第二为 第三章 洛必达法则 型未定式 二、 ∞ 型未定式 0 三、其他未定式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限im 得 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限im ∫'(x) g(x) 将色达.6，手，4de HIGH EDUCATION PRESS 洛必达目录上页下页返回结束
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
一、 型未定式 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x->a x->a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim '(x) 存在（或为0） x→aF'(x) lim f(x) lim f"(x) xaF(x)x>a F'(x) (洛必达法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理条件：1)limf(x)=limF(x)=0 x→a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim f'(x) F'(x) 存在（或为0） x-→a 证：无妨假设f(a)=F(a)=0,在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),F(x)在以x,a为端点的区间上满足柯 西定理条件，故 f(x)_f(x)-f(a_f'(5) (5在x,a之间) F(x)F(x)-F(a) F'() lim f(x) f'(5)3) lim f'(x) x->a F(x) x-a F'(g) x->a F'(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = ( ) ( ) lim F f x a = → 3) 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
洛必达法则 lim f(x) lim f'(x) x->aF(x) x>aF'(x) 推论1.定理1中x>a换为 x→a，X→a,x>0,x→十0，X→-0 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1im 仍属 型，且f(x),F'(x)满足定 F'(x) 理1条件，则 lim F(x) F'(x) F"(x) HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
x3-3x+2 例1.求im 0- 型 1x3-x2-x+1 0 解：原式=m 3x2-3 x>1 3x2-2x-1 lim 6x 3 x16x-2-2 注意：不是未定式不能用洛必达法则！ 6x lim 丰lm =1 x16x-2 x->16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
arctan x 例2.求1im 型 0 X→+00 1 x 解：原式=lm 1+x X→+00 型 0 x2 lim 1 lim x>+∞1+x2 =1 X-→+0 arctan n 思考：如何求im (n为正整数)？ n->o∞ 1 n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − → ( n 为正整数) ? 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 型未定式 定理2. 1)lim f(x)=lim F(x)=co x->a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim (x) 存在或为∞) xa F(x) lim f(x) =lim f'(x) (洛必达法则 x->a F(x) xa F"(x) 证：仅就极限lim F(x) 存在的情形加以证明 x->a F(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 证: ( ) ( ) lim F x f x x→a 仅就极限 存在的情形加以证明 . ( ) ( ) lim F x f x x a = → (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
1) lim f(x) ≠0的情形 型 x-→a F(x) F2(x) F'(x) li f(x) F(x) 1m lim xa F(x) x->a x->a f(x) =- F'(x) ..1=lim F'(x) xaF(x)xa f'(x) f(x) 从而 lim lim f'(x) xa F(x) >aF'(x) HIGH EDUCATION PRESS ©●0C①8 机动目录上页下页返回结束
1) 0 ( ) ( ) lim → F x f x x a 的情形 ( ) ( ) lim F x f x x→a lim x→a = ( ) 1 F x ( ) 1 f x lim x→a = ( ) ( ) 1 2 F x F x − ( ) ( ) 1 2 f x f x − = → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 从而 型 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) lim f(x =0的情形.取常数k≠0， x->a F(x) lim f(x)+kF(x) x->a F(x) lim f(x)+kF(x) =k≠0，可用1)中结论 x→a F(x) lim f'(x)+F'(x x→a F'(x) lim f(x)」 lim M x->a F(x) x-a F'(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2) 0 ( ) ( ) lim = → F x f x x a 的情形. 取常数 k 0 , = k 0, + → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + = → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + = → + = → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 可用 1) 中结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束