当自变量由初值x变化到 终值x时，终值与初值之差x一x称为自变 量的改变量，记为 △x=x-x(→x=x+△x). back next exit
§1.5 函数的连续性 一、函数的连续性 1.改变量(增量)： 定 义 1.9 当自变量由初值 0 x 变化到 终值x时，终值与初值之差 0 x x − 称为自变 量的改变量，记为 0 = − x x x ( 0 = + x x x ). 图象演示
相应地函数y=f(x)由初值f(x) 变化到终值f(x)时，终值与初值之差 f(x)-f(x)称为函数的改变量，记为 △y=f(x)-f(x) 即△y=f(x+△x)-f(xo) next exit
相应地函数 y f x = ( )由初值 0 f x( ) 变化到终值 f x( )时，终值与初值之差 0 f x f x ( ) ( ) − 称为函数的改变量，记为 0 = − y f x f x ( ) ( ) 即 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( )
2.连续的定义： 图象演示 定义1.10设函数y=f(x)在点x,的某 个邻域内有定义，如果当自变量x在点x处取 得的改变量△x趋于0时，对应的函数改变量 △y也趋于0，即1im△y=0 △x→0 或1im[f(x+△x)-f(x)】=0 则称函数y=f(x)在点x,处连续， back next exit
2.连续的定义： 定 义 1.10 设函数 y f x = ( )在 点 0 x 的 某 个邻域内有定义，如果当自变量x在点 0 x 处取 得的改变量x趋于 0 时，对应的函数改变量 y也趋于 0，即 0 lim 0 x y → = 或 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → + − = 则称函数y f x = ( )在点 0 x 处连续. 图象演示
由于△x=x。,当△x→0时 x→x,而x=x+△x,所以 mf(,+A)-fx〗=0 等价于lim[f(x)-f(x)】=0,即 x→X0 limf(x)=f(x,） next exit
由 于 0 = − x x x ， 当 →x 0 时 0 x x → ，而 0 x x x = + ，所以 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → + − = 等价于 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x x f x f x → − = ，即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =
定义1.11设函数y=f(x)在点x,的某个 邻域内有定义，如果limf(x)=f(x),则称 x→X0 函数y=f(x)在点x,处连续 函数y=f(x)在点x处连续必须同时满 足三个条件： (1)函数y=(x)在点x处有定义； (2)1imf(x)存在； X→X0 (3)lim f(x)=f(xo); x→X0 back next ext
定义 1.11 设函数y f x = ( )在点 0 x 的某个 邻域内有定义，如果 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 函数y f x = ( )在点 0 x 处连续. 函 数 y f x = ( )在 点 0 x 处连续必须同时满 足三个条件： (1)函数y f x = ( )在点 0 x 处有定义； (2) 0 lim ( ) x x f x → 存在； (3) 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ；
例1讨论f()=1+sin20 COSX x0 x→0 back next exi
例 1 讨 论 cos 0 ( ) 1 sin 0 x x f x x x = + ， 在 x = 0处的连续性. 解： f (0) 1 sin0 1 = + = 0 0 lim ( ) lim cos 1 x x f x x → → − − = = 0 0 lim ( ) lim(1 sin ) 1 x x f x x → → + + = + = 图象演示
.lim f(x)=1 x0 1imf()=f(0) ∴.f(x)在x=0处连续！ ●next ◆exit
0 lim ( ) 1 x f x → = 0 lim ( ) (0) x f x f → = f x( )在x = 0处连续
定义1.12如果函数y=f(x)在开区间 (a,b)内每一点都连续，则称f(x)在(a,b)内 连续， back next ◆ex
定义 1.12 如果函数y f x = ( )在开区间 ( , ) a b 内每一点都连续，则称 f x( )在( , ) a b 内 连续
如果函数f(x)满足1imf(x)=f(x),则 X→X0 称函数在点x,处左连续；如果函数f(x)满足 limf(x)=fx,,则称函数在点x,处右连续； x→x0 如果函数f(x)在(a,b)内连续，且在左端 点a处右连续，在右端点b处左连续，则称f(x) 在闭区间a,b]上连续 back next exit
如果函数 f x( )满足 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = ，则 称函数在点 0 x 处左连续 ．．．；如果函数 f x( )满 足 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = ，则称函数在点 0 x 处右连续 ．．．； 如果函数 f x( )在( , ) a b 内连续，且在左端 点a处右连续，在右端点b处左连续，则称 f x( ) 在闭区间 ．．． [ , ] a b 上连续 ．．．
利用函数的连续性求极限： 如果函数在某点连续，求该点的极限，只 需求该点的函数值即可 例2lim In(x+e2)In(0+e2) 21 x→0 1+cosx 1 cos0 对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换，因为limf(x)=(x)=f(Iimx). x→X0 X→X0 back next exit
利用函数的连续性求极限： 如果函数在某点连续，求该点的极限，只 需求该点的函数值即可. 例 2 2 2 0 ln( ) ln(0 ) lim 1 x 1 cos 1 cos0 x e e → x + + = = + + . 对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换，因为 0 0 0 lim ( ) ( ) (lim ) x x x x f x f x f x → → = =